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高三一轮复习解答题专项训练(2)(三角函数—有详细答案)

高三一轮复习解答题专项训练(2) 姓名
1. ?ABC 内接于以 O 为圆心,1 为半径的圆,且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 . (1)求数量积 OA ? OB , OB ? OC , OC ? OA ; (2)求 ?ABC 的面积.

2.在Δ ABC中, AB ? AC ? 1, AB ? BC ? ?3. ⑴求 AB 边的长度; ⑵求

sin ? A ? B ? 的值. sin C

-1-

3.已知不重合的两个点 P(1, cos x), Q(cos x,1) , x ? [ ?

? ?

, ] , O 为坐标原点。 4 4

(1)求 OP与OQ 夹角的余弦值 f ( x ) 的解析式及其值域; (2)求 ?OPQ 的面积 S ( x) ,并求出其取最大值时, OP ? OQ 的值。

4.在△ ABC 中,已知 AB · AC =9,sin B =cos A sin C ,面积 S ?ABC =6. (1)求△ ABC 的三边的长; (2)设 P 是△ ABC (含边界)内一点, P 到三边 AC 、 BC 、 AB 的距离分别为 x,y 和 z,求 x+y+z 的取值范围.

-2-

5.如图, 在平面四边形 ABCD 中, AB=AD=1, ∠BAD=θ , 而△BCD 是正三角形, (1) 将四边形 ABCD 面积 S 表示为θ 的函数; (2) 求 S 的最大值及此时θ 角的值.
B A

C

D

1 π? ? ? , g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x . 12 ? ? (I)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值.
6.已知函数 f ( x) ? cos ? x ?
2

(II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间

-3-

7.已知在△ ABC 中, A ? B ,且 tan A 与 tan B 是方程 x2 ? 5 x ? 6 ? 0 的两个根. (Ⅰ )求 tan(A ? B) 的值; (Ⅱ )若 AB ? 5 ,求 BC 的长.

8.已知向量 m = ?sin B, 1 ? cos B? , 向量 n =(2,0) ,且 m 与 n 所成角为

? , 3

其中 A、B、C 是 ?ABC 的内角。 (1)求角 B 的大小; (2)求 sin A ? sin C 的取值范围。

-4-

高 2011 级高三一轮复习解答题专项训练(2)参考答案 姓名
1. ?ABC 内接于以 O 为圆心,1 为半径的圆,且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 . (1)求数量积 OA ? OB , OB ? OC , OC ? OA ; (2)求 ?ABC 的面积. 解: (1)由已知可得 | OA |?| OB |?| OC |? 1,由 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 可得 3OA ? 4OB ? ?5OC , 两边平方得 9| OA |2 ?24OA? OB ?16| OB |2 ? 25| OC |2 ,即 9 ? 24OA ? OB ?16|? 25 ,

4 3 , OC ? OA ? ? . 5 5 1 1 (2)由 OA ? OB ? 0 可得 OA ? OB ,∴ S?AOB ? | OA || OB |? 2 2
∴ OA ? OB ? 0 。同理可得 OB ? OC ? ? 由 OB ? OC ? ?

4 OB ? OC 4 ,得 cos ?BOC ? ( ?BOC ?[0, ? ] ) ?? , 5 5 | OB || OC |
2

∴ sin ?BOC ? 1 ? cos ?BOC ? 1 ? (? ) ?

1 3 4 2 3 ,∴ S ?BOC ? | OB || OC | sin ?BOC ? , 2 10 5 5 3 3 同理由 OC ? OA ? ? ,可得 cos ?COA ? ? , ( ?COA ?[0, ? ] ) 5 5
∴ sin ?COA ? 1 ? cos ?COA ? 1 ? (? ) ?
2 2

3 5

1 2 4 ,∴ S?AOC ? | OB || OC | sin ?COA ? , 2 5 5

∴S

?ABC

? S?AOB ? S?BOC ? S?COA ? ?

1 3 2 6 ? ? 2 10 5 5
⑴求 AB 边的长度; ⑵求

2.在Δ ABC中, AB ? AC ? 1, AB ? BC ? ?3.

解:(1)法一:由已知可得: AB ? AC ? AB ? AB ? BC ? AB ? AB ? AB ? BC ? AB ? 3 ? 1. ∴ ? AB ?2 ?3 ? 1,∴ AB ? 2. 即 AB 边的长度为 2.

?

?

sin ? A ? B ? 的值. sin C
2

法二:设 AB ? c, BC ? a, AC ? b ,则由已知可得: AB ? AC ? AB ? AC cos AB, AC ? cb cos A ? 1 ,

b2 ? c 2 ? a 2 ? 1 ,整理可得: b2 ? c 2 ? a 2 ? 2 ……① 2bc 又 AB ? BC ? AB BC cos AB, BC ? ca cos(? ? B) ? ?ac cos B ? ?3 ,∴ ac cos B ? 3
由余弦定理可得: cb

a 2 ? c 2 ? b2 ? 3 ,整理可得 a 2 ? c2 ? b2 ? 6 ……②,①+②可得 2c2 ? 8 ,∴ c ? 2 。 由余弦定理可得 ac 2ac 法三:由已知 AB ? AC ? 1 ……①, AB ? BC ? ?3 ……②,①—②可得 AB AC ? AB BC ? AB ( AC ? BC)

? AB ( AC ? BC) ? AB AB ? AB ? AB ? 4 ,∴ AB ? 2 ,即 AB ? 2 。
(2)由已知条件可得 : AB ? AC ?? AB ? ? ? AC ? cos ? AB, AC ?? cb cos A ? 1

2

2

1 , 2 又 AB ? BC ?? AB ? ? ? BC ? cos ? AB, BC ? ? ca cos(? ? B) ? ?ac cos B ? ?3
由(1)可知 c ?? AB ?? ? ,∴ 2b cos A ? 1 ,∴ b cos A ?
-5-

∴ ac cos B ? 3 ,即 2a cos B ? 3 ,∴ a cos B ?

3 。 由正弦定理可得: 2

3 1 sin ? A ? B ? sin ? A ? B ? sin A cos B ? cos A sin B a cos B ? b cos A 2 ? 2 1 ? = = ? ? sin C sin ? A ? B ? sin A cos B ? cos A sin B a cos B ? b cos A 3 ? 1 2 2 2 ? ? 3.已知不重合的两个点 P(1, cos x), Q(cos x,1) , x ? [ ? , ] , O 为坐标原点。 4 4 (1)求 OP与OQ 夹角的余弦值 f ( x ) 的解析式及其值域;
(2)求 ?OPQ 的面积 S ( x) ,并求出其取最大值时, OP ? OQ 的值。 解: (1)由已知可得: OP ? (1,cos x), OQ ? (cos x,1) ∴ OP ? OQ ? (1,cos x) ? (cos x,1) ? 2cos x , ? OP ? = ? OQ ?? 1+cos2 x ∴ f ( x ) = cos ? ?

OP ? OQ OP OQ

?

1 2 cos x ? ? ? cos x ? 1 , ,∵ P, Q 不重合,∴ x ? [? , 0) (0, ] ,∴ 2 4 4 1 ? cos x 2

2 2cos x 2 , 令 t ? cos x ,则 f ( x) ? g (t ) ? ? 2 1 1 ? cos x cos x ? 1 t? t cos x 1 1 1 ,1) 时为减函数,∴函数 g (t ) 当 t ? [ ,1) 时为增函数 ∵函数 h(t ) ? t ? , 当t ? [ t 2 2
f ( x) =

2 2 2 2 2 2 ? f ( x) ? 1 ,∴所求函数 f ( x) 的值域为 [ ,1) ? g (t ) ? 1 。即: 3 3 3 2cos x 2 1 1 2 2 (2) S ( x) = OP OQ sin ? ? (1 ? cos x) sin ? ,由(1)可知 sin ? ? 1 ? cos ? = 1 ? ( ) 2 2 1 ? cos 2 x


sin 2 x 1 1 2 1 ? cos 2 x 1 ? cos 2 x 2 sin 2 x 2 2 = = ,∴ S ( x) = (1 ? cos x) sin ? = sin x = ) ( ) 2 2 2 4 2 2 1 ? cos x 1 ? cos x 1 ? cos x 1 1 ? ? ? ? = ? cos 2 x ? ,( x ? [? , 0) (0, ] ),∵ 2 x ? [ ? , 0) (0, ] , 4 4 2 2 4 4 ? ? 1 ? ∴当 2 x ? ? ,即x ? ? 时, S ( x) 取最大值 ,此时 OP ? OQ = 2 cos x =2 cos( ? ) = 2 。 2 4 4 4
= ( 4.在△ ABC 中,已知 AB · AC =9,sin B =cos A sin C ,面积 S?ABC (1)求△ ABC 的三边的长; ? 6。

(2)设 P 是△ ABC (含边界)内一点, P 到三边 AC 、 BC 、 AB 的距离分别为 x, y 和 z , 求 x ? y ? z 的取值范围. 解: (1)设 AB ? c,AC ? b,BC ? a 则由已知可得: AB ? AC ?? AB ? ? ? AC ? cos ? AB, AC ?? cb cos A ? 9 ,

1 2 ? bc cos A ? 9……① sin A 4 ? , 由 ? 中②÷①可得: tan A ? cos A 3 ?bc sin A ? 12……②

S?ABC ? bc sin A ? 6 ,∴ bc sin A ? 12

∵ tan A ?

4 ? ? 0 ,且 A ? (0, ? ),∴ ?A ? (0, ) , 3 2

-6-

? sin A 4 ? 4 3 4 ? 解方程组 ? cos A 3 可得: sin A ? , cos A ? ,将 sin A ? 带入上面②可得: bc ? 15 , 5 5 5 2 2 ? ?sin A ? cos A ? 1 sin B 3 sin B b b 3 ? cos A ? ,又由正弦定理可得: ? ,∴ ? 由 sin B =cos A sin C 可得, sin C 5 sin C c c 5 ?bc ? 15 ?b ? 3 3 ? 2 2 2 2 2 解方程组 ? b 3 可得 ? ,由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 3 ? 5 ? 2 ? 3 ? 5 ? ? 16 ,∴ a ? 4 。 5 ? ?c ? 5 ? ?c 5
(2)依题意 S?ABC

? S?PAC ? S?PBC ? S?PAB ?

?

1 1 1 12 ? 3 x ? 4 y ? 3 ? x ? ??4 ? y ? 5 ? z ? 6 ,∴ 3x ? 4 y ? 5z ? 12 ,∴ z ? (0 ? 3x ? 4 y ? 12) 2 2 2 5
?0 ? 3 x ? 4 y ? 12, 12 ? 3 x ? 4 y 12 1 ? ? ? (2 x ? y ) 设 t ? 2 x ? y , ? x ? 0, ∴x? y?z ? x? y? 5 5 5 ? y ? 0, ? 12 由线性规划可得 0 ? t ? 8 ,∴ ? x ? y ? z ? 4 。 5

1 1 1 1 1 1 AC ? x ? BC ? y ? AB ? z ? b ? x ? a ? y ? c ? z 2 2 2 2 2 2

5.如图, 在平面四边形 ABCD 中, AB=AD=1, ∠BAD=θ , 而△BCD 是正三角形, (1) 将四边形 ABCD 面积 S 表示为θ 的函数; 解: (1) 依题意 S ?ABD ? (2) 求 S 的最大值及此时θ 角的值.

B A

1 1 1 AB ? AD sin ?BAD ? ?1?1? sin ? ? sin ? C 2 2 2 3 ∵△BDC 是正三角形, ∴ S ?BCD ? BD 2 4 2 2 2 在△ABD 中,由余弦定理可得: BD ? AB ? AD ? 2 AB ? AD cos ?BAD 1 3 ? 12 ? 12 ? 2 ?1?1? cos ? ? 2 ? 2cos ? ,∴ S =S?ABD +S?BCD ? sin ? ? (2 ? 2cos ? ) 2 4 1 3 3 ? 3 (0 ? ? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? ? sin(? ? ) ? 2 2 2 3 2 ? ? 2? ? 3 (2) 由(1)可知: S ? sin(? ? ) ? (0 ? ? ? ? ) ,∵ ? ? ? ? ? 3 3 3 3 2 ? ? 5? 3 ∴当 ? ? ? ,即 ? ? 时, S 取得最大值为 1+ 2 3 2 6 1 π? 2? 6.已知函数 f ( x) ? cos ? x ? ? , g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x . 12 ? ? (I)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值.
(II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间

D

1 π [1 ? cos(2 x ? )] .∵直线 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴, 2 6 π π 1 1 π ∴ 2 x0 ? ? kπ ,即 2 x0 ? kπ ? ( k ? Z ) .∴ g ( x0 ) ? 1 ? sin 2 x0 ? 1 ? sin( kπ ? ) . 6 6 2 2 6 1 ? 1 3 1 π 1 5 ①当 k 为偶数时, g ( x0 ) ? 1 ? sin ? 1 ? ? ,②当 k 为奇数时, g ( x0 ) ? 1 ? sin ? 1 ? ? . 2 6 4 4 2 6 4 4
解: (I)由题设可知 f ( x) ?
-7-

? ? (II) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 1 ?1 ? cos ? 2 x ? π ? ? ?1 ? 1 sin 2 x ? ? ?

2? ?

?

6 ?? ?

2

1 ? ? 1 (1 ? cos 2 x cos ? sin 2 x sin ) ? 1 ? sin 2 x 2 6 6 2

=

1 3 1 1 1 3 3 1 ? π? 3 (1 ? cos 2 x ? sin 2 x) ? 1 ? sin 2 x = sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin ? 2 x ? ? ? . 2 2 2 2 4 4 2 2 ? 3? 2

π π π 5π π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,即 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ( k ? Z )时, 2 3 2 12 12 1 ? π? 3 5π π? ? 函数 h( x) ? sin ? 2 x ? ? ? 是增函数,∴函数 h( x) 的单调递增区间是 ? kπ ? ,kπ ? ? ( k ? Z ) . 2 ? 3? 2 12 12 ? ? 7.已知在△ ABC 中, A ? B ,且 tan A 与 tan B 是方程 x2 ? 5 x ? 6 ? 0 的两个根. (Ⅰ )求 tan(A ? B) 的值; (Ⅱ )若 AB ? 5 ,求 BC 的长.
当 2kπ ? 解: (Ⅰ )依题意,方程 x2 ? 5 x ? 6 ? 0 的两根分别是 tan A ? 3, tan B ? 2 .

tan A ? tan B 3? 2 ? ? ?1 1 ? tan A tan B 1 ? 3 ? 2 ? (Ⅱ ) ∵ A ? B ? C ? 180 , ∴C ?180 ? ( A ? B) 由(Ⅰ )知, tan C ? tan[180? ? ( A ? B)] ? ? tan( A ? B) ? 1 ,
∴ tan( A ? B) ? ∵C ? (0?,180?) ,∴ C ? 45? ,∴sin C ?

2 , 2

? sin A ?3 sin A 3 ? ? 3 ,解方程组 ? cos A A ? (0?,180?) 可得: sin A ? ∵tan A ? , cos A 10 2 2 ? ?sin A ? cos A ? 1
3 AB sin A AB BC 10 ? 3 5 。 ? ? 在 ?ABC 中,由正弦定理可得: ,∴. BC ? sin C sin A sin C 2 2 ? 8.已知向量 m = ?sin B, 1 ? cos B? , 向量 n =(2,0) ,且 m 与 n 所成角为 , 3 5?
其中 A、B、C 是 ?ABC 的内角。 (1)求角 B 的大小; 解: (1)? m = ?sin B, 1 ? cos B? , n =(2,0)
2 2 ∴ ? m ?? sin B ? (1 ? cos B) ?

(2)求 sin A ? sin C 的取值范围。

2 ? 2 cos B , ? n ?? ? , m ? n ? (sin B,1 ? cos B) ? (2,0) ? 2sin B

∵ m 与 n 所成角为

? ? 2sin B m?n ,∴由 cos ? m,n ?? 可得: cos ? 3 3 2 2 ? 2cos B ? m??? n?

即:

1 1 sin 2 B 1 1 ? cos 2 B 1 sin B ? ,两边平方可得: ? ,即: ? ,即: 1 ? cos B ? 2 2 1 ? cos B 4 2 ? 2cos B 2 2 ? 2 cos B

1 2? ,∵ B ? (0, ? ) ,∴ B ? 2 3 2? ? ? (2) 由(1)知, B ? ,∴ A ? C ? ? ? B ? ,∴ sin A ? sin C = sin A ? sin( ? A) 3 3 3
∴ cos B ? ?

-8-

= sin A ? sin

?
3

cos A ? cos

?
3

sin A ? sin A ?

? 3 1 1 3 cos A ? sin A = sin A ? cos A = sin( ? A) , 3 2 2 2 2

∵ 0? A?

?
3

,∴

?
3

? A?

?
3

?

? 3 ? ? 3 ? 2? ? ,1? , ∴ sin A ? sin C ? ? ∴ sin( ? A) ? ? ? ? 2 ,1? 。 3 3 ? 2 ? ? ?

-9-


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