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2015届高考数学(理)一轮复习268班周周练试题(3)


2015 届高考数学(理)一轮复习 268 班周周练试题(3)

2014 年高考数学试题汇编 三角函数
一.选择题 1. (2014 大纲)设 a ? sin 33?, b ? cos55?, c ? tan 35?, 则 ( A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? b ? a D. c ? a ? b ) )

2. (2014 陕西)函数 f ( x ) ? cos(2 x ?

?
6

) 的最小正周期是(
D.4?

A.

? 2

B .?

C .2?

3、(2014 四川)为了得到函数 y ? sin(2 x ? 1) 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象上所有 的点( )

1 个单位长度 2 1 B、向右平行移动 个单位长度 2 C、向左平行移动 1个单位长度
A、向左平行移动 D、向右平行移动 2 个单位长度 4. (2014 辽宁)将函数 y ? 3sin(2 x ? 函数( )

?
3

) 的图象向右平移

? 个单位长度,所得图象对应的 2

A.在区间 [

, ] 上单调递减 12 12 ? 7? ] 上单调递增 B.在区间 [ , 12 12
C.在区间 [ ? D.在区间 [ ?

? 7?

? ?

? ?

, ] 上单调递减 6 3 , ] 上单调递增 6 3

5. (2014 新 课 标 II) 设 函 数 f ? x ? ? 3 sin ? x . 若 存 在 f ? x ? 的 极 值 点 x0 满 足

m

2 x0 2 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ? m ,则 m 的取值范围是( 2

) C.

A.

? ??, ?6? ? ? 6, ??

B.

? ??, ?4? ? ? 4, ??

? ??, ?2? ? ? 2, ??

D. ? ??, ?1? ? ?4, ? ?
1

6 (2014 浙江)为了得到函数 y ? sin 3x ? cos3x 的图像,可以将函数 y ? 2 sin 3x 的图 像( )

? 个单位 4 ? C.向右平移 个单位 12
A.向右平移 7(2014 新课标 I).

? 个单位 4 ? D.向左平移 个单位 12
B.向左平移

如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA ,终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线, 垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x) ,则

y = f ( x) 在[0, ? ]上的图像大致为

8(2014 新课标 I)设 ? ? (0,

?

1 ? sin ? ? ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ? ,则 2 2 cos ?

A . 3? ? ? ?
二.填空题

?
2

B . 2? ? ? ?

?
2

C . 3? ? ? ?

?
2

D . 2? ? ? ?

?
2

9. (2014 大纲)若函数 f ( x) ? cos 2 x ? a sin x 在区间 ( 是 .

? ? , ) 是减函数,则 a 的取值范围 6 2

10. (2014 江苏) 已知函数 y ? cos x 与 y ? sin(2 x ? ? ) (0≤ ? ? ? ),它们的图象有一个横坐标为

?
3

的交点,则 ? 的值是 ▲ .

11. (2014 上海)设常数 a 使方程 sin x ? 3 cos x ? a 在闭区间[0,2 ? ]上恰有三个解 x1 , x2 , x3 , 则 x1 ? x2 ? x3 ? 。

12.(2014 安徽)若将函数 f ( x ) ? sin( 2 x ? 对称,则 ? 的最小正值是

?
4

) 的图像向右平移 ? 个单位, 所得图像关于 y 轴

.

13. (2014 北京) 设函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) , A ? 0, ? ? 0 ,若 f ( x) 在区间 [

? ? , ] 上具有 6 2

2

单调性,且 f ? 期为________.

?? ? ? 2? ? ?? ? ?? f? ? ? ? f ? ? ,则 f ( x) 的最小正周 ?2? ? 3 ? ?6?

14、 (2014 浙江)如图,某人在垂直于水平地面 点 处进行射击训练.已知点 到墙面的距离为 墙面的射击线 若

的墙面前的 , 某目标点 沿

移动,此人为了准确瞄准目标点 ,需计算由点 观察点 的仰角 的大小. 则 的最大值

15.(2014 上海)函数 y ? 1 ? 2 cos2 (2x)的最小正周期是_______ . 三.解答题 16. (2014 重庆)(本小题 13 分, (I)小问 5 分, (II)小问 8 分)

? ?? ? ? f ?x ? ? 3 sin ??x ? ? ? ? ? ? 0, ? ?? ? ? x? 2 2 ? 的图像关于直线 ? 3 对称, 已知函数
且图像上相邻两个最高点的距离为 ? . (I)求 ? 和 ? 的值;

3 ?? 2? ? 3? ? ?? ? ? cos? ? ? f? ?? ? ? ?? ? ? 2 ? 的值. 4 ?6 3 ? ,求 ? (II)若 ? 2 ?

17. (2014 湖北)(本小题满分 11 分) 某实验室一天的温度(单位: )随时间 (单位:h)的变化近似满足函数关系:

(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差; (Ⅱ)若要求实验室温度不高于 ,则在哪段时间实验室需要降温?

3

18. (2014 江苏) (本小题满分 14 分)
5 ? 已知 ? ? ( , ? ) , sin ? ? . 5 2

(1)求 sin( ? ? ) 的值; 4 5? (2)求 cos( ? 2? ) 的值. 6

?

19.(2014 天津)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin ? x ? (Ⅰ )求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ )求 f ? x ? 在闭区间 ? ?

? ?

??

3 2 ,x?R. ? ? 3 cos x ? 3? 4

? ? ?? , ? 上的最大值和最小值. ? 4 4?

20.(2014 福建) (本小题满分 13 分) 已知函数

1 f ( x) ? cos x(sin x ? cos x) ? . 2
?

(1)若 0 ? ? (2)求函数

?
2

,且 sin ?

?

2 ,求 f (? ) 的值; 2

f ( x) 的最小正周期及单调递增区间.

21. (2014 江西)已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? a cos( x ? 2? ) ,其中 a ? R, ? ? (? (1)当 a ?

? ?

2, ? ?

?
4

, ) 2 2

时,求 f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的最大值与最小值;

(2)若 f ( ) ? 0, f (? ) ? 1 ,求 a , ? 的值.

?

2

4

2014 年高考数学试题汇编 三角函数答案
一、选择题

1-5 C B A B C 6-8 D B B

二.填空题 9. 【答案】 ? ??, 2? .10. 11.

7π 3

12.

3? 13. 8

5 3 14、 9

π 15. 2

三.解答题

ω = 2,φ = 16. 【答案】 (I) 【解析】 (I)

π 6

3 + 15 8 (II)

5

2π π π T π π π ?ω = 2 ? x = 为对称轴∴ f ( - ) = f ( ) = 0,且 - ≤ φ< |ω| 3 3 4 12 2 2 π π π π ∴ f(x)= 3 sin 2( x - ) = 3 sin(2 x - ),φ = - .所以, ω = 2,φ = 12 6 6 6 ?由题可知,周期 T = π ∴T =
(II)

α 3 π 3 π 1 ? f ( )= ∴ 3 sin(α - ) = ,即sin(α - ) = 2 4 6 4 6 4 3π π π π 3 π 1 ? cos(α + ) = sin α = sin[(α - ) + ] = sin(α - ) ? + cos(α - ) ? 2 6 6 6 2 6 2 π 2π π π π 15 ? < α < ∴0 < α - < , cos(α - ) = . 6 3 6 2 6 4 3π 1 3 15 1 3 + 15 3π 3 + 15 ∴ cos(α + ) = ? + ? = .所以, cos(α + ) = 2 4 2 4 2 8 2 8
17. (Ⅰ)因为 f (t ) ? 10 ? 2(

? ? 3 ? 1 ? cos t ? sin t ) = 10 ? 2 sin( t ? ) , 12 3 2 12 2 12 ? ? ? 7? ? ? t? ? 由 0≤t<24,所以 ? , ? 1 ? sin( t ? ) ? 1 . 3 12 3 3 12 3 ? ? ? ? 当 t=2 时, sin( t ? ) ? 1 ;当 t=14 时, sin( t ? ) ? ?1 . 12 3 12 3

于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12℃,最低温度为 8℃,最大温差为 4℃. (Ⅱ)依题意,当 f(t)>11 时,实验室需要降温. 由(Ⅰ)得 f (t ) ? 10 ? 2 sin( 即 sin(

?
12

t?

?
3

) ,故有 10 ? 2 sin(

?
12

t?

?
3

) >11,

?
12

t?

?
3

) <?

又 0≤t<24,因此

7? ? ? 11? ? t? ? ,即 10<t<18. 6 12 3 6

1 . 2

在 10 时至 18 时实验室需要降温. 18.

6

19.【答案】

(1) π

(2)

1 1 - , 2 4

(15)本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式,三角函数的最小正 周期、单调性等基础知识. 考查基本运算能力. 满分 13 分.

? sin x + (Ⅰ )解:由已知,有 f ( x) = cos x 诅 ?

骣 1 ?2 桫

3 ÷ cos x÷ ÷ ÷ 2

3 cos 2 x +

3 4

=

1 sin x ?cos x 2 =

3 3 cos 2 x + 2 4

1 3 3 sin 2 x (1 + cos 2 x) + 4 4 4
1 sin 2 x 4 3 cos 2 x 4

=

=
所以, f ( x) 的最小正周期 T =

1 骣 p sin ? 2x - ÷ ÷. ? 桫 2 ? 3÷
2p = p. 2

(Ⅱ )解:因为 f ( x) 在区间 犏 - ,-

轾p 犏 臌4

轾p p p 上是减函数,在区间 犏 , 上是增函数. 犏 12 臌12 4 骣 p÷ 1 f? ÷= . ? ? 桫 4÷ 4
7

骣 p÷ 1 , f? - ÷ = ? ? 桫 4÷ 4

骣p÷ 1 , f? = ÷ ? ? 桫 12 ÷ 2

所以,函数 f ( x) 在闭区间 犏 - ,

轾p p 1 1 上的最大值为 ,最小值为 . 犏 4 2 臌4 4

π 2 2 20.方法一:(1)因为 0<α< ,sinα= ,所以 cosα= . 2 2 2 所以 f(α)= 2 ? 2 2? 1 × - 2 ?2+2? 2

1 = . 2 (2)因为 f(x)=sin xcos x+cos2x- 1+cos 2x 1 1 = sin 2x+ - 2 2 2 1 1 = sin 2x+ cos 2x 2 2 = π 2 ? sin 2x+ ?, 2 4? ? 1 2

2π 所以 T= =π . 2 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? 21. 【解析】 (1)

a ? 2, ? ?

?
4

,

? f ( x) ? sin( x ? ? ) ? a cos( x ? 2? ) ? sin( x ? ) ? 2 cos( x ? ) 4 2

?

?

2 2 sin x ? cos x ? 2 sin x 2 2 2 2 ……………………………………………………………3 分 ? cos x ? sin x 2 2 ?? ? ? cos ? x ? ? 4? ? ? ? 5? ? ? x? ? 又 0? x ?? , …………………………………………………………4 分 4 4 4 ?
??1 ? f ? x ? ? 2 2 ? f min ? x ? ? ?1, f max ? x ? ? 2 2

;……………………………………………………………6 分 (2)

f ( ) ? sin( ? ? ) ? a cos( ? 2? ) ? cos ? ? a sin 2? ? cos ? ? a 2sin ? cos ? ? 0 2 2 2
8

?

?

?

又 ? ? (?

? ?

, ) ,? cos ? ? 0,? 2a sin ? ? 1 …………………………………………7 分 2 2

f (? ) ? sin(? ? ? ) ? a cos(? ? 2? ) ? ? sin ? ? a cos 2? ? 1
?? sin ? ? a ?1 ? 2sin 2 ? ? ? 1 ?? sin ? ? a ? 2a sin 2 ? ? 1
? a ? ?1 …………………………………………10 分 1 ? ? ? ? sin ? ? ? ,又 ? ? (? , ) ,所以 ? ? ? ………………12 分 2 2 2 6

9


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