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天津市红桥区2016届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题


天津市红桥区 2016 年高三一模 数学(文)试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。第 Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 4 至 6 页。
[来源:学科网]

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。 答题时,务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交 回。 祝各位考生考试顺利! 参考公式:
? 如果事件 ? 如果事件

A , B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . A , B 相互对立,那么 P( A) ? 1 ? P( B) .

? 柱体体积公式: V ? sh ,其中 s 表示柱体底面积, h 表示柱体的高. ? 锥体体积公式: V ?

1 sh ,其中 s 表示柱体 底面积, h 表示柱体的高. 3
2

? 球体表面积公式: S ? 4πR , 其中 R 表示球体的半径. ? 球体体积公式: V ?

4 3 πR ,其中 R 表示球体的半径. 3

第Ⅰ卷
注意事项: 1.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其他答案标号。 2.本卷共 8 题,共 40 分。 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) i 是虚数单位,设复数 z1 ? 1 ? 2i , z2 ? ?3i ,则 z1 ? z2 ? (A) ?6 ? 3i (C) 6 ? 3i (B) 2 ? i (D) 6 ? 3i

(2) 班集体搞某项活动, 将全班同学分成 3 个不同的小组, 每位同学被分到每个小组的可能性相同, 则甲、乙两位同学被分到同一个小组的概率为

(A) (C)

1 3
2 3

(B) (D)

1 2 3 4

(3)若程序框图如图所示,则该程序运行后输出 k 的 值是 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
1 2 2 2 1 (4)已知 a ? ( ) 5 , b ? ( ) 5 , c ? log 1 ,则 a , b , 3 3 3 5

c 的大小关系是
(A) a ? b ? c (B) b ? a ? c (C) a ? c ? b (D) c ? b ? a

π (5)已知函数 y ? 2sin(2x ? ? ) (| ? | ? ) 图象经过点 (0 , 3) ,则该函数图象的一条对称轴方程为 2
(A) x ? (C) x ?

π 6 π 12

(B) x ? ?

π 12 ? 6

(D) x ? ?

(6)过双曲线

x2 y 2 b ? 0) 的一个焦点 F 作双曲线的一条渐近线的垂线,若垂线的延长 ? ? 1 (a ? 0 , a 2 b2

c 线与 y 轴的交点坐标为 (0 , ) ,则此双曲线的离心率是 2
(A) 2 (C) 2 (B) 3 (D) 5

1? ,使 f ( x0 ) ? 0 是真命题,则实数 a 的取值范 (7)已知函数 f ( x) ? a | x | ?3a ? 1 ,若命题 ?x0 ???1,

围为

1 (A) (?? , ? ] 2

1 (B) (?? , ? ] ? (0 , ? ?) 2

1 1 (C) [? , ? ] 2 3

1 1 (D) (?? , ? ] ? [? , 0) 3 2

( 8 )如图,以 △ABC 的 BC 边为直径的半圆交 AB 于点 D ,交 AC 于点 E , EF ? BC 于 F ,
BF : FC ? 5 :1 , AB ? 8 , AE ? 2 ,则 AD 长为

(A) (B)

1 ? 21 2

A D E C

1? 3 2
B

1? 2 (C) 2

F (第 8 题图)

(D)

43 2

第Ⅱ卷
注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上 。 ......... 2.本卷共 12 题,共 110 分。 二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.

1 x ? A} ,则 A ? B ? ( 9 )已知集合 A ? { ? 1,, 1 , 3} , B ? { y | y ? x2 , 2
(10)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.
频率 组距



为了了解本次竞赛学生成绩情况, 从中抽取了部分学 0.040 生的分数(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本
60) , [60 , 70) , (样本容量为 n ) 进行统计. 按照 [50 , [70 , 80) , [80 , 90) , [90 , 100] 的分组作出如图所示
x

0.016 0.010 0.004 0

50 60 70 80 90 100 成绩 (分)

(第 10 题图)

60) 的有 8 人,在 [90 , 100] 的频率分布直方图,但由于不慎丢失了部分数据.已知得分在 [50 ,

的有 2 人,由此推测频率分布直方图中的 x ?



ax ? y ? 2a ? 0 .当直线 l 与圆 C 相切时,实数 (11)已知圆 C : x2 ? y 2 ? 8 y ? 12 ? 0 ,直线 l :

a?



x
1

?| x ? 1| , x ≤ 0 , (12)已知函数 f ( x) ? ? 2 若函数 y ? f ( x) ? a 有三个零点, ?| x ? 2 x | ,x ? 0 .

正视图

正视图

则实数 a 的取值范围是



(13)如图,是一个几何体的三视图,其中正视图与侧视图完全相同,均 为等边三角形与矩形的组合,俯视图为圆,若已知该几何体的表面 积为 16 ? ,则 x ? .
正视图 (第 13 题图)

(14) 如图, 在 △ABC 中, 已知 ?BAC ?

? , AB ? 2 , AC ? 4 , 点 D 为边 BC 3 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? 上一点, 满足 AC ? 2 AB ? 3 AD , 点 E 是 AD 上一点, 满足 AE ? 2 ED ,
则 BE ? .

B

D
A
(第 14 题图)

C

E

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分)
b, c ,且满足 2b sin A ? 3a . 在锐角 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a ,

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? c ? 5 ,且 a ? c , b ? 7 ,求 cos(2 A ? B) .

(16) (本小题满分 13 分) 要将两种大小不同的较大块儿钢板,裁成 A, B, C 三种规格的小钢板,每张较大块儿钢板可同时 裁成的三种规格小钢板的 块数如下表: A 规格 第一种钢板 第二种钢板 1 2
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

B 规格 1 3

C 规格 1 1

第一种钢板面积为 1 m2 ,第二种钢板面积为 2 m2 ,今分别需要 A 规格小钢板 15 块, B 规格小 钢板 27 块, C 规格小钢板 13 块. (Ⅰ)设需裁第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,用 x, y 列出符合题意的数学关系式,并在给出 的平面直角坐标系中画出相应的平面区域; (Ⅱ)在满足需求的条件下,问各裁这两种钢板多少张,所用钢板面积最小?
[来源:学&科&网]

(17) (本小题满分 13 分) 设 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是各项都为正数的等比数列( n ? N ) ,且 a1 ? 1 , b1 ? 3 , 已知
?

a2 ? b3 ? 30 , a3 ? b2 ? 14 .
(Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式;
? (Ⅱ)设 cn ? (an ? 1) ? bn , Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ,( n ? N ) ,求证: Tn ?

3 (anbn ? 1) . 2

(18) (本小题满分 13 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,点 D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点.已知 PA⊥平面 ABC , AB ? BC ,且 AB ? BC .

(Ⅰ)求证:平面 BED ? 平面 PAC ; (Ⅱ)求二面角 F ? DE ? B 的大小; (Ⅲ)若 PA ? 6 , DF ? 5 ,求 PC 与平面 PAB 所成角的正切值.

(19) (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :
AF ? 2 ? 5 .
2 5 x2 y 2 ,左顶点 A 与右焦点 F 的距离 ? ?1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? 5 a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
1) 为定点,当 △ MNP 的面 (Ⅱ)过右焦点 F 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点, P(2 ,

积最大时,求 l 的方程.

(20) (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ax ? 2 ? ln x ? a ? R ? .

1 (Ⅰ)若 f ( x)在点? e , f ? e ?? 处的切线斜率为 ,求 a 的值; e
(Ⅱ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若 g ( x) ? ax ? e x ,求证:在 x ? 0 时, f ( x) ? g ( x) .

2016 红桥区高三一模

数学(文)参考答案
一、选择题:每小题 5 分,共 40 分 题号 答案 1 C 2
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

3 B

4 D

5 C

6 D

7 C

8 B

A

二、填空题:每小题 5 分,共 30 分. 题号 答案 9 10
0.03

11

12
(0, 1]

13
2 3

14
2 21 9

?1?

?

3 4

三、解答题:共 6 小题,共 80 分. (15) (本小题满分 13 分)
b, c ,且满足 2b sin A ? 3a . 在锐角 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a ,

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? c ? 5 ,且 a ? c , b ? 7 ,求 cos(2 A ? B) . 解: (Ⅰ)因为 3a-2bsin A=0, 所以 3sin A-2sin Bsin A=0.--------------------------------------2 分 因为 sin A≠0,所以 sin B= 3 . 2

π 又 B 为锐角,则 B= .---------------------------------------------5 分 3 π (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,B= ,因为 b= 7, 3 根据余弦定理得 7=a2+c2-2accos 整理得(a+c)2-3ac=7. 由已知 a+c=5,则 ac=6. 又 a>c,可得 a=3,c=2.--- ------------------------------------9 分 b2+c2-a2 7+4-9 7 3 21 于是 cos A= = = ,故 sin A ? 2bc 14 4 7 14 π ,--------------------7 分 3

cos 2 A ? ?

3 3 13 , sin 2 A ? 14 14

所以 cos(2 A ? B) ? cos 2 A cos B ? sin 2 Asin B ? ?

11 --------------------------13 分 14

(16) (本小题满分 13 分) 要将两种大小不同的较大块儿钢板,裁成 A, B, C 三种规格的小钢板,每张较大块儿钢板可同时 裁成的三种规格小钢板的块数如下表: A 规格 第一种钢板 第二种钢板 2 1 B 规格 1 3 C 规格 1 1

第一种钢板面积为 1 m2 ,第二种钢板面积为 2 m2 ,今分别需要 A 规格小钢板 15 块, B 规格小 钢板 27 块, C 规格小钢板 13 块. (Ⅰ)设需裁第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,用 x, y 列出符合题意的数学关系式,并在给出 的平面直角坐标系中画出相应的平面区域; (Ⅱ)在满足需求的条件下,问各裁这两种钢板多少张,所用钢板面积最小? 解: (Ⅰ)由已知, x , y 满足的数学关系式为
?2 x ? y ? 15 , ? x ? 3 y ? 27 , ? ? ? x ? y ? 13 , --------------------4 分 ?x ? 0 , ? ? ?y ? 0.

y

15 13 9

M

该二元一次不等式组所表示的平面区域为 图中的阴影部分.----------------------8 分
O

2 x ? y ? 15 x ? y ? 13 x ? 2 y ? 20 x ? 3 y ? 27 x ? 2y ? 0

x

(Ⅱ)设所用钢板的面积为 z m2 ,则目标函数为 z ? x ? 2 y .------------------9 分

1 1 1 1 把 z ? x ? 2 y 变形为 y ? ? x ? z ,这是斜率为 ? ,在 y 轴上的截距为 z ,随 z 变化的一族 2 2 2 2

1 平行直线.当 z 取最小值时, z 的值最小.又因为 x , y 满足约束条件,所以由图可知,当直 2 1 线 z ? x ? 2 y 经过可行域上的点 M 时,截距 z 最小,即 z 最小.-------------------10 分 2
? x ? 3 y ? 27 , 7) . 解方程组 ? 得点 M 的坐标为 (6 , ? x ? y ? 13 ,

所以 zmin ? 6 ? 2 ? 7 ? 20 .-------------------------------------------------------------------------12 分 答:在满足需求的条件下,裁第一种钢板 6 张,第二种钢板 7 张,所用钢板的面积最小.13 分 (17) (本小题满分 13 分)

设 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是各项都为正数的等比数列( n ? N ) ,且 a1 ? 1 , b1 ? 3 , 已知
?

a2 ? b3 ? 30 , a3 ? b2 ? 14 .
(Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式;
? (Ⅱ)设 cn ? (an ? 1) ? bn , Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ,( n ? N ) ,求证: Tn ?

3 (an bn ? 1) . 2

解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 公差为 d ,等比数列 ?bn ? 公比为 q 依题意 : ?

?d ? 3q 2 ? 29 ? 2d ? 3q ? 13

? 2q 2 ? q ? 15 ? 0 -------------------------2 分

解得: q ? 3 , d ? 2 -----------------------------------------------4 分 所以 an ? 2n ? 1, bn ? 3n .------------------------------------------6 分 (Ⅱ) cn ? (an ? 1) ? bn ? 2n ? 3n ,
Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2 ? 3 ? 4 ? 32 ? ? ? 2(n ? 1) ? 3n?1 ? 2n ? 3n ① 3Tn ? 2 ? 32 ? 4 ? 33 ? ? ? 2(n ? 1) ? 3n ? 2n ? 3n?1 ②

① ②得: ?2Tn ? 2(3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ) ? 2n ? 3n?1 ,-------------------------------------8 分

Tn ? n ? 3n?1 ?
因为

3(1 ? 3n ) 2n ? 1 n?1 3 ?( ) ? 3 ? ------------------------------------------------------9 分 1? 3 2 2

3 3 3 2n ? 1 n ?1 3 (anbn ? 1) ? (2n ? 1)3n ? ? ( )3 ? 2 2 2 2 2 3 所以 Tn ? ( an bn ? 1) .---------------------------------------------------------------------------------13 分 2
(18) (本小题满分 13 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,点 D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点.已知 PA⊥平面 ABC ,
AB ? BC ,且 AB ? BC .

(Ⅰ)求证:平面 BED ? 平面 PAC ; (Ⅱ)求二面角 F ? DE ? B 的大小; (Ⅲ)若 PA ? 6 , DF ? 5 ,求 PC 与平面 PAB 所成角的正切值. 解: (Ⅰ)证明:因为 PA⊥平面 ABC ,所以 PA ?BE
又 AB ? BC , E 为 AC 中点,故 AC ? BE 又 AC ? PA ? A ,所以 BE ? 平面 PAC , BE ? 平面 BED , 所以平面 BED ? 平面 PAC .-----------------------------------------4 分

(Ⅱ)由已知得: DE ? 平面 ABC ,所以 ?FEB 为二面角 F ? DE ? B 的平面角, 因为 E,F 分别为棱 AC,AB 的中点, AB ? BC ,
故 ?EFB ? 90 , EF ? FB ,
?

所以,二面角 F ? DE ? B 的大小为 45 .------- -------------------------------8 分
?

(Ⅲ)因为 PA⊥平面 ABC ,所以 PA ? BC , 又 AB ? BC
所以 BC ? 平面 PAB .

所以 ?BPC 为 PC 与平面 PAB 所成角,
由 PA ? 6 , DF ? 5 ,得 EF ? 4 , BC ? AB ? 8 , PB ? 10 ,

tan ?BPC ?

BC 8 4 ? ? , PB 10 5 4 .--------------------------------------13 分 5

所以, PC 与平面 PAB 所成角的正切值为

(19) (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :
AF ? 2 ? 5
2 5 x2 y 2 ,左顶点 A 与右焦点 F 的距离 ? ?1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? 5 a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过右焦点 F 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点, P(2,1) 为定点,当 △ MNP 的面积最大时,求 l 的方程. 解: (Ⅰ)由 e ?
2 5 c 2 5 得: ? ,①--------------------------------------1 分 5 a 5

由 AF ? 2 ? 5 得 a ? c ? 2 ? 5 ,②----------------------------------------3 分 由①②得: a ? 5 , c ? 2 , b ? 1 ,---------------------------------------5 分

x2 ? y 2 ? 1 .--------------------------------------------6 分 5 (Ⅱ)过右焦点 F (2,0) 斜率 为 k 的直线 l : y ? k ( x ? 2) ,--------------------7 分
椭圆 C 的方程为 联立方程组:
? x2 ? y2 ? 1 ? 消元得: (1 ? 5k 2 ) x2 ? 20k 2 x ? 20k 2 ? 5 ? 0 ---------------------------8 分 ? 5 ? y ? k ( x ? 2) ?

设交点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

则 x1 ? x2 ?

20k 2 20k 2 ? 5 , ------------------------------------------9 分 x x ? 1 2 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2

20k 2 2 80k 2 ? 20 ) ? MN ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ? 1 ? k 2 ( 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2
20(k 2 ? 1) ,---------------------------------------------------10 分 1 ? 5k 2
1 1? k2

? 1? k2

点 P(2,1) 到直线 l 的距离 d ?



所以△ MNP 的面积 S ?

1 1? k2 2

20(k 2 ? 1) 5(k 2 ? 1) 1 ? 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2 1? k2

令 1 ? k 2 ? t ≥1 ,则 S ?

5t 5 , ? 5t ? 4 5t ? 4 t
2

记 g (t ) ? 5t ?

4 ,单调递增, g (t )min ? g (1) ? 1 ,所以 S 最大值为 5 , t

此时, k ? 0 ,l 的方程: y ? 0 .---------------------------------------------14 分 (20) (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) = ax - 2 - ln x (a ? R ) . (Ⅰ)若 f ( x)在点(e, f (e)) 处的切线斜率为 (Ⅱ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间;
x

1 ,求 a 的值; e

[来源:学科网 ZXXK]

(Ⅲ)若 g ( x) = ax - e ,求证:在 x > 0 时, f ( x) > g ( x) . 解: (Ⅰ)若 f ( x)在点(e, f (e)) 处的切线斜率为

1 e,

k= f? (e) = a -

1 1 = e e,

得a =

2 e .----------------------------------------------3 分
1 ax - 1 = ( x > 0) x x
1 a
-------------------------5 分

(Ⅱ)由 f '( x) = a -

当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 解得: x ?

当 x 变化时, f '( x), f ( x) 随 x 变化情况如下表:

1 (0, ) a
f '( x) f ( x)

1 a
0

1 ( , ??) a

?

?

由表可知: f ( x ) 在 (0, ) 上是单调减函数,在 ( , ??) 上是单调增函数 所以,当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调减区间为 (0, ) ,单调增区间为 ( , ??) (Ⅲ)当 x ? 0 时,要证 f ( x) ? ax ? e x ? 0 ,即证 e x ? ln x ? 2 ? 0 令 h( x) ? e ? ln x ? 2
x

1 a

1 a

1 a

1 a

------8 分

( x ? 0) ,只需证 h( x) ? 0

? h '( x) ? e x ?

1 x 1 在 (0, ??) 上是增函数 x

x 由指数函数及幂函数的性质知: h '( x ) ? e ?

又 h '(1) = e - 1 > 0, h '( ) = e 2 - 3 < 0
1 2

1 2

1

∴ h '(1)?h '( ) < 0

1 2

h '( x) 在 ( ,1) 内存在唯一的零点,也即 h '( x) 在 (0, + ? ) 上有唯一零点----------10 分
设 h '( x) 的零点为 t ,则 h '(t ) = et 由 h '( x) 的单调性知: 当 x ? (0, t ) 时, h '( x) < h '(t ) = 0 , h( x) 为减函数 当 x ? (t ,

1 1 1 = 0, 即 et = ( < t < 1), t t 2

? ) 时, h '( x) > h '(t ) = 0 , h( x) 为增函数,

所以当 x > 0 时,

h( x) ? h(t )

1 1 et - ln t - 2 = - ln t - 2 t e 1 = + t- 2? 2 2= 0 t



1 < t < 1, , 等号不成立 2
-------------------------------14 分

∴ h( x ) > 0


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