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人教新课标版(A)高二选修1-1 第一章常用逻辑用语综合例题

人教新课标版(A)高二选修 1-1 第一章 常用逻辑用语综合例题 例 1. 把下列各命题作为原命题,分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题。 (1)若 ? ? ? ,则 sin ? ? sin ? ; (2)若对角相等,则梯形为等腰梯形; (3)已知 a、b、c、d 都是实数,若 a ? b , c ? d ,则 a ? c ? b ? d 。 分析:先明确原命题的条件 p 与结论 q,把原命题写成“若 p,则 q”形式,再去构造 其他三种命题,对具有大前提的原命题,在写出其他三种命题时,应保留这个大前提。 解: (1)逆命题:若 sin ? ? sin ? ,则 ? ? ? ; 否命题:若 ? ? ? ,则 sin ? ? sin ? ; 逆否命题:若 sin ? ? sin ? ,则 ? ? ? 。 (2)逆命题:若梯形为等腰梯形,则它的对角线相等; 否命题:若梯形的对角线不相等,则梯形不是等腰梯形; 逆否命题:若梯形不是等腰梯形,则对角线不相等。 (3)逆命题:已知 a、b、c、d 是实数,若 a ? b 或 c ? d ,则 a ? b , c ? d ; 否命题:已知 a、b、c、d 是实数,若 a ? b 或 c ? d ,则 a ? c ? b ? d ; 逆否命题:已知 a、b、c、d 是实数,若 a ? c ? b ? d ,则 a ? b 或 c ? d 。 例 2. “已知 a,b,c,d 是实数,若 a ? c , b ? d ,则 a ? b ? c ? d ” ,写出上述命题的逆 命题,否命题与逆否命题,并分别判断它们的真假。 分析:按照定义写出各命题,再分析。 解法 1:逆命题;已知 a,b,c,d 是实数,若 a ? b ? c ? d ,则 a,b 都分别大于 c、d; 否命题:已知 a,b,c,d 是实数,若 a,b 不都分别大于 c,d,则 a ? b ? c ? d ; 逆否命题:已知 a,b,c,d 是实数,若 a ? b ? c ? d ,则 a,b 不都分别大于 c,d。 逆命题为假命题,例如 5 ? 1 ? 2 ? 3 ,但 5 ? 2 ,1 ? 3 ,根据逆命题与否命题的等价性知 否命题为假命题。 因为原命题为真命题,根据原命题与逆否命题的等价性得逆否命题为真命题。 因为原命题为真命题,根据原命题与逆否命题的等价性是逆否命题为真命题。 解法 2:逆命题:已知 a,b,c,d 是实数,若 a ? b ? c ? d ,则 a ? c , b ? d ; 否命题:已知 a,b,c,d 是实数,若 a ? c 或 b ? d ,则 a ? b ? c ? d ; 逆否命题:已知 a,b,c,d 是实数,若 a ? b ? c ? d ,则 a ? c 或 b ? d 。 点拨: “已知 a,b,c,d 是实数”是大前提,写四种命题时应该保留,解法 1 的写法 是把原命题的条件写成“a,b 都分别大于 c,d” ,把原命题的结论写成“ a ? b ? c ? d ” ,把 条件用文字语言来表述,写否定也用文字语言表述,但要注意其否定到底是用“不都”还是 “都不” ,解法 2 把原命题的条件和结论作了符号化处理,这样写的好处是否定时有规律可 循: “p 且 q”的否定是“ ?p 或 ?q ” 。 例 3. 若 p : x 3 ? 2x ? xh 2 , q : 3 ? 2x ? x 2 ,则 p 是 q 的 A. B. C. D. 充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 分析:方程 3 ? 2x ? x 2 ,即 x 2 ? 2x ? 3 ? 0 的解集为 ?x | x ? 1或x ? ?3? ,关键是方程 http://school.chinaedu.com 1 x 3 ? 2x ? x 2 的解集是什么,可有以下两种解法。 方法 1: x 3 ? 2x ? x 2 ? x 2 ?3 ? 2 x ? ? x 4 ? x 2 x 2 ? 2x ? 3 ? 0 ? x ?x ? 3??x ? 1? ? 0 2 ? ? ? x ? 0, x ? ?3, x ? 1 经检验 x ? ?3 不是原方程的解,因此原方程的解集为 ?x | x ? 0或x ? 1?。 方法 2: x 3 ? 2x ? x 2 ?x ? 0 ?x ? 0 ? ? 3 ? ? ?3 ? 2 x ? 0 , ? ?x ? 。 2 ? 2 ? 4 2 2 ?x ?3 ? 2 x ? ? x ? ?x x ? 2 x ? 3 ? 0 ? ? ? x ? 0 或 x ? 1, 即原方程的解集为 ?x | x ? 0或x ? 1?。 答案:D 点拨:从集合的角度分析 p 与 q 的逻辑关系,直观简明,不失为一种好的方法。 例 4. 已知 x 为实数, a ? x 2 ? 1 , b ? 2 ? x , c ? x 2 ? x ? 1 ,用反证法证明:a,b,c 中 2 至少有一个不小于 1。 证明:假设 a,b,c 均小于 1,则有 a ? b ? c ? 3 , 而 a ? b ? c ? x2 ? 2 1 1 ? 2 ? x ? x 2 ? x ? 1 ? 2x 2 ? 2x ? ? 3 2 2 1? ? ? 3 ? 2? x ? ? ? 3 , 2? ? 这与 a ? b ? c ? 3 矛盾, 所以 a,b,c 中至少有一个不小于 1。 点拨:用反证法证明命题的一般步骤如下: (1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立; http://school.chinaedu.com 2 (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾; (3)由矛头判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。 例 5. 求实数 a 的取值范围,使得关于 x 的方程 x 2 ? 2?a ? 1?x ? 2a ? 6 ? 0 。 (1)有两个都大于 1 的实数根; (2

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