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2.3 等差数列的前n项和(一) 学案(人教A版必修5)


§ 2.3

等差数列的前 n 项和(一)

1.把 a1+a2+…+an 叫数列{an}的前 n 项和,记做 Sn.例如 a1+a2+…+a16 可以记作 S16;a1+a2 +a3+…+an-1=Sn-1 (n≥2). n?a1+an? 2.若{an}是等差数列,则 Sn 可以用首项 a1 和末项 an 表示为 Sn= ;若首项为 a1,公差为 d, 2 1 则 Sn 可以表示为 Sn=na1+ n(n-1)d. 2 3.等差数列前 n 项和的性质 ?Sn? d (1)若数列{an}是公差为 d 的等差数列,则数列? n ?也是等差数列,且公差为 . 2 ? ? (2)Sm,S2m,S3m 分别为{an}的前 m 项,前 2m 项,前 3m 项的和,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 也成 等差数列. an S2n-1 (3)设两个等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,则b = . n T2n-1

一、选择题 1.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 a2=3,a6=11,则 S7 等于( ) A.13 B.35 C.49 D.63 7?a1+a7? 7?a2+a6? 答案 C 解析 S7= = =49. 2 2 a1 2.等差数列{an}中,S10=4S5,则 d 等于( ) 1 1 A. B. 2 C. D.4 2 4 答案 A 解析 由题意得: 1 1 a1 1 10a1+ ×10×9d=4(5a1+ ×5×4d),∴10a1+45d=20a1+40d,∴10a1=5d,∴ d = . 2 2 2 2 2 3.已知等差数列{an}中,a3+a8+2a3a8=9,且 an<0,则 S10 为( ) A.-9 B.-11 C.-13 D.-15 2 2 答案 D 解析 由 a3+a8+2a3a8=9 得(a3+a8)2=9,∵an<0,∴a3+a8=-3, 10?a1+a10? 10?a3+a8? 10×?-3? ∴S10= = = =-15. 2 2 2 4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36.则 a7+a8+a9 等于( ) A.63 B.45 C.36 D.27 答案 B 解析 数列{an}为等差数列,则 S3,S6-S3,S9-S6 为等差数列,即 2(S6-S3)=S3+(S9-S6), ∵S3=9,S6-S3=27,则 S9-S6=45.∴a7+a8+a9=S9-S6=45. 5.在小于 100 的自然数中,所有被 7 除余 2 的数之和为( ) A.765 B.665 C.763 D.663 1 答案 B 解析 ∵a1=2,d=7,2+(n-1)×7<100,∴n<15,∴n=14,S14=14×2+ ×14×13×7=665. 2
1

6.一个等差数列的项数为 2n,若 a1+a3+…+a2n-1=90,a2+a4+…+a2n=72,且 a1-a2n=33, 则该数列的公差是( ) A.3 B.-3 C.-2 D.-1 答案 B n?n-1? ? ?a1+a3+…+a2n 1=na1+ 2 ×?2d?=90, 由? n?n-1? ? ?a2+a4+…+a2n=na2+ 2 ×?2d?=72,


解析

得 nd=-18.

又 a1-a2n=-(2n-1)d=33,所以 d=-3. 二、填空题 7.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S3=3,S6=24,则 a9=________. 3×2 答案 15 解析 设等差数列的公差为 d,则 S3=3a1+ d=3a1+3d=3, 2 6×5 即 a1+d=1,S6=6a1+ d=6a1+15d=24, 2 ?a1+d=1, ?a1=-1, 即 2a1+5d=8.由? 解得? 故 a9=a1+8d=-1+8×2=15. ?2a1+5d=8, ?d=2. Sn 7n+2 a5 8.两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,已知T = ,则 的值是________. b5 n + 3 n 65 a5 9?a1+a9? S9 65 答案 解析 = = = . 12 b5 9?b1+b9? T9 12 9.在项数为 2n+1 的等差数列中,所有奇数项的和为 165,所有偶数项的和为 150,则 n 的值为 ________. ?n+1??a1+a2n+1? n?a2+a2n? 答案 10 解析 S 奇= =165, S 偶= =150. 2 2 n+1 165 11 ∵a1+a2n+1=a2+a2n,∴ n = = ,∴n=10. 150 10 10. 等差数列{an}的前 m 项和为 30, 前 2m 项和为 100, 则数列{an}的前 3m 项的和 S3m 的值是________. 答案 210 解析 方法一 在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列. ∴30,70,S3m-100 成等差数列.∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210. Sm S2m S3m 2S2m Sm S3m 方法二 在等差数列中, m , , 成等差数列,∴ = + . 2m 3m 2m m 3m 即 S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210. 三、解答题 11.在等差数列{an}中,已知 d=2,an=11,Sn=35,求 a1 和 n. 解 ?an=a1+?n-1?d, ? 由? n?n-1? Sn=na1+ d, ? 2 ? ?a1+2?n-1?=11, ? 得? n?n-1? na1+ ×2=35, ? 2 ? ?n=5 ?n=7, 解方程组得? 或? ?a1=3 ?a1=-1.
? ?

?Sn? 12.设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列? n ?的前 n 项和,

求 Tn. 解 1 设等差数列{an}的公差为 d,则 Sn=na1+ n(n-1)d, 2 ?7a1+21d=7 ?a1+3d=1 ?a1=-2 ∵S7=7,S15=75,∴? ,即? ,解得? , ?15a1+105d=75 ?a1+7d=5 ?d=1
2

Sn+1 Sn 1 Sn 1 1 ∴ n =a1+ (n-1)d=-2+ (n-1),∵ - = , 2 2 n+ 1 n 2 ?Sn? n?n-1? 1 1 2 9 1 ∴数列? n ?是等差数列,其首项为-2,公差为 ,∴Tn=n×(-2)+ × = n - n. 2 2 2 4 4 ? ? 能力提升 13.现有 200 根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的 根数为( ) A.9 B.10 C.19 D.29 答案 B 解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列,最上面一层钢管数为 1,逐层增 n?n+1? 加 1 个.∴钢管总数为:1+2+3+…+n= .当 n=19 时,S19=190. 2 当 n=20 时,S20=210>200.∴n=19 时,剩余钢管根数最少,为 10 根. An 7n+45 an 14.已知两个等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn,且B = ,则使得b 为整数的正 n+ 3 n n 整数 n 的个数是( ) A.2 B. 3 C.4 D.5 an A2n-1 14n+38 7n+19 7?n+1?+12 12 答案 D 解析 b = = = = =7+ , B2n-1 2n+2 n+ 1 n+ 1 n+ 1 n ∴n=1,2,3,5,11. 1.等差数列的两个求和公式中,一共涉及 a1,an,Sn,n,d 五个量,通常已知其中三个量,可求 另外两个量. n?a1+an? 在求等差数列的和时,一般地,若已知首项 a1 及末项 an,用公式 Sn= 较好,若已知首项 2 n?n-1? a1 及公差 d,用公式 Sn=na1+ d 较好. 2 2.等差数列的性质比较多,学习时,不必死记硬背,可以在结合推导过程中加强记忆,并在解 题中熟练灵活地应用.

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