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东北三省四市教研联合体2018届高三第二次模拟考理科数学含答案


东北三省四市教研联合体 2018 届高三第二次模拟考试 理科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 A ? x x ? 1 , B ? x x? x ? 3? ? 0 ,则 A ? B ( A. (-1,0) 2.若复数 z ? A.1 B. (0,1) C. (-1,3) )

?

?

?

?

) D. (1,3)

1? i 为纯虚数,则实数 a 的值为( 1 ? ai 1 B.0 C. ? D.-1 2

3.中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”取意是指《孙子算经》中 记载的算筹.古代是用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在下面上进行运算.算筹 的摆放形式有纵横两种形式(如下图所示).表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个 数位的数码从左到右排列.但各位数码的筹式要纵横相间, 个位, 百位, 万位数用纵式表示, 十位,千位,十万位数用横式表示.以此类推.例如 3266 用箅筇表示就是 8771 用算筹可表示为( ) ,则

中国古代的算筹数码 A. B. C. D. 空白框

n 2 4.右图所示的程序框图是为了求出满足 2 ? n ? 28 的最小偶数 n ,那么在

内填入及最后输出的 n 值分别是(



A.n ? n ? 1 和 6 8
2 5.函数 f ( x) ? 1 ? x ?

B.n ? n ? 2 和 6

C. n ? n ? 1 和 8

D.n ? n ? 2 和

tan x 的部分图像大致为( x



A.

B.

C.

D.

6.某几何体的三视图如图所示(单位: cm ) ,其俯视图为等边三角形,则该几何体的体积 (单位: cm )是(
3



A. 4 3

B.

10 3 3

C. 2 3

D.

8 3 3

7.6 本不同的书在书架上摆成一排,要求甲、乙两本书必须摆在两端,丙、丁两本书必须相 邻,则不同的摆放方法有( A.24 B.36 )种 C.48 D.60

8. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若

2b cos B ? a cosC ? c cos A, b ? 2, ?ABC 的面积最大值是(
A.1 B. 3 C.2 D.4



9.已知边长为 2 的等边三角形 ABC , D 为 BC 的中点,以 AD 为折痕,将 ?ABC 折成直二 面角 B ? AD ? C ,则过 A, B, C , D 四点的球的表面积为( A. 3? B. 4? C. 5? D. 6? )

10.将函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? 图象,则 a 的值可以为( A.

? ?

??

? ? 的图像向右平移 a 个单位得到函数 g ( x) ? cos(2 x ? ) 的 4 3?


5? 12

B.

7? 12

C.

?9? 24

D.

41? 24

11..已知焦点在 x 轴上的双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左右两个焦点分别为 F1 和 F2 , 其右支上 m2 m2 ? 1


存在一点 P 满足 PF1 ? PF2 ,且 ?PF1F2 的面积为 3,则该双曲线的离心率为(

A.

5 2

B.

7 2

C. 2

D. 3

3 2 12.若直线 kx ? y ? k ? 1 ? 0 ( k ? R )和曲线 E : y ? ax ? bx ?

5 ( ab ? 0 )的图象交 3

于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) ( x1 ? x2 ? x3 )三点时,曲线 E 在点 A ,点 C 处的切 线总是平行,则过点 (b, a ) 可作曲线 E 的( A.0 B.1 )条切线 C.2 D.3

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

? y ? 0, ? 13.设实数 x , y 满足约束条件 ? 4 x ? y ? 0, 则 z ? x ? 2 y ? 5 的最大值为 ? x ? y ? 5, ?



14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况,某调查人员由下表统计数据计算出回归直线 方程为 y ? ?2.11x ? 61.13 ,现表中一个数据为污损,则被污损的数据为 后结果精确到整数位) 气温 x 用电量 y 18 24 13 34 10 · -1 64 . (最

15.已知函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? 为 .

1 ? f ( x) ,当 f (1) ? 2 时, f (2018) ? f (2019) 的值 1 ? f ( x)

16.已知腰长为 2 的等腰直角 ?ABC 中, M 为斜边 AB 的中点,点 P 为该平面内一动点, 若 | PC |? 2 ,则 ( PA ? PB) ? ( PC ? PM ) 的最小值是 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 且 Sn ? n2 ? n ? 1 , 正项等比数列 ?bn ? 的前 且 b2 ? a2 , b4 ? a5 . (I)求 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (II)数列 ?cn ? 中, c1 ? a1 ,且 cn ? cn?1 ? Tn ,求 ?cn ? 的通项 cn . 18.树立和践行 “绿水青山就是金山银山, 坚持人与自然和谐共生” 的理念越来越深入人心, 已形成了全民自觉参与,造福百姓的良性循环.据此,某网站退出了关于生态文明建设进展 情况的调查,调查数据表明,环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点,参与调查者中 关注此问题的约占 80% . 现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出 200 人, 并将这 200 人按年龄分组:第 1 组 [15, 25) ,第 2 组 [25,35) ,第 3 组 [35, 45) ,第 4 组 [45,55) ,第 5 组 [55,65) ,得到的频率分布直方图如图所示.

n 项和为 Tn ,

(1)求这 200 人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精 确到小数点后一位) ; (2)现在要从年龄较小的第 1,2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人,再从这 5 人中随机抽取 3 人进行问卷调查,求这 2 组恰好抽到 2 人的概率; (3)若从所有参与调查的人(人数很多)中任意选出 3 人,设其中关注环境治理和保护问 题的人数为随机变量 X ,求 X 的分布列与数学期望. 19.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形, PA ? 平面 ABCD , E , F 分别是 线段 AD , PB 的中点, PA ? AB ? 1 .

(1)证明: EF / / 平面 DCP ; (2)求平面 EFC 与平面 PDC 所成锐二面角的余弦值. 20.在平面直角坐标系中,椭圆 C : 圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知 P(?2, 0) 与 Q (2, 0) 为平面内的两个定点,过 (1, 0) 点的直线 l 与椭圆 C 交于 A ,

x2 y 2 1 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,点 M (1, ) 在椭 2 2 2 a b

B 两点,求四边形 APBQ 面积的最大值.
2 21.已知函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 5 ?

a ( a?R ) . ex

(I)若 f ( x ) 为在 R 上的单调递增函数,求实数

a 的取值范围;

x (II) 设 g ( x ) ? e f ( x) , 当 m ? 1 时, 若 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 2 g (m)(其中 x1 ? m ,x2 ? m ) ,

求证: x1 ? x2 ? 2m .

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 :

? cos ? ? 3 ,曲线 C2 : ? ? 4cos ? ( 0 ? ? ?
(I)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (II)设点 Q 在 C2 上, OQ ? 23.选修 4-5:不等式选讲

?
2

) .

2 QP ,求动点 P 的极坐标方程. 3

已知函数 f ( x) ?| 2 x | ? | 2 x ? 3| ?m , m ? R . (I)当 m ? ?2 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (II)对于 ?x ? (??, 0) 都有 f ( x) ? x ?

2 恒成立,求实数 m 的取值范围. x

数学(理科)试题参考答案 一、选择题
1-5: CDCDD 6-10: BABCC 11、12: BC

二、填空题
13.14 14.38 15. ?

7 2

16. 32 ? 24 2

三、解答题
17.解: (1)∵ Sn ? n2 ? n ? 1 ,∴令 n ? 1 , a1 ? 1 ,

an ? Sn ? Sn?1 ? 2(n ?1) , (n ? 2) ,
经检验 a1 ? 1 不能与 an ( n ? 2 )时合并, ∴ an ? ?

?1, n ? 1, ?2(n ? 1), n ? 2.

又∵数列 ?bn ? 为等比数列, b2 ? a2 ? 2 , b4 ? a5 ? 8 , ∴

b4 ? q 2 ? 4 ,∴ q ? 2 , b2

∴ b1 ? 1 ,∴ bn ? 2n?1 . (2) Tn ?

1 ? 2n ? 2n ? 1 , 1? 2

∵ c2 ? c1 ? 21 ?1 , c3 ? c2 ? 22 ? 1,…, cn ? cn?1 ? 2n?1 ?1 , 以上各式相加得 cn ? c1 ?

2(1 ? 2n?1 ) ? (n ? 1) , 1? 2

c1 ? a1 ? 1 ,
∴ cn ?1 ? 2n ? n ?1 , ∴ cn ? 2n ?1 . 18.解: (1)由 10 ? (0.010 ? 0.015 ? a ? 0.030 ? 0.010) ? 1 ,得 a ? 0.035 , 平均数为 20 ? 0.1 ? 30 ? 0.15 ? 40 ? 0.35 ? 50 ? 0.3 ? 60 ? 0.1 ? 41.5 岁; 设中位数为 x ,则 10 ? 0.010 ? 10 ? 0.015 ? ( x ? 35) ? 0.035 ? 0.5 ,∴ x ? 42.1 岁.

(2)第 1,2 组抽取的人数分别为 2 人,3 人. 设第 2 组中恰好抽取 2 人的事件为 A , 则 P( A) ?
1 2 C2 C3 3 ? . 3 C5 5

(3)从所有参与调查的人中任意选出 1 人,关注环境治理和保护问题的概率为 P ?

4 , 5

X 的所有可能取值为 0,1,2,3,
0 3 ∴ P ( X ? 0) ? C3 (1 ? ) ?

1 4 2 12 1 4 1 , P( X ? 1) ? C3 ( ) (1 ? ) ? , 125 5 5 125 4 4 48 P ( X ? 2) ? C32 ( ) 2 (1 ? ) ? , 5 5 125 64 3 4 3 P( X ? 3) ? C3 ( ) ? , 5 125

4 5

所以 X 的分布列为:

X P
∵ X ~ B (3, ) , ∴ E( X ) ? 3?

0
1 125

1

2

3
64 125

12 125

48 125

4 5

4 12 ? . 5 5

19.解: (1)取 PC 中点 M ,连接 DM , MF ,

1 CB , 2 1 ∵ E 为 DA 中点, ABCD 为矩形,∴ DE / / CB , DE ? CB , 2
∵ M , F 分别是 PC , PB 中点,∴ MF / / CB , MF ? ∴ MF / / DE , MF ? DE ,∴四边形 DEFM 为平行四边形, ∴ EF / / DM ,∵ EF ? 平面 PDC , DM ? 平面 PDC , ∴ EF / / 平面 PDC . (2)∵ PA ? 平面 ABC ,且四边形 ABCD 是正方形,∴ AD , AB , AP 两两垂直,以

A 为原点, AP , AB , AD 所在直线为 x , y , z 轴,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,

1 1 1 , 0) , 2 2 2 1 1 1 1 1 设平面 EFC 法向量 n1 ? ( x, y, z) , EF ? ( , , ? ) , FC ? ( ? , ,1) , 2 2 2 2 2
则 P(1, 0, 0) , D(0, 0,1) , C (0,1,1) , E (0, 0, ) , F ( ,

? x ? y ? z ? 0, ? ? EF ? n1 ? 0, ? 则? 即? 1 取 n1 ? (3, ?1,2) , 1 ? x ? y ? z ? 0, FC ? n ? 0, ? ? ? 1 ? 2 2
设平面 PDC 法向量为 n2 ? ( x, y, z) , PD ? (?1,0,1) , PC ? (?1,1,1) , 则?

? ? PD ? n2 ? 0, ? ? PC ? n2 ? 0,

即?

?? x ? z ? 0, 取 n2 ? (1,0,1) , ?? x ? y ? z ? 0,

cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 3 ?1 ? (?1) ? 0 ? 2 ?1 5 7 , ? ? 14 | n1 | ? | n2 | 14 ? 2
5 7 . 14

所以平面 EFC 与平面 PDC 所成锐二面角的余弦值为 20.解: (1)∵

c 1 ? ,∴ a ? 2c , a 2

椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1, 4c 2 3c 2
1 9 ? ? 1 ,∴ c2 ? 1 , 2 2 4c 12c

将 (1, ) 代入得

3 2

∴椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

? x2 y 2 ? 1, ? ? (2)设 l 的方程为 x ? my ? 1 ,联立 ? 4 3 ? x ? my ? 1, ?
消去 x ,得 (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0 ,
2 2

设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 有 y1 ? y2 ?

?6 m ?9 , y1 y2 ? , 2 3m ? 4 3m 2 ? 4
2

有 | AB |? 1 ? m

12 1 ? m2 12(1 ? m2 ) , ? 3m2 ? 4 3m2 ? 4
3 1 ? m2 1 1 ? m2


点 P (?2, 0) 到直线 l 的距离为

点 Q (2, 0) 到直线 l 的距离为



从而四边形 APBQ 的面积 S ?

1 12(1 ? m2 ) 4 24 1 ? m2 (或 ? ? ? 2 3m2 ? 4 3m2 ? 4 1 ? m2

S?

1 | PQ || y1 ? y2 | ) 2

2 令 t ? 1? m , t ? 1 ,

有S ?

24t 1 1 24 ,设函数 f (t ) ? 3t ? , f '(t ) ? 3 ? 2 ? 0 ,所以 f (t ) 在 [1, ??) 上 ? 2 1 3t ? 1 t t 3t ? t 1 t

单调递增, 有 3t ? ? 4 ,故 S ?

24t 24 ? ?6, 2 3t ? 1 3t ? 1 t

所以当 t ? 1 ,即 m ? 0 时,四边形 APBQ 面积的最大值为 6. 21.解: (1)∵ f ( x ) 的定义域为 x ? R 且单调递增, ∴在 x ? R 上, f '( x) ? 2 x ? 4 ? 即: a ? (4 ? 2 x)e ,
x

a ? 0 恒成立, ex

所以设 h( x) ? (4 ? 2 x)e , x ? R ,
x

∴ h '( x) ? (2 ? 2 x)e ,
x

∴当 x ? (??,1) 时, h '( x) ? 0 ,∴ h( x) 在 x ? (??,1) 上为增函数, ∴当 x ? [1, ??) 时, h '( x) ? 0 ,∴ h( x) 在 x ? [1, ??) 上为减函数,
x ∴ h( x)max ? h(1) ? 2e ,∵ a ? ? ?(4 ? 2 x)e ? ?

max



∴ a ? 2e ,即 a ? [2e, ??) . (2)∵ g ( x) ? e f ( x) ? ( x ? 4x ? 5)e ? a ,
x 2 x

∵ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 2 g (m) , m ? [1, ??) , ∴ ( x12 ? 4x1 ? 5)e 1 ? a ? ( x22 ? 4x2 ? 5)e 2 ? a ? 2(m2 ? 4m ? 5)em ? 2a ,
x x

∴ ( x12 ? 4x1 ? 5)e 1 ? ( x22 ? 4x2 ? 5)e 2 ? 2(m2 ? 4m ? 5)em ,
x x

∴设 ? ( x) ? ( x ? 4x ? 5)e , x ? R ,则 ? ( x1 ) ? ? ( x2 ) ? 2? (m) ,
2 x

∴ ? '( x) ? ( x ?1) e ? 0 ,∴ ? ( x) 在 x ? R 上递增,
2 x

∴设 F ( x) ? ? (m ? x) ? ? (m ? x) , x ? (0, ??) , ∴ F '( x) ? (m ? x ?1) e ∵x ? 0, ∴e
m? x

2 m? x

? (m ? x ?1)2 em? x ,

? em? x ? 0 , (m ? x ?1)2 ? (m ? x ?1)2 ? (2m ? 2)2x ? 0 ,

∴ F '( x) ? 0 , F ( x) 在 x ? (0, ??) 上递增, ∴ F ( x) ? F (0) ? 2? (m) , ∴ ? (m ? x) ? ? (m ? x) ? 2? (m) , x ? (0, ??) , 令 x ? m ? x1 , ∴ ? (m ? m ? x1 ) ? ? (m ? m ? x1 ) ? 2? (m) ,即 ? (2m ? x1 ) ? ? ( x1 ) ? 2? (m) , 又∵ ? ( x1 ) ? ? ( x2 ) ? 2? (m) , ∴ ? (2m ? x1 ) ? 2? (m) ? ? ( x2 ) ? 2? (m) ,即 ? (2m ? x1 ) ? ? ( x2 ) , ∵ ? ( x) 在 x ? R 上递增, ∴ 2m ? x1 ? x2 ,即 x1 ? x2 ? 2m 得证. 22.解: (1)联立 ? ∵0 ?? ?

? ? cos ? ? 3, 3 , cos ? ? ? 2 ? ? 4cos ? , ?

?
2

,? ?

?
6

,? ?2 3,

∴所求交点的极坐标 (2 3,

?
6

).

(2)设 P( ? ,? ) , Q( ?0 ,?0 ) 且 ?0 ? 4cos ?0 , ? 0 ? [0,

?
2

),

2 ? 2 ? ?0 ? ? , 由已知 OQ ? QP ,得 ? 5 3 ? ? ? ? , ? 0


2 ? ? ? 4 cos ? ,点 P 的极坐标方程为 ? ? 10cos ? , ? ? [0, ) . 5 2

? ?4 x ? 1, x ? 0, ? ? 3 23.解: (1)当 m ? ?2 时, f ( x) ?| 2 x | ? | 2 x ? 3 | ?2 ? ?1, ? ? x ? 0, ? 2 3 ? ?4 x ? 5, x ? ? . ? ? 2
当?

?4 x ? 1 ? 3, 1 3 解得 0 ? x ? ;当 ? ? x ? 0 , 1 ? 3 恒成立; 2 2 ? x ? 0,

??4 x ? 5 ? 3, 3 ? 当? 解得 ?2 ? x ? ? , 3 2 x?? , ? ? 2
此不等式的解集为 ? x | ?2 ? x ?

? ?

1? ?. 2?

2 3 ? ? x ? ? 3 ? m, ? ? x ? 0, 2 ? ? x 2 (2)令 g ( x) ? f ( x) ? x ? ? ? 2 3 x ? ?5 x ? ? m ? 3, x ? ? , ? x 2 ?
3 2 ? x ? 0 时, g '( x) ? ?1 ? 2 ,当 ? 2 ? x ? 0 时, g '( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 [? 2,0) 2 x 3 3 上单调递增,当 ? ? x ? ? 2 时, g '( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 [ ? , ? 2) 上单调递减, 2 2
当? 所以 g ( x)min ? g (? 2) ? 2 2 ? 3 ? m ? 0 , 所以 m ? ?2 2 ? 3 ,

3 2 3 时, g '( x) ? ?5 ? 2 ? 0 ,所以 g ( x) 在 (??, ? ] 上单调递减, 2 x 2 3 35 ? 0, 所以 g ( x) min ? g ( ? ) ? m ? 2 6 35 所以 m ? ? , 6
当x?? 综上, m ? ?2 2 ? 3 .


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