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7-1(少)向量及其线性运算


第七章
空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数

第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程(组) 基本方法 — 坐标法; 向量法

第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念

第七章

二、向量的线性运算

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一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).

表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小,

向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 记作 e 或e . 零向量: 模为 0 的向量,
M1 M2

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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a=b ;

若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;

与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
记作-a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称

两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:

(a ? b) ? c a ? (b ? c)

c
b?c b

b a?b
三角形法则:

a
a?b b

a?b

a

运算规律 : 交换律

a?b ?b?a 结合律 ( a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c ) ? a ? b ? c

a

三角形法则可推广到多个向量相加 .
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s ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 a4 a3 a5

s
a2 a1

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2. 向量的减法

a
三角不等式

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3. 向量与数的乘法

? 是一个数 , ? 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 ? a .
规定 :

总之:

?a ? ? a

运算律 : 结合律 ? ( ? a ) ? ? (? a) ? ? ? a 分配律

可见 1a ?a a与 ea同向 ??1 ? a; a ea 与 e? 同向
a a

?( a ? b ) ? ? a ? ? b
则有单位向量 ea ?
1 a

a ? ea ? a ? ea = a ?1 ? a

a.

因此 a ? a ea

定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b 证: “ ”. 设 a∥b , 取 ?=± (? 为唯一实数)

, a , b 同向时

取正号, 反向时取负号, 则 b 与 ? a 同向, 且

?

? b

故 b ? ? a.
再证数 ? 的唯一性 . 设又有 b=? a , 则 (? ? ?) a ? 0

故 ? ? ? ? 0 , 即? ? ? .
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” 已知 b=? a , 则 b= 0 a , b 同向

a ∥b

a , b 反向
例1. 设 M 为 解: ABCD 对角线的交点,

试用 a 与 b 表示 MA , MB , MC , MD .

a ? b ? AC b ? a ? BD
MC ? 1 (a ? b) 2

? ?2 MA ? ?2 MB
MD ? 1 (b ? a ) 2
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D
b

C

1 (b ? a ) A MB ? ? ? MA ? ? 1 ( a ? b ) 2 2

M

a

B

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