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【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:3.2 等差数列_图文

§3.2

等差数列

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教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 1.等差数列的定义 第二项 如果一个数列从________起,每一项与它的前一项的差等于 同一个常数 ___________,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等 公差 差数列的________,通常用字母d表示.

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2.等差数列的基本公式

(n-1)d (1)通项公式: 数列{an}是等差数列, 公差为 d, n=a1+_______, a
特别地,an=am +(n-m)d. (2)求和公式:若数列{an}是等差数列,公差为 d,前 n 项和为 n?a1+an? n?n-1? 2 Sn,则 Sn=________=na1+ d. 2 (3)等差中项公式:若三个数 a、b、c 成等差数列,则等差中项
a+c 2 b=________.

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3.等差数列的常用性质 (1)等差数列的单调性 ①{an}是递增数列?d>0;②{an}是递减数列?d<0; ③{an}是常数列?d=0. (2)通项的性质 ap+aq ①若m+n=p+q,则am+an=__________ (m,n,p,q∈N*)

特别地,若m+n=2p,则2ap=am+an;
②若{an}是有穷数列,则与首、末两项等距离的两项之和都等 于首、末两项之和;

③项数成等差数列,则相应的项也成等差数列,即ak,ak+m, 等差数列 ak+2m,?(k,m∈N*)成____________.

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课前热身

1.(2012· 高考重庆卷)在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则
{an}的前5项和S5=( A.7 C.20
解析:选 B.∵{an}是等差数列, ∴a2+a4=2a3=1+5,∴a3=3, 5?a1+a5? 5×2a3 ∴S5= = =5a3=5×3=15. 2 2

) B.15 D.25

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2.已知等差数列{an}的前三项为a-1,a+1,2a+3.则此数列 的通项公式为( )

A.2n-5
C.2n-1

B.2n-3
D.2n+1

答案:B

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3.(2011· 高考湖北卷)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面 4 节的容 积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为( 67 A.1 升 B. 升 66 47 37 C. 升 D. 升 44 33 解析:选 B.设所构成数列{an}的首项为 a1,公差为 d, ?a1+a2+a3+a4=3, ?4a1+6d=3, ? ? 依题意? 即? ?a7+a8+a9=4, ?3a1+21d=4, ? ? )

? 解得? 7 d= , ? 66

13 a1= , 22

13 7 67 ∴a5=a1+4d= +4× = . 22 66 66
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4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=S3=12,则{an}的 通项an=__________.

答案:2n

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5.(2011· 高考辽宁卷)Sn为等差数列{an}的前n项和,S2=S6, a4=1,则a5=________.

?a +a +d=6a + 6×5d, ? 1 1 1 2 解析:由题意知? ?a1+3d=1, ?
?a1=7, ? 解得? ? ?d=-2,

∴a5=a4+d=1+(-2)=-1.

答案:-1

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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 等差数列基本量的求法

等差数列{an}的通项公式 an=a1+(n-1)d,前 n 项和公式 n?a1+an? n?n-1? Sn= =na1+ d 中,有五个量 a1、an、n、d、 2 2 Sn,通过解方程(组)知三可求二.

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例1

在等差数列{an}中,

(1)已知a15=33,a45=153,求a61;
(2)已知S8=48,S12=168,求a1和d;

(3)已知a6=10,S5=5,求a8和S8.
【思路分析】 在等差数列中有五个重要的量,即a1,an,d,

n,Sn,只要已知任意三个,就可求出其他两个.其中a1和d是
两个最重要的量,通常要先求出a1和d.
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【解】

?33=a1+14d, ? (1)法一:? ?153=a1+44d, ?

?a1=-23, ? 解得? ?d=4. ?

∴a61=-23+(61-1)×4=217. 法二:a45=a15+(45-15)d, ∴153=33+30d,∴d=4, a61=a45+16d=153+16×4=217.

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? ? (2)法一:? ?S ?

8×7 S8=48=8a1+ d, 2 12×11 d. 12=168=12a1+ 2

?a1=-8, ? 解得? ?d=4. ?

法二:设等差数列的前 n 项和为 Sn=an2+bn,
?48=64a+8b, ?a=2, ? ? ∴? ∴? ? ? ?168=144a+12b, ?b=-10,

∴Sn=2n2-10n,a1=S1=2-10=-8, S2=2×22-10×2=-12, ∴a2=S2-a1=-12+8=-4,d=a2-a1=-4+8=4.

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?10=a1+5d, ?a1=-5, ? ? (3)法一:? ∴? 5×4 ?d=3. ? ?5=5a1+ 2 d, ?
∴a8=-5+7×3=16, 8×7 S8=8×(-5)+ ×3=44. 2 5×?a1+a5? 法二:S5= =5a3=5,∴a3=1, 2 a6-a3 10-1 ∴d= = =3, 3 6-3 ∴a8=a6+2d=10+6=16,a4=a3+d=4,a5=7, ?a1+a8?×8 ∴S8= =4(a4+a5)=44. 2
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【思维总结】

等差数列的基本计算转化为基本量a1与d的计

算是常用方法,若结合其性质可简化计算.

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考点2

等差数列的判定或证明

判定或证明等差数列的基本方法有:

①定义法:an+1-an=d;
②等差中项法:2an=an-1+an+1(n≥2). 例2 已知数列{an}满足 a1=1,an+1=4- 4 (n≥2), an 1 令 bn= . an-2
(1)求证数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式.

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【思路分析】

欲证{bn}为等差数列,只需证明 bn+ 1-bn 是常

1 1 数, 即证 - 是常数(n∈N*), 而{an}的通项可利用(1) an+1-2 an-2 求出,也可以利用中项关系证明{bn}是等差数列.

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【解】

4 (1)证明:∵an+ 1=4- , an

4 2?an-2? ∴an+ 1-2=2- = (n≥1), an an ∴ 1 an 1 1 = = + (n≥1), an+1-2 2?an-2? 2 an-2

1 1 1 故 - = (n≥1), an+1-2 an-2 2 1 即 bn+ 1-bn= (n≥1),∴{bn}为等差数列. 2

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(2)∵{

1 1 1 }是公差为 的等差数列,且 b1= =-1, 2 an-2 a1-2

1 1 3 ∴bn=-1+(n-1)× = n- , 2 2 2 n-3 1 即 = , 2 an-2 2 ∴an=2+ . n-3

【思维总结】

本题用bn+1-bn=常数的方法证明等差数列.

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跟踪训练
1 1 1.若 a1=1,an+1=1- ,bn= ,n∈N*,{bn}是等差 4an 2an-1 数列吗?
1 1 解:∵an+1=1- ,∴2an+ 1-1=1- , 4an 2an 1 1 2an ∴bn+ 1= = = , 1 2an+ 1-1 2an-1 1- 2an 2an 1 ∴bn+ 1-bn= - =1, 2an-1 2an-1 1 ∴{bn}是以 b1= =1 为首项,公差为 1 的等差数列. 2a1-1
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考点3

等差数列性质的应用

主要针对等差中项性质、单调性质、首末两项和的性质及推

广,在数列的基本推理和计算中应用.
例3 设{an}是公差不为 0 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,满
足 a2+a2=a2+a2,S7=7. 2 3 4 5 求数列{an}的通项公式及前 n 项和.
【思路分析】 由题设条件求首项 a1 和公差 d,即把题设条件 转化为含有 a1 和 d 的方程组求解;或者利用性质转化 S7=7= 7a4,a2+a2=a2+a2推出 a3+a4=0. 2 3 4 5

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7×?a1+a7? 【解】 S7= =7a4=7,∴a4=1. 2 ∵a2+a2=a2+a2,∴a2-a2=a2-a2, 2 3 4 5 3 4 5 2 ∴(a3+a4)(a3-a4)=(a5+a2)(a5-a2). ∵a3+a4=a5+a2,a3-a4=-d,a5-a2=3d, ∴-d(a3+a4)=3d(a3+a4). ∵d≠0,∴a3+a4=0, ∴a3=-1, ∴d=a4-a3=1-(-1)=2. ∴a1=-1-2d=-5. ∴an=a1+(n-1)d=2n-7, n?n-1? Sn=-5n+ ×2=n2-6n. 2
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【思维总结】

此题直接把已知条件转化为a1与d求解,化简

量较大,但思路简单.用性质化简已知条件,化简不繁琐, 但较隐含.

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跟踪训练 2.(2013· 宁波模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,过点P(n,Sn) 和Q(n+1,Sn+1)(n∈N*)的直线的斜率为3n-2,则a2+a4+a5 +a9的值等于( )

A.52
C.26

B.40
D.20

Sn+ 1-Sn 解析:选 B.由题意得 =3n-2, ?n+1?-n ∴Sn+1-Sn=3n-2,即 an+ 1=3n-2, ∴an=3n-5,∴数列{an}是等差数列,a5=10, 而 a2+a4+a5+a9=2(a3+a7)=4a5=40,故选 B.
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方法感悟
方法技巧
1.在有关等差数列的基本问题中,常常需要根据已知,a1, an,d,n,Sn中的某些量去求其他未知的量,解方程是必不可

少的,在运用方程的思想时,还要注意等差数列性质的运用
以及整体代换思想的运用. 2.等差数列通项公式an是关于n的一次函数,an=dn+(a1-d),

(d≠0);
等差数列的前n项和公式是特殊的二次函数关系式,对前n项 和的最大值或最小值的求解可以借助函数求最值的方法进行, 也可以利用数列的通项公式进行求解.一般地,有如下结论:
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(1)如果 d>0,则 Sn 有最小值.当 a1>0 时,Sn 的最小值就是 S1
?am≤0, ? =a1; a1<0 时, 当 通过解不等式组? 得到正整数解 m, ?am+ 1≥0 ?

Sn 的最小值就是 Sm ; (2)如果 d<0,则 Sn 有最大值.当 a1<0 时,Sn 的最大值就是 S1
?am≥0 ? =a1;当 a1>0 时,通过解不等式组? 得到正整数解 m, ? ?am+ 1≤0

Sn 的最大值就是 Sm .

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3.前 n 项和的性质 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,则 ①Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,?构成的数列是等差数列; Sn ②{ }也是一个等差数列; n n?a1+an? n?a2+an- 1? n?a3+an- 2? ③Sn= = = =?. 2 2 2 S奇 an ④若项数为 2n,则 S 偶 -S 奇 =nd, = . S偶 an+1 ⑤若项数为 2n-1,则 S 偶=(n-1)an,S 奇 =nan, S奇 n S 奇 -S 偶=an, = . S偶 n-1

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失误防范
1.如果 p+q=r+s,则 ap+aq=ar+as,一般地,ap+aq≠ap+ q, 必须是两项相加,当然可以是 ap- t+ap+ t=2ap. 2.公差不为 0 的等差数列的前 n 项和公式是 n 的二次函数, 且常数项为 0.若某数列的前 n 项和公式是 n 的常数项不为 0 的 二次函数, 则该数列不是等差数列, 它从第二项起成等差数列. 3.公差的计算是 an+ 1-an=d,切不可为 an-an+ 1,同理 d= an-am an-am ,(n>m)且不可为 . n-m m-n 4.在数列中有类似于 an- 1,Sn- 1 的量,其成立条件为 n≥2.

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考向瞭望把脉高考
命题预测
从近两年的高考试题看,等差数列的判定、通项公式以及与 前n项和公式有关的最值问题等是高考的热点,题型既有选择 题、填空题又有解答题,难度中等偏高;客观题突出“小而 巧”.以基本计算为主,考查性质的灵活运用及对概念的理 解.主观题“大而全”,着重考查函数方程,等价转化等. 在2012年的高考中,各省市高考题都涉及到等差数列问 题.要么是单独的一个客观题,如大纲全国卷理、重庆卷,

要么是一个主观题,如四川卷.
预测2014年高考仍将以等差数列的定义、通项公式和前n项和 公式为主要考点,重点考查运算能力与逻辑思维能力.
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规范解答 例 (本题满分12分)数列{an}中,a1=8,a4=(1+i)(1-i), 且满足an+2=2an+1-an,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,n∈N*,求Sn的解析式.
【解】 (1)∵an+ 2=2an+ 1-an,n∈N*, ∴an+ 2+an=2an+ 1,∴数列{an}为等差数列.(2 分) 又∵a1=8,a4=(1+i)(1-i)=2, a4-a1 d= =-2. 4-1 ∴an=8+(-2)(n-1)=-2n+10.(5 分)
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(2)令 an=-2n+10=0,则有 n=5. ?-2n+10,n≤5, ? ∴|an|=? (7 分) ?2n-10, n≥6. ? ∴当 n≤5 时,Sn=|a1|+|a2|+?+|an|=a1+a2+?+an=8n+ n?n-1? (-2)=-n2+9n;(9 分) 2 当 n≥6 时,Sn=|a1|+|a2|+?+|an| =a1+a2+a3+a4+a5+(-a6-a7-?-an) =2(a1+a2+?+a5)-(a1+a2+?+an) =2(-52+9×5)-(-n2+9n)=n2-9n+40.
?-n +9n, n≤5, ? 综上,Sn=? 2 (12 分) ? ?n -9n+40, n≥6.
2

【名师点评】

本题考查了等差数列性质、前n项和等基础知
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识,题目较简单.

知能演练轻松闯关

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