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【2014必备】北京中国人民大学附中高考数学综合能力题选讲:第11讲 不等式的证明(含详解)


数学高考综合能力题选讲 11

不等式的证明
题型预测
证明不等式的基本方法有:求差(商)比较法,综合法,分析法,有时用反证法,数学 归纳法.均值定理、适度的放缩、恰当的换元是证明不等式的重要技巧. 不等式的证明往往与其它知识(如函数的性质)综合起来考查.

范例选讲 例 1 已知 a ? 2 ,求证: log?a?1? a ? loga ?a ? 1? 讲解: 可以用比较法: 解 1 log?a ?1? a ? loga ?a ? 1? ?
1 ? loga ?a ? 1? loga ?a ? 1?

?

1 ? ?loga ?a ? 1?? ? ?loga ?a ? 1?? . loga ?a ? 1?

因为 a ? 2 ,所以, loga ?a ? 1? ? 0, loga ?a ? 1? ? 0 ,所以,

? ? ? ? ?loga ?a ? 1?? ? ?loga ?a ? 1?? ? ? loga a ? 1 ? loga a ? 1 ? ? ? 2 ? ?

2

?log ?a ?
a

2

?1

4

?? ? ?log
2

a

a2 4

?

2

?1

所以, log?a?1? a ? loga ?a ? 1? ? 0 ,命题得证. 解2 因为 a ? 2 ,所以, loga ?a ? 1? ? 0, loga ?a ? 1? ? 0 ,所以,

loga ?a ? 1?

log?a ?1? a

1 ?

loga ?a ? 1? 1 , ? ?loga ?a ? 1?? ? ?loga ?a ? 1?? loga ?a ? 1?

由解 1 可知:上式>1.故命题得证. 点评:比较法是证明不等式的基本思路.

例2

证明不等式: 1 ?

1 2

?

1 3

???

1 n

? 2 n , ?n ? N ?

讲解:此题为与自然数有关的命题,故可考虑用数学归纳法证明. 解 1 ① n ? 1 时,不等式的左端=1,右端=2,显然 1<2, 所以, n ? 1 时命题成立. ②假设 n ? k ?k ? N ? 时命题成立,即: 1 ? 则当 n ? k ? 1 时, 不等式的左端 ? 1 ?
1 2 ? 1 3 ??? 1 k ? 1 k ?1 ?2 k ? 1 k ?1 1 2 ? 1 3 ??? 1 k ?2 k .

不等式的右端 ? 2 k ? 1 .

? 1 1 ? 由于 2 k ? 1 ? ? 2 k ? ? = 2 k ?1 ? k ? ? ? k ?1 k ?1 ? ?
? 2 k ?1 ? k 2 k ?1 ? k ?1 ? 1 k ?1 ? 1 k ?1 ?0.

?

?

? 1 k ?1

所以, 2 k ?

? 2 k ? 1 ,即 n ? k ? 1 时命题也成立.

由①②可知:原不等式得证. 从上述证法可以看出:其中用到了 k ? k ? 1 这一事实,从而达到了
2 k ?1 ? k



1 k ?1

之间的转化,也即 2 k ?1 ? k 和

?

?

1 k ?1

之间的转化,这

就提示我们,本题是否可以直接利用这一关系进行放缩? 观察原不等式,如果希望直接证明,需要把左端进行化简,直接化简是不可 能的, 但如果利用 由此得解 2. 解 2 因为对于任意自然数 k ,都有
1 k ? 2 k ? k ?1 ? 2 k ? k ? 1 ,所以, 1 k ? 2 k ? k ?1 ? 2 k ? k ? 1 进行放缩, 则可以达到目的,

?

?

?

?

1?

1 2

?

1 3

???

1 n

? 2 1 ? 0 ? 2 2 ? 1 ? 2 3 ? 2 ? ? ? 2 n ? n ?1 ?2 n

?

? ?

? ?

?

?

?

从而不等式得证. 点评:放缩法是一种证明的技巧,要想用好它,必须有目标,目标可以从要 证的结论中考察. 如本题中注意到所要求证的式子左右两端的差异,以及希望把 左式化简的目标.

?? x b ? 0 例 3 设 fx a?? ?,若 f ? 0? ? 1 , f ?1? ? 1 , f ? -1? ? 1 , 试证 ?2 xc ? a
明:对于任意 ? x 1 ,有 f ? x ? ? 1 ??
5 . 4 讲解:要研究这个二次函数的性质,最好的办法是能够确定其解析式.本题

中,所给条件并不足以确定参数 a, b, c 的值,但应该注意到:所要求的结论也不 是 f ?x ? 的确定值, 而是与条件相对应的 “取值范围” 因此, , 我们可以把 f ? 0? ? 1 ,

f ?1? ? 1 和 f ? -1? ? 1 当成两个独立条件,先用 f ?? 1?, f ?0? 和 f ?1? 来表示 a, b, c .
∵ f ?? 1? ? a ? b ? c, f ?1? ? a ? b ? c, f ?0? ? c , ∴ a?
1 1 ( f ?1? ? f ?? 1? ? 2 f ?0?), b ? ( f (1) ? f (?1)), c ? f ?0? , 2 2

? x2 ? x ? ? x2 ? x ? 2 ? ? f ?? 1?? f ? x ? ? f ?1?? ∴ ? 2 ? ? 2 ? ? f ?0 ? 1 ? x . ? ? ? ? ?

?

?

∴ 当 ? 1 ? x ? 1 时, x ? x ,所以,根据绝对值不等式的性质可得:
2

x2 ? x x ? x2 x2 ? x x2 ? x ? ? , , 1? x2 ? 1? x2 2 2 2 2
x2 ? x x2 ? x ? f ?? 1? ? ? f ?0 ? ? 1 ? x 2 ∴ f ? x ? ? f ?1? ? 2 2

?

x2 ? x x2 ? x ? ? 1? x2 2 2
? ? ? (1 ? x 2 ) ? ?

? x2 ? x ? ? x ? x2 ??? ?? ? 2 ? ? 2 ? ? ?

? ? x ? x ?1
2

1 5 5 ? ?( x ? ) 2 ? ? . 2 4 4
综上,问题获证. 点评:用好绝对值不等式及其等号成立的条件,常常可以简化问题,避免讨 论.


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