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辽宁省沈阳市第二中学2016届高三数学下学期第一次模拟考试试题 理


沈阳二中 2015-2016 学年度下学期第一次模拟考试 高三(16 届)数学(理)试题
说明:1.测试时间:120 分钟 总分:15 0 分 2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上 第Ⅰ卷(60 分) 一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. 设集合 M ? { y | y ? x 2 ? 1, x ? R}, N ? {x | y ? 3 ? x 2 , x ? R} ,则 M ? N 等于( A. [? 3, 3] B. [?1, 3] C. ? D. ?1, 3 ? ? ) )

?

2. 设 i 是虚数单位,若复数 a ?

17 ( a ? R )是纯虚数,则实数 a 的值为( 4?i

A.-4 B.-1 C.4 D.1 3. 某考察团对全国 10 大城市进行职工人均工资水平 x(千元)与居民人均消费水平 y(千元)统计调查,

? =0.66x+1.562,若某城市居民人均消费水平为 7.675(千元) y 与 x 具有相关关系,回归方程 y ,估计
该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( A. 83% B. 72% C. 67% 4. 下列叙述中正确的是( )
2

) D. 66%
2

A.若 a, b, c ? R ,则“ ax ? bx ? c ? 0 ”的充分条件是“ b ? 4ac ? 0 ” B.若 a, b, c ? R ,则“ ab ? cb ”的充要条件是“ a ? c ”
2 2

C.命题“对任意 x ? R ,有 x ? 0 ”的否定是“存在 x ? R ,有 x ? 0 ”
2 2

D. l 是一条直线, ? , ? 是两个平面,若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ?

? x y ? 3 ? 5. ? ? 的展开式中,x 的系数等于( x? ? y
A.-15 B.15 C.20 D.-20

6



6.偶函数 f ? x ? ? Asin ?? x ? ? ?? A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ? 的图象向右平移 对称,则 ? 的值可以为( A.1 B.2 ) C.3 D.4

? 个单位得到的图象关于原点 4

7.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则在该几 何体中, 最长的棱的 长度是( ) A. 4 2 B. 2 5 C. 6 D. 4 3

8. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ,点(n,Sn)在函数 f(x)= 数列{an}的通项公式为( )

?

x

1

(2t ? 1)dt 的图象上,则

-1-

A. an ? 2n

B. an ? n2 ? n ? 2

C. an ? ?

? 0 ,n ? 1 ?2n ? 1, n ? 2

D. an ? ?

? 0 ,n ? 1 ?2n , n ? 2

9.已知一次函数 f ( x) ? ax ? 1 满足 a ? [?1,2] 且 a ? 0 ,那么 对于 a,使得 f ( x ) ? 0 在 x ? [0,1] 上恒成 立的概率为( A. ) B.

3 4

2 3

C.

1 2

D.

1 3
1 ,AB ? BC ? CA ? 3 , 2

10. 点 S 、A 、B 、C 在半径为 2 的同一球面上, 点 S 到平面 ABC 的距离为 则点 S 与 ?ABC 中心的距离为( A. 3 B. 2 ) C. 1 D.

1 2

11. 已 知 函 数 f ? x ? ?

1 3 1 2 x ? ax ? bx ? c 在 x1 处 取 得 极 大 值 , 在 x2 处 取 得 极 小 值 , 满 足 3 2 a ? 2b ? 4 的取值范围是( ) x1 ? ? ?1,0? , x2 ? ? 0,1? ,则 a?2
B.(1,3) C.[0,3] D.[1,3]

A.(0,2)

12. 过点 (0,2b) 的直线 l 与双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1(a, b ? 0) 的一条斜率为正值的渐近线平行,若双曲线 C a2 b2
C. ?1,2? D. 1, 2

的右支上的点到直线 l 的距离恒大于 b ,则双曲线 C 的离心率的取值范围是( A. ?1,2? B. ?2,???

?

?



第Ⅱ卷(90 分) 二.填空题:(本大题共 4 小 题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13. 抛物线 y ? 8x 的准线方程是
2

.

14. 公元 263 年左右, 我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限 增加时, 多边形面积可无限逼近 圆的面积,并创立了“割圆术” ,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14 , 这就是著名的“徽率” .如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个 程序框图,则输出的值为
? ? (参考数据: sin 15 ? 0.2588, sin 7.5 ? 0.1305)

15 .已知两个非零平面向量 a, b 满足:对任意 ? ? R 恒有 a ? ? b ? a ?

1 b ,若 2

b ? 4 ,则 a ? b ?

.

16. 已知等比数列{an}中 a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是 三、解答题(共 70 分) 17.(本小题满分 12 人)



sin △ABC 中,

4 3 ?ABC 3 ? , AB=2, 点 D 在线段 AC 上, 且 AD=2DC, BD ? 3 2 3

(Ⅰ)求 BC 的长; (Ⅱ)求△DBC 的面积。
-2-

18.(本小题满分 12 人) 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树,乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中 以 X 表示。

(Ⅰ)如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差。 (Ⅱ)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数 学期望。

19.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,△ABC 是边长为 2 的等边三角形,AA1⊥平面 ABC,点 E 是 AB 的中点, CE∥平面 A1BD。 (Ⅰ)求证:点 D 是 CC1 的中点; (Ⅱ)若 A1D⊥BD,求平面 A1BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值。
A E B

D

C

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 离心率为 ,点 P ? 0,1? 在短轴 CD 上, 2 a b 2



uuu r uuu r PC ? PD ? ?1 .

(I)求椭圆 E 的方程; (II)过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交于 A,B 两点. (i)若 PB ?

uur

u r 1 uu AP ,求直线 l 的方程; 2

(ii)在 y 轴上是否存在与点 P 不同的定点 Q,使得 若不存在,请说明理由. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

QA QB

?

PA PB

恒成立,若存在,求出点 Q 的坐标,

1 2 x ? (2a ? 2) x ? (2a ? 1) ln x . 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点(2,f(2))处的切线的斜率小于 0,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ) 对任意的 a ? [ , ] ,x1, x2 ?[1,2]( x1 ? x2 ) , 恒有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? ? | 取值范围。

3 5 2 2

1 1 ? | ,求正数 ? 的 x1 x2

-3-

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用 2B 铅笔在答 题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,圆 O 的半径为 6,线段 AB 与圆 O 相交于点 C , D , AC ? 4 ,

?BOD ? ?A , OB 与圆 O 相交于点 E .
(Ⅰ)求 BD 长; (Ⅱ)当 CE ? OD 时,求证: AO ? AD .

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的 极坐标 系中,直线 l 的极坐标方程为

??

?
4

,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos ? ? .( ? 为参数) ? ? y ? sin ?
8 , 3

(Ⅰ)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)过点 M 且平行于直线 l 的直线与曲线 C 交于 A, B 两点,若 | MA | ? | MB |? 求点 M 轨迹的直角坐标方程.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲 (Ⅰ)设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0 的解集为 M,a,b ? M。 证明:
2

1 1 1 a? b ? ; 3 6 4

(Ⅱ)若函数 f(x)=|2x+1|+|2x-3|,关于 x 的不等式 f(x)-log2(a -3a)>2 恒成立,求实数 a 的取值 范围。

-4-

沈阳二中 2015-2016 学年度下学期第一次模拟考试 高三(16 届)数学(理)试题试卷答案 一、选择题: 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 D 5 B 6 B 7 D 8 D 9 B 10 B 11 B 12 A

二、填空题: 13. y ? ?

1 32

14. 24

15.8

16. ( ??, ?1] ? [3, ??)

三、解答题 17. 解(Ⅰ)∵cos∠ABC ?

1 ????????????2? 3 4 2 2 在△ABC 中,设 BC=a,AC=3b ∴9b = a ? 4 ? a ①????5? 3 16 4b 2 ? ? 4 3 在△ABD 中, cos∠ADB= 16 3b 3 16 b2 ? ? a 2 3 在△BDC 中, cos∠BDC= ????????7? 8 3b 3
cos∠ADB=-cos∠BDC

4b 2 ?

16 16 ?4 b2 ? ? a 2 3 3 =- 16 8 3b 3b 3 3



由①②

∴BC=3????????9?

(Ⅱ)

????????12? 18. 解: (Ⅰ)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10。???2? 所以平均数为 ;????????4?

方差为

????6?

-5-

(Ⅱ)当 X=9 时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11; 乙组同学的植树棵数是:9,8,9,10。 分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有 4×4=1 6 种可能的结果, 这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17,18,19,20,21。 事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树 9 棵,乙组选出的同学植树 8 棵”, 所以该事件有 2 种可能的结果, 因此 P(Y=17)= 。

同理可得 P(Y=18)=

1 1 1 1 ;P(Y=19)= ;P(Y=20)= ;P(Y=21)= 。 8 4 4 4
18 19 20 21

所以,随机变量 Y 的分布列为:

Y P

17

????10?

EY=17× +18×

1 8

1 1 1 1 +19× +20× +21× =19。????????12? 8 4 4 4

19. 解: (Ⅰ)取 A1B1 的中点 F,连接 FC1,EF,设 EF ? A1B=G,连接 CD,??1? 由作图过程易得:四边形 CEFC1 为平行四边形,EC∥AA1。 在△AA1B 中,点 E 是 AB 的中点,∴点 G 是 A1B 的中点, EG= AA1= CC1。???????????3? 又 CE∥平面 A1BD,CE ?平面 EFC1C, 且平面 EFC1C ?平面 A1BD=DG, ∴DG∥CE,又∵EG∥CD ∴四边形 CEGD 为平行四边形,CD=EG= CC1, ∴点 D 是 CC1 的中点???????????6? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 EF∥AA1,AA1⊥平面 ABC, ∴EF⊥平面 ABC 又△ABC 是边长为 2 的等边三角形,点 E 是 AB 的中点, ∴CE⊥AB 且 CE= 。
F D G A E B

z

C

y

x

如图,建立空间直角坐标系 E-xyz,设 EF=2h,???????7? 则 B(1,0,0),C(0, ,0),F(0,0,2h),A1(-1,0,2h),D(0, ,h),

???? ? ??? ? ??? ? A1D ? (1, 3, ?h) , BD ? (?1, 3, h) , BA1 ? (?2,0,2h) ,
由 A1D⊥BD 可知: A 1D ? BD ? 0 ,h= 2

???? ? ??? ?

???????8?

由 z 轴⊥平 面 ABC 可得:平面 ABC 的一个法向量为 m=(0,0,1)。????9? 设平面 A1BD 的法向量为 =(x,y,z),
-6-

???? ? ? ? BA1 ? n ? 0 由 ? ??? ? ? BD ?n ? 0 ? ?
令 x= ,则

,得



,

∴cos< , >=



∴平面 A1BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为 。 20.

-7-

21. 解:(Ⅰ)



若曲线

在点(2,f(2))处的切线的斜率小于 0,



,即有

,∴2a+1>2>1,???????2?

则由 f (x)>0 得 0<x<1 或 x>2a+1;由 f (x)<0 得 1<x<2a+1。 ∴f(x)的单调递增区间为(0,1), (2a+1,+?) ,单调递减区间为(1,2a+1)。??5? (Ⅱ)∵ ,∴(2a+1) [4,6],由(Ⅰ)知 f(x)在[1,2]上为减函数。

不妨设 1≤x1<x2≤2,则 f(x1)>f(x2),



∴原不等式即为:f(x1)-f(x2)<





,对任意的

,x1,x2 [1,2]恒成立。??7?
-8-

令 g(x)=f(x)- ,∴对任意的

,x1,x2 [1,2]有 g(x 1)<g(x2)恒成立,

∴g(x)=f(x)- 在闭区间[1,2]上为增函数,



对任意的

,x [1,2]恒成立。????????9?





化简得





≥0,其中





[1,2],

,只需



即 令 ∴ 则

对任意 x [1,2]恒成立, ,x [1,2], 在闭区间[1,2]上为减函数, 。由 ,解得 。??12? 恒成立,

22.解: (I)∵ OC ? OD ,∴ ?OCD ? ?ODC ,∴ ?OCA ? ?ODB . ∵ ?BOD ? ?A ,∴ ?OBD ∽ ?AOC ,∴ ∵ OC ? OD ? 6, AC ? 4 ,∴

BD OD ? , OC AC

BD 6 ? ,∴ BD ? 9 . 6 4

(II)∵ OC ? OE , CE ? OD ,∴ ?COD ? ?BOD ? ?A . ∴ ?AOD ? 180 ? ?A ? ?ODC ? 180 ? ?COD ? ?OCD ? ?ADO .
0 0

∴ AD ? AO .

x2 ? y2 ? 1. 23.解(I)直线 l : y ? x ,曲线 C : 2

-9-

? ? x ? x0 ? ? (II)设点 M ( x0 , y0 ) 及过点 M 的直线为 l1 : ? ?y ? y ? 0 ? ?
由直线 l1 与曲线 C 相交可得:

2 t 2 ( 为参数). t 2 t 2

3t 2 2 2 ? 2tx0 ? 2 2ty0 ? x0 ? 2 y0 ?2 ? 0, 2

| MA | ? | MB |?

2 x 2 ? 2 y0 ?2 8 8 2 2 ?| 0 |? ,即: x0 ? 2 y0 ? 6, 3 3 3 2

x2 ? 2 y 2 ? 6 表示一椭圆,
取 y ? x ? m 代入

x2 ? y 2 ? 1,得: 3x2 ? 4mx ? 2m2 ? 2 ? 0 , 2

由? ? 0得? 3 ? m ? 3, 故点 M 的轨迹是椭圆 x ? 2 y ? 6 夹在平行直线 y ? x ? 3 之间的两段弧.
2 2

24. 解: (Ⅰ)记



,解得

,则

,

所以

. ????? ???5?

(Ⅱ)不等式 等价于 , ,

于是 4>

+2,即

,

所以

. ????????10?

- 10 -


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