当前位置:首页 >> 数学 >> 必修一 函数初步知识点与练习题总结

必修一 函数初步知识点与练习题总结

2.1 函数 一、课本扫描 二、基本概念 (一)映射的概念 1、对应 对应和集合一样,是一个不加定义的原始概念,对应是两个集合中元素之间的一种关系,对应可以用 图示的方法或对应关系来表示。

图 1-1 如图 1-1 所示,设

A, B 是两个集合,如果从集合 A 到集合 B 有一个对应,从对应元素的个数看, A

中元素既可以与 B 中一个元素对应,也可以与 B 中多个元素对应,同时, A 中元素也可以在 B 中没有与 之对应的元素,同样, B 中元素也如此。 2、映射 一般地,设

A, B 是两个集合,如果按照某种对应关系 f

,对于集合

A 中任何一个元素,在集合 B 中
)叫做集合

都有唯一的元素与它对应,那么这样的对应(包括集合 集合 B 的映射,记作

A, B 以及 A 到 B 的对应关系 f

A到

f : A?B。

由映射定义可知:图 1-1 中(1)(3)两个对应是集合 、 到集合 B 的映射,因为

A 到集合 B 的映射,图 1-1 中(2)不是集合 A

A 中元素 a 在 B 中有两个元素 e, g 与之对应,不符合映射定义中“唯一性”的要 A 到集合 B 的映射,因为 A 中元素 b 在 B 中没有元素与之对应。

求,图 1-1 中(4)也不是集合 3、象与原象 若

f

是从集合

A 到集合 B 的映射,那么 A 中元素 a 对应 B 中的元素 b 叫做 a 的象, a 叫做 b 的原
f (a) ? b ,也可写为: f : A ? B 。如图 1-1 中(3)所示映射, a 对应的象为 e ,

象,这一关系记为

e 的原象为 a 和 b 。
4、理解映射的概念应注意: (1)集合

A, B 及对应关系 f

是确定的,是一个系统;

(2)对应关系有“方向性” 。即强调从集合 同的; (3)集合 特征; (4)集合

A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关系一般是不

A 中每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的,这是映射区别于一般对应的本质

A 中不同元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (5)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象;
(6)两个映射

f : A ? B 和 g : C ? D 相等,等价于 A ? C 且对于 A 中任意 a ? A ,满足

1

f (a) ? g (a) 。
(二)函数的概念 1、函数的定义 在某变化过程中有两个变量 x 与 的值与它对应,那么就称

y ,如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值, y 都有唯一确定

y 是 x 的函数,记为 y ? f ( x) , x 叫做自变量。自变量 x 的取值的集合叫做 y 的值叫函数值,函数值的集合叫值域。

函数的定义域,自变量对应的函数

函数的概念中含有三个要素:定义域,对应关系,函数值域。 2、函数的定义域 函数的定义域是自变量 x 的取值范围, 它是构成函数的一个不可缺少的组成部分, 如没有标明定义域, 则认为定义域为使得函数解析式有意义的 x 的取值范围或使实际问题有意义的 x 的取值范围,如 的 定 义域 为

y ? 3x

R, y ? x

的 定义 域为

?x x ? 0? , y ? 1 的定 义域 为 ? x x ? 0? ,位移 与时 间的 函数 x

s ? vt 的定义域为 ?t t ? 0? 。
(1)使解析式有意义的常见形式有: 具体说来,求函数的定义域或者说使这个解析式有意义的自变量的取值范围,主要有以下几种类型: ①分母不分零;②偶次根式中,被开方式非负;③零的零次幂无意义。 (2)函数

f ( x ? 1), f (2 x), f ( x 2 ) 等的定义域都是指的自变量 x 本身的值的集合,一般地,函数

f ? g ( x ) ? 的 定 义 域 , 指 的 是 自 变 量 x 的 取 值 范 围 。 例 如 a ? x ? b , 若 已 知 f ( x) 的 定 义 域 为
x ? ? x a ? x ? b ,则 f ? g ( x ) ? 的定义域是指满足。 a ? g ( x) ? b 的 x 的取值范围。 ?
(3)对于由实际问题建立的函数,除考虑使其解析式有意义外,函数的定义域也要符合实际问题的要 求。 3、对应关系 对应关系

f

是函数关系的本质特征。 y

? f ( x) 的意义是: y 等于 x 在关系 f f ( x) ? 3x ? 4, f
表示 3 倍加 4, f

下的对应值,而

f



“对应” 得以实现的方法和途径, 如一次函数 4、值域

(8) ? 3 ? 8 ? 4 ? 28 。

由函数定义可知,函数值的集合叫做值域。 求函数的值域,不但要重视对应关系的作用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用,要求函数的 值域,首先应求函数的定义域,求函数值域常用方法有:①观察法;②图象法;③配方法;④分离常量法; ⑤换元法;⑥判别式法;⑦单调性法;⑧反函数法;⑨基本不等式法(这些方法都将在本章中讲到⑨会在 不等式章节中予以介绍) 。 5、函数的相等 当函数的定义域及从定义域到值域的对应关系完全确定之后,函数的值域也会随之确定,因此,定义 域和对应关系是函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相等时,两个函数才 是同一函数。 6、复合函数

2

一般地, 如果函数 时,称函数 数,

函数 值域为 C , 则当 C ? A y ? f (t ) 的定义域为 A , t ? g ( x) 的定义域为 D , 与 g 在 D 上关于 x 的复合函数,其中 t 叫中间变量, t

y ? f ? g ( x)? 为 f

? g ( x) 叫内层函

y ? f (t ) 叫外层函数。
有些函数在它的定义域中,对于自变量 x 的不同取值范围,对应法则不同,这样的函数称为分段函数,

7、分段函数 分段函数是一个函数。 8、区间 区间实质上是一类特殊数集的另一表示形式,其名称、定义、符号,如下表所示: 名称 闭区间 定义 符号 数轴表示

? x a ? x ? b?
? x a ? x ? b? ? x a ? x ? b? ? x a ? x ? b? ? x x ? a? ? x x ? a?

? a, b ?
( a, b)

开区间

左闭右开区间

? a, b ?
? a, b ? ? ??, a ?

左开右闭区间

无穷区间

无穷区间

? ??, a ?
? a, ?? ?

无穷区间

? x x ? a?
? x x ? a?

无穷区间

? a, ?? ?

由此可见,区间是集合的又一表示方法。 三、基本题型 题型一:关于映射的问题 例 1、判断下列对应关系那些是集合 (1) A ?

A 到集合 B 的映射,那些不是,为什么

B ? N ? ,对应关系 f : x ? y ? x ? 3 ;
?1( x ? 0) R, B ? ?0,1? ,对应关系 f : x ? y ? ? 。 ?0( x ? 0)

(2) A ?

解析: (1)对于 (2)对于

A 中的 3,在 f

作用下得 0,但 0 ? B ,即 3 在 B 中没有象,所以不是映射。

A 中任一个非负数都有唯一象 1,对于 A 中任意一个负数都有唯一一个象 0,所以是映射。 评注:判断一个对应是不是映射,应从两个角度分析:①是否是“对于 A 中每一个元素” ;②在 B 中
是否“有唯一的元素与之对应”一个对应是映射必须两者兼备。 例 2 、 已 知 集 合

A ? R B? ( x y , ? , )
3

x??y ,

R ,

:? 是 从 A f A B



B

的 映 射 ,

? 3 5? f : x ? ( x ? 1, x 2 ? 1) ,求 A 中元素 2 的象和 B 中元素 ? , ? 的原象。 ? 2 4?

解:把 x ?

2 ,代入对应关系,得其象:

?

3 ? ?x ?1 ? 2 , 1 ? 2 ? 1,3 又: ? ,得: x ? 。? 2 的 2 ? x2 ? 1 ? 5 ? ? 4

?

象为

?

2 ? 1,3

? , ? 3 , 5 ? 的原象为 1 。 ? ? 2 ? 2 4?

评注:求象和原象的题目主要根据对应关系来确定。 题型二:关于函数定义域的问题 求函数定义域的题型主要有三类: (1)求函数解析式的定义域; (2)求实际问题函数的定义域; (3) 求复合函数的定义域,另外还有定义域的逆向问题,这些题型,都将在本节中讲到。

例 3、求下列函数的定义域: (1) y

? 1?

1 1 1? 1 x

; (2) y

?

?x 3 ; (3) y ? ; (4) 2 x ? 3x ? 2 1? 1? x
2

y ? x2 ? 3 ? 5 ? x2



1 ? ?1 ? 1 ? 1 ? ? 0, x ? ? 1 1 解: (1) ?1 ? ? 0, ? x ? 0, x ? ?1, x ? ? , 2 ? x ?x ? 0 ? ? ?
∴定义域为 ? x ? R

? ?

1 ? x ? ?1, x ? ? , x ? 0 ? 。 2 ?

? x ? 0, ?? x ? 0, 1 ? ?? (2) ? 2 1 ? x ? 0, 且x ? ? , 2 ?2 x ? 3x ? 2 ? 0 ? x ? 2且x ? ? ? 2
∴定义域为 ? x

?

1? x ? 0, 且x ? ? ? 。 2? ?

(3) ?

?1 ? 1 ? x ? 0, ? x ? 0, ? ?? ? x ? 1 ,且 x ? 0 , ?1 ? x ? 0 ?x ? 1 ?

4

∴定义域为

? x x ? 1, 且x ? 0? 。

? x 2 ? 3 ? 0, ? x 2 ? 3, ? ? ?? 2 ? 3 ? x 2 ? 5 ? 3 ? x ? 5 ,或 ? 5 ? x ? ? 3 。 (4) ? 2 5? x ? 0 x ?5 ? ? ? ?
∴定义域为 ? ?

?

5, ? 3 ? ? ? 3, 5 ? 。 ? ? ?

评注:对于已知解析式函数的定义域的求解,关键是要使解析式有意义。本题中(1)题,要注意不能 漏掉对前两个分母的制约。 例 4、用长为 l 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架,若矩形底边长为 2x ,求此框架围成的面积

y 与 x 的函数关系,如图 1-2 所示。

图 1-2

? 解:设 AB ? 2 x ,则 CD

? ? x ,? AD ?

l ? 2x ? ? x 。 2

l ? 2x ? ? x ? x2 ? ?4 2 ? y ? 2 x? ? ?? x ? lx 。 2 2 2
又? 2 x

l ? 2x ? ? x l 。 ? 0,? 0 ? x ? 2 2 ?? ? ?4 2 l ∴所求面积 y ? ? x ? lx(0 ? x ? )。 2 2 ?? ? 0,
评注:对于实际问题建立的函数,要注意问题中变量的实际意义的限制。

题型三:对函数概念的理解——同一函数问题 例 5、下列各组函数是否表示同一个函数?

(1)

f ( x) ? 2 x ? 1, g ( x) ? 4 x 2 ? 4 x ? 1 ; (2) f ( x) ?

x2 ? x , g ( x) ? x ? 1 ; x

(3)

?t ? 1(t ? 1) f ( x) ? x ? 1 , g (t ) ? ? ; (4) f (n) ? 2n ? 1, g (n) ? 2n ? 1(n ? z ) ?1 ? t (t ? 1)
2 x ? 1 , f ( x) 与 g ( x) 对应关系不同,因此是不同的函数。

分析:对于根式、分式、绝对值式,要先化简再判断,在化简时要注意等价变形,否则等号不成立。 解: (1) g ( x) ? (2)

f ( x) ? x ? 1( x ? 0), f ( x) 与 g ( x) 的定义域不同,因此是不同的函数。
? x ? 1( x ? 1), f ( x) ? ? f ( x) 与 g ( x) 的定义域相同,对应关系相同,因此是相同的函数。 ?1 ? x( x ? 1),

(3)

5

(4)

f ( x) 与 g ( x) 的对应关系不同,因此是不同的函数。

评注:对于(2)在分式化简中,常常由于约分而出现变形不等价,从而出错,对于(3)尽管表示自 变量与对应法则的字母不相同,但它们的实质相同,因而是相同的函数。 题型四:关于函数求值的题型 例 6、已知

f ( x) ? 2 x ? 3 ,求 f (1), f (a), f (m ? n), f ? f ( x)? 。 f ( x) 对应关系

分析:由函数的定义可知,该题是求函数值的问题,即求定义域中的元素 1, a, m ? n,

f

:乘以 2 再加上 3 的作用下的函数值。 解:

f (1) ? 2 ?1 ? 3 ? 5, f (a) ? 2 ? a ? 3 ? 2a ? 3 ;

f (m ? n) ? 2 ? (m ? n) ? 3 ? 2(m ? n) ? 3
f ? f ( x)? ? 2 ? f ( x) ? 3 ? 2(2 x ? 3) ? 3 ? 4 x ? 9
评注:函数

y ? f ( x) 解析式中的 f

代表某种运算,由具体解析式确定。

例 7、已知函数

? x ? 1( x ? 0) ? f ( x ) ? ?? ( x ? 0) 则 f ? f ? f ( ?1) ?? = ?0( x ? 0) ?



解:由分段函数的定义,可知:

f (?1) ? 0 ,则 f ? f (?1)? ? f (0) ? ? ? 0 ,

? f ? f ? f (?1) ?? ? f (? ) ? ? ? 1 。
评注:这类问题的关键是抓住定义域,在不同范围内正确运用解析式来求取函数值。 题型五:求函数的值域问题 例 8、求下列函数的值域: (1) y
2 ? x ?1; (2) y ? 1 ? x ? x ? 1 ; (3) y ? ? x ? x ? 2 ; (4)

y ? x ?1 ? x ? 2 。
解: (1)?

x ? 0 ,∴值域为: ? y y ? 1? 。
?1 ? x ? 0, 解得 x ? 1 ,∴值域为: ?0? 。 ? x ? 1 ? 0,

(2)由题意得 ?

(3)

9? 1 9 1 ? y ? ? x 2 ? x ? 2 ? ?( x ? )2 ? ,? ?( x ? )2 ? 0 ,∴值域为: ? ??, ? 4? 2 4 2 ?

6

??2 x ? 1, x ? ? ??, ?1? ? (4)去绝对值号得: y ? ?3, x ? ? ?1, 2? 由函数图象 1-3 知: ?2 x ? 1, x ? (2, ??) ?

图 1-3 ∴值域为:

?3, ?? ?

评注:对于(1)(2)两题,函数解析式简单,我们通过直接观察或直接运算,即可求出值域,这种 、 方法被称为“观察法”对于(3)题使用“配方法”之后变为一个直观的式子,然后通过观察得出值域。 (4) 题利用了函数的图象,这种由函数图象的直观性得出值域的方法,称之为“图象法” 。 四、A 级训练 1、对映射 ①

f : A ? B ,下面命题:

A 中的每一个元素在 B 中有且只有一个象; ② A 中不同的元素在 B 中的象必不相同; ③ B 中的元素在 A 中都有原象; ④ B 中的元素在 A 中可以有两个以上的原象,也可以没有原象。
假命题的个数是( A、1 2、在给定的映射 ) B、2 C、3 D、4

1 1 f : ( x, y) ? (2 x ? y, xy) 下,求出点 ( , ? ) 的象。 6 6
f ( x) 与 g ( x) 表示同一个函数的是(
B、 )

3、下列四组式子中,

A、

f ( x) ? 4 x 4 , g ( x) ? ( 4 x ) 4

f ( x ) ? x, g ( x ) ? 3 x 3

C、

?1( x ? 0), f ( x) ? 1, g ( x) ? ? ?1( x ? 0)

D、

f ( x) ?

x2 ? 4 , g ( x) ? x ? 2 x?2

4、已知

? x 2 ? 1( x ? 0) f ( x) ? ? 若 f (a) ? 10 ,求 a 。 ??2 x( x ? 0)
( x ? 1) 0 x ?x

5、求下列函数定义域: (1)

y ? x ? 4 ? 4 ? x ? x2 ; (2) y ?

; (3)

y?

x ?1 。 x ? 5x ? 6
2

6、求下列函数值域: (1)

1 2 y ? 2 x ? 1, x ? ?1, 2,3, 4,5? ; (2) y ? 2 x ? 4 x ? 2, x ? (? , 2) 2

五、发散思维

7

例 1、已知

A ? ?a, b, c? , B ? ??1, 0,1? , 映 射 f : A ? B 满 足 f ( a) ? f ( b)? f ( c) 求 映 射 ,

f : A ? B 的个数。
分析:让 讨论解决。 解:①当 ②当

A 中元素在 f

下对应 B 中的一个、两个或三个,并且满足

f (a) ? f (b) ? f (c) ,需分类

A 中三个元素都对应 0 时,则 f (a) ? f (b) ? 0 ? 0 ? 0 ? f (c) 有一种映射;
4 个,分别为

A 中的三个元素对应 B 中的两个时,满足 f (a) ? f (b) ? f (c) 的映射有

1 ? 1 ? 0;1? 0 ? 1; ( 1)? ( 1)? 0; ? 1) 0 ?;1 ? ? ( ? ?
③当

A 中的三个元素对应 B 中的三个元素时,有两个映射,分别是 0 ? 1 ? ?1;0 ? (?1) ? 1 。

因此满足题设条件的映射有 7 个。 评注:理解映射的概念是解决本题的关键。 例 2、已知

f ( x) 的定义域为 ? x x ? 0? ,且 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,若 f (9) ? 8 ,求 f (3) 。 ? y ? 3 ,则 f (9) ? f (3) ? f (3) ? 2 f (3) ? 8,? f (3) ? 4 。

解:令 x

评注:本题中的函数,没有具体的对应关系,我们称之为抽象函数,解决抽象函数有关问题,常常采 用“特殊值法” ,达到化抽象为具体的目的。 例 3、若 可能是( A、 x
2

f ( x) 和 g ( x) 都是定义在实数集 R 上的函数,且方程 x ? f ? g ( x)? 有实数解,则 f ? g ( x ) ? 不


?x?

1 5

B、 x

2

?x?

1 5

C、 x

2

?

1 5

D、 x

2

?

1 5

解析:由于

f ( x) 与 g ( x) 的解析式不明确,所以用直接法很难求解,故可采用难证排除法。由条件知

x ? f ? g ( x) ? 有解验证可知 x ? x 2 ? x ?
答案:B 评注:本题考查了函数方程的思想。 例 4、已知 的定义域。

1 无解。 5

1 1 y ? f ( x) 定义域为 ?1, 2 ? ,①求 f (2 x ? 1) 的定义域;②求 y ? f (2 x ? ) ? f (2 x ? ) 4 4

分析:首先要明确定义域的定义是自变量的取值范围,那么在复合函数中,谁是自变量呢?例如:设

f ( x) ? x 2 , f ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ,在 y ? ( x ? 1) 2 中, x 是自变量,而 y ? ( x ? 1)2 ? f ( x ? 1) ,即

y ? f (x ?1) ;其中的自变量应是 x ,而不是 x ? 1。
解:①设 2 x ? 1 ? t ,由于

y ? f (t ) 定义域是 ?1, 2 ? , ?1 ? t ? 2 ,即 1 ? 2x ? 1 ? 2。解得

8

0? x?

1 ? 1? ,即 f (2 x ? 1) 的定义域为 0, ? 2? 。 2 ? ?

1 ? ?1 ? 2 x ? 4 ? 2, 5 7 1 1 ? ②由题意,得: ? 解得: ? x ? ,即 y ? f (2 x ? ) ? f (2 x ? ) 的定义域 8 8 4 4 ?1 ? 2 x ? 1 ? 2, ? ? 4


?5 7 ? ?8 , 8 ? 。 ? ?
评注: (1)由

f ( x) 的含义知,在定义域和对应法则不变的情况下,自变量 x 变换成其它字母或一个

式子,对函数本身无影响。 (2)要善于使用换元,用整体的观点来看待这类问题。 例 5、已知

y ? f ( x ? 1) 的定义域为 ? 0, 3? ,①求 f ( x) 的定义域;②求 f ( x ? 5) 的定义域。

解: ? ① 中t ?

f ( x ? 1) 的定义域为 ? 0, 3? , 0 ? x ? 3 , 1 ? x? 1? 2 即 则

, t 令

? x ? 1 , f (t ) 则

?1, 2? ,即 f (t ) 定义域为 ?1, 2 ? ,故 f ( x) 定义域为 ?1, 2 ? 。
f ?? ( x) ? 定义域,求 f ( x) 定义域类型,解法通常为:若 f ?? ( x) ? 定义域为 D,

评注:本例为已知

则 ? ( x ) 在 D 上的取值范围,即为 ②? 故

f ( x) 定义域。

f ( x) 定义域为 ?1, 2 ? ,则 f ( x ? 5) 定义域为 ? x 1 ? x ? 5 ? 2? ? ? x ?4 ? x ? ?3? 。

f ( x ? 5) 定义域为 ? ?4, ?3? 。
评注:已知

f ( x) 定义域,求复合函数 f ?? ( x) ? 定义域的通常法为:若 f ( x) 定义域为

D,则

f ?? ( x) ? 定义域即为满足 ? ( x) ? D 的 x 的集合。
例 6、求下列函数的值域:

(1)

y?

x2 ?1 x2 ? x ? 1 1? x ; (2) y ? 2 ; (3) y ? 2 x ? x ? 1 ; (4) y ? 2 。 x ?1 x ? x ?1 1? x

解: (1) 为

y?

1? x x ?1 ( x ? 1) ? 2 2 ,? x ? 1,?? y y ? ?1? ,∴值域 ?? ?? ? ?1 ? 1? x x ?1 x ?1 x ?1

?y

y ? ?1? 。

(2)y

?

x2 ?1 x2 ? 1 ? 2 2 1 2 ? ? 1? 2 , x ? 1 ? 1,? 0 ? 2 则 ? 2 ? 1, 0 ? 2 ?2, 2 2 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

9

??2 ? ?

2 2 ? 0 ,则 ?1 ? 1 ? 2 ? 1 ,∴值域为 ? ?1,1? 。 x ?1 x ?1
2

(3)设

1 15 x ? 1 ? t (t ? 0) ,则 x ? t 2 ? 1 ,原式可化为: y ? 2(t 2 ? 1) ? t ? 2(t ? )2 ? , 4 8 15 1 15 ?15 ? (当且仅当 t ? 时, y ? ) ,∴值域为 ? ? 8 , ?? ? 。 8 4 8 ?
y ( x 2 ? x ? 1) ? x 2 ? x ? 1 ,整理得: ( y ? 1) x 2 ? (1 ? y) x ? y ? 1 ? 0 (*)

由t

? 0 知: y ?

(4)去分母得: 当

(*)式变为 ?2 ? 0 ,不成立故 y ? 1 ;当 y ? 1 时, (*)式为关于 x 的一元二次方法,符 y ? 1时,

合本式的 x 存在。所以 ?

? (1 ? y )2 ? 4( y ? 1)(? y ? 1) ? 0 ,解得: y ? ?

3 或 y ? 1( y ? 1) 。 ? 5

∴原函数值域为 ? ??, ?

? ?

3? ? ?1, ?? ? 。 5? ?

评注: 对于 (1)

y?

cx ? d 这种类型函数, 求其值域时将它分解成一个常数和一个只在分母上含有 x ax ? b

的式子之和(差) ,再研究分母的取值范围即可,这种方法称为“分离常量法” 。 (2)对于

y ? ax ? bx ? c 型的函数解析式,常设 t ? bx ? c ,转化成关于 t 的一元二次函数,

再配方,画图像,求值域,这种方法称之为“换元法” ,使用换元法时,一定要注意所换元素的范围。

(3)对于

y?

ax 2 ? bx ? c dx 2 ? ex ? f

型的函数解析式,常常去分母化为关于 x 的一元二次方程,由于该方

程有解,故 ? ? 0 ,据此求出函数的值域,这种方法叫“判别式法” ,使用“判别式”法“求值域” ,首先 要保证二次项系数不为 0,其次要注意 x 的范围,要灵活地使用,变形要等价,注意寻找问题成立的充要 条件。 六、B 级训练 1、设 (

A ? ? x 0 ? x ? 2? , B ? ? y 1 ? y ? 2? ,在图 1-4 中,能表示从集合 A 到集合 B 的是映射的是


图 1-4

2、设函数

? x 2 ? bx ? c, x ? 0, f ( x) ? ? 若 f (?4) ? f (0), f (?2) ? ?2 ,则关于 x 的方程 f ( x) ? x ?2, x ? 0.
) B、2 C、3 D、4

的解的个数为( A、1

10

3、函数

y?

a b c ? ? (abc ? 0) 的值域为( a a c
B、



A、

?3, ?1?

?0,3, ?3?

C、

?3, ?3, ?1,1?

D、

?3, ?3,1, ?1, 0?
。 。

4、 (1)若函数

y ? f ( x) 的定义域为 ? ?1,1? ,则 f (2 x ? 1) 的定义域为
f ( x 2 ? 2) 的定义域为 ?1, 3? ,则函数 f (3x ? 2) 的定义域为

(2)若函数

5、已知集合 6、已知函数 (1)求 (2)

A, B 中各有 n(n ? N ? ) 个元素,则 A ? B 可能建立的映射个数为
y ? f ( x) 对一切实数 x、y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 。 f (? x) ? f ( x) 的值;



f (?3) ? a ,试用 a 表示 f (12) 。

7、已知

f ( x) ?

x 1 1 ,求 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2001) ? f (1) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? 1? x 2 3

f(

1 ) 的值。 2001
4 x2 ? x ? 1 x ; (2) y ? 2 x ? x ? 3 ; (3) y ? 。 x2 ? 1 x ?1

8、求下列函数的值域:

(1)

y?

七、综合应用与提高 例 1、 k 为何值时,函数

y?

2kx ? 8 的定义域为 R 。 kx ? 2kx ? 1
2
2

分析:函数的定义域为 R ,即当 x ? R 时,分母 kx 解:① k ②

? 2kx ? 1 ? 0 。

? 0 时, kx2 ? 2kx ? 1 ? 1 ? 0 ,即 x ? R 时, y 都有意义,?k ? 0 成立;
时 , 分 母

k ?0

kx 2 ? 2kx ? 1
1

恒 不 等 于

0

的 条 件 是 判 别 式

??0

, 即

( 2 2) k ?

k4?

? , ?k 。 0 0 ?

综上所述,当 0 ? k

? 1时,函数 y ?

2kx ? 8 的定义域为 R 。 kx ? 2kx ? 1
2
2

评注:本题是求函数定义域的逆向思维问题,另外 kx

? 2kx ? 1 不一定是二次的,要加以注意。

例 2、已知函数

y?

2 x 2 ? ax ? b 的值域为 ?1, 3? ,求 a, b 的值。 x2 ? 1

解:去分母得

y ( x 2 ? 1) ? 2 x 2 ? ax ? b ,整理得 (2 ? y ) x2 ? ax ? b ? y ? 0 。当 2 ? y ? 0 时
11

原方程化为

ax ? b ? 2 ? 0 , 满 足 这 个 关 系 的 x 存 在 , 说 明 可 以 有 y ? 2 。 当 2 ? y ? 0 时 ,

, ? ? a 2 ?4 ( 2 ?y ) ( ? y ) ? 0 即 4 y 2 ? 4(b ? 2) y ? 8b ? a 2 ? 0 。 ?1 ? y ? 3,?1,3 是 方 程 b

?1 ? 3 ? b ? 2, ?b ? 2, ? 4 y ? 4(b ? 2) y ? 8b ? a ? 0 的两根,由韦达定理得 ? 8b ? a 2 解得 ? , ? a ? ?2 ?1? 3 ? ? 4
2 2

评注:本题是函数值域的应用,将函数的值域、一元二次方程、一元二次不等式联系起来,综合考查 了学生分析问题、解决问题的能力,是一个很重要的知识交汇点。 八、C 级训练

1、若函数

f ( x) ?

5

ax ? 1

ax 2 ? 4ax ? a ? 3
2

的定义域是 R ,求实数 a 的取值范围。

2、设 ?、? 是方程 4 x 这个最小值。 九、高考零距离

? 4mx ? m ? 2 ? 0 的两个实根,当 m 为何值时,? 2 ? ? 2 有最小值?并求出

1、 (1999 年全国高考题)若正数 a, b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是



解法 1:设 ab ? 题意知 a

y ,则 b ?

a 2 ? 3a y y , ab ? a ? b ? 3 化为 y ? a ? ? 3 ,整理得 y ? a ?1 a a

(由

。去分母整理得 ? 1 ,否则,若 a ? 1 ,则原式化为 b ? 1 ? b ? 3 ,即 0 ? 4 ,显然不成立) ,由

a 2 ? (3 ? y)a ? y ? 0

a?0

可知,该方程只能有正根,由根与系数的关系得

?? ? (3 ? y)2 ? 4 y ? 0, ? 解得 y ? 9 ,即 ab 的取值范围是 ?9, ?? ? 。 ??(3 ? y) ? 0, ? y ? 0, ?
评注:本题是通过换元法,构造出一个新的函数,再转化为求函数的值域问题。 “构造函数”的方法, 能够将方程转化为函数,加深了对函数和方程的理解。 解法 2:设 ab ?

y ,则 a ? b ? y ? 3 ,则 a, b 是关于 x 的方程 x 2 ? ( y ? 3) x ? y ? 0 的两正根,

?? ? (3 ? y)2 ? 4 y ? 0, ? 由此可得 ? y ? 3 ? 0, 解得 y ? 9 ,即 ab ? ?9, ?? ? 。 ? y ? 0, ?
评注:在这个解法中,由 ab, a ? b 很自然地联想到韦达定理,很自然地构造二次方程,再由二次方 程根的性质解题。因此,在解题中要善于根据条件联想所学知识,从而架起已知和未知的桥梁。 2、 (1999 年全国高考题)已知映射 (1) 的元素都是

f : A ? B ,其中集合 A ? ??3, ?2, ?1,1, 2,3, 4? ,集合 B 中
a
,则集合 B

A 中的元素在映射 f

下的象,且对任意的 a ? A ,在 B 中和它对应的元素是 12

中的元素的个数是( A、4

) B、5 C、6 D、7

(2) (2000 年全国高考题)设集合

A 和 B 都是自然数集合 N ,映射 f : A ? B 把集合 A 中的元素
下象 20 的原象是( C、4 ) D、5

n 映射到集合 B 中的元素 2n ? n ,则在映射 f
A、2 B、3

分析:第(1)题只要 A 中的元素一一取绝对值,就得 B 中的元素;第(2)题只要令 n ? 2,3, 4,5 验 证即可。 解: (1)? a ? A,?

a ? 1, 2,3, 4, 即 B ? ?1, 2,3, 4? 。故选 A。
n

(2)令 n ? 2,3, 4,5, 则 2

? n ? 6,11, 20,37 。故选 C。

评注:高考对本节内容单独考查时,主要考查映射的定义,题型为选择题,难度为简单题。一般情况 下,常常结合后面几节的内容命题,考查函数的定义域、值域及其他性质。 A 级训练答案与解析:

A 中不同的元素可以在 B 中有相同的象,是假命题;③是假命 题,因为映射要求 A 中的任一元素在 B 中都有唯一的象,不要求 B 中的每一个元素在 A 中都有原象;④
1、分析:①符合定义,是真命题;②因为 是真命题,符合定义。 答案:B

2、由对应关系

1 1 ? 1 ?2 ? 6 ? ( ? 6 ) ? 6 , 1 1 ? 所以点 ( , ? ) 的象为: f : ( x, y) ? (2 x ? y, xy) ,可知: ? 6 6 ?1 ? (? 1 ) ? ? 1 , ?6 6 36 ?

1 1 ( ,? ) 。 6 36
3、解析:A,

f ( x) ? x , g ( x) ? x( x ? 0) ,定义域不同,对应法则不同,所以不是同一函数。

B,

f ( x) ? x, g ( x) ? x ,定义域、对应法则分别相同,是同一函数。 f ( x) 中 x ? R, g ( x) 中 x ? (??,0) ? (0, ??) ,定义域不同,所以是不同的函数。 f ( x) ? x ? 2( x ? ?2) ,与 g ( x) ? x ? 2 的定义域不同,所以是不同的函数。

C,

D、 答案:B

4、

?a 2 ? 1(a ? 0), 2 f (a) ? ? 当 a ? 1 ? 10 时, a ? ?3 。 ? a ? 0,? a ? ?3 。当 ?2a ? 10 时, ??2a (a ? 0),

。由以上可知 a ? ?3 。 a ? ?5 (舍去,? a ? 0 ) 5、分析:以上各式必须有意义,因此①开偶次方时,被开方数要大于或等于 0;②分式中的分母不为 0; ③0 的零次方无意义。

13

解: (1)由题意得 ?

? x ? 4 ? 0, 解得 x ? 4 ,∴所求定义域为 ?4? 。 ? 4 ? x ? 0,

(2)由题意得 ?

? x ? 1 ? 0, ? 解得定义域为 ? x x ? 0, 且x ? ?1? 。 ? x ? x ? 0, ?
解得定义域为

(3)由题意得 ?

? x ? 1 ? 0,
2 ? x ? 5 x ? 6 ? 0,

? x x ? ?1, 且x ? 2, 且x ? 3? 。

6、解: (1)由题意知:当 x ? (2)

?1, 2,3, 4,5? 时 y ??3,5, 7,9,11? ,所以,值域为: ?3,5, 7,9,11? 。
1-5)知,值域为:

1 y ? 2 x 2 ? 4 x ? 2 ? 2( x ? 1) 2 ? 4, x ? (? , 2) ,由这个函数图象(图 2

1 1 (? , ) 。 4 2

图 1-5 B 级训练答案及解析: 1、解析:对于 A,当 x 对于 B,当 x 对于 C,当 x 应,所以也不是从 答案:D 2 、 解 析 : 由

? 0, y ? 0 ? ? y 1 ? y ? 2? ,不是从 A 到 B 的映射。

? 2 时, y ? 0 ? ? y 1 ? y ? 2? ,也不是从 A 到 B 的映射。 ? 0 时 y ? 1且 y ? 2 ,即集合 A 中的一个元素 0 与集合 B 中的两个元素 1 和 2 相对

A 到 B 的映射。 对于 D, 集合 A 中的任何一个元素, 在集合 B 中都有唯一的元素和它对应, 所以是从 A 到 B 的映射。
f (?4) ? f (0)


b?4

, 由

f (? 2 ? ? 知 c ? 2 ) 2

, 于 是

? x2 ? 4x ? 2 ? x ( f ( x) ? ? ? 2( x ? 0).
答案:C 3、解析:① a 时,

0 ) , f ( x) ? x , 即 x 2 ? 4 x ? 2 ? x( x ? 0), 或 x ? 2(x ? 0), 解 得

x ? ?2 或 x ? ?1 或 x ? 2 ,所以有 3 个解。
? 0, b ? 0, c ? 0 时, y ? 3 ;② a ? 0, b ?0, c ? 0
时, y

? 1;③ a ? 0, b ? 0, c ?0

y ? ?1 ;④ a ? 0, b ? 0, c ? 0 时, y ? ?3 。

答案:C 4、解析: (1)由 ?1 ? 2 x ? 1 ? 1得 0 ?

x ?1 。
14

( 2 ) 由 1?

x ? 3 得 ?1 ? x 2 ? 2 ? 7

,由此可知,

f (3x ? 2)



?1 ? 3x ? 2 ? 7 , 解 得

?1 ? x ?

5 。 3
(2) ? 0,1? ; ? ?1, ?

答案: (1)

?

5? 3? ?

5、解析:当 n ? 1 ,即 素 时 , 共 有

A, B 中各有 1 个元素时,只能建立 1 个映射;当 n ? 2 ,即 A, B 中各有 2 个元
个 映 射 ; 当

22 ? 4

n?3



A, B

中 各 有

3

个 元 素 时 , 不 妨 设

A ? ? a, a, ?a , ? ? B 1 2 3

1

3 ,b ?b 3 b ,用同样的方法知,可建立 27 个映射,即 3 个。依次类推,当 A, B 2,

中各有 n 个元素时,共能建立 n 个映射。 答案: n
n

n

6、解: (1)令

y ? ?x ,则有 f (0) ? f ( x) ? f (? x) ,令 x ? y ? 0 ,则 f (0) ? f (0) ? f (0)


,即

f (0) ? 0, ? f ( ? x) ? f ( x) ?0
(2)

f (12) ? f (6 ? 6) ? f (6) ? f (6) ? 2 f (6) ? 2 f (3 ? 3) ? 2 ? f (3) ? f (3) ? ? 4 f (3)

? 4 ? ? f (?3)? ? ?4a 。

1 1 x x 1 7、解:? f ( x) ? f ( ) ? ? x ? ? ?1, x 1? x 1? 1 1? x 1? x x 1 1 1 ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2001) ? f (1) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? ? f (1) ? f (1) ? 2 3 2001
1 ? ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? f (2) ? f ( ) ? ? ? f (3) ? f ( ) ? ? ? ? ? f (2001) ? f ( ) ? 2001 。 2 ? ? 3 ? 2001 ? ? ? ?
8、解: (1)

y?

x x ? 1 ?1 1 ? ? 1? ,? x ? ?1,? y ? 1 ,即值域为 ? y y ? 1? 。 x ?1 x ?1 x ?1

(2)令 t

? x ? 3(t ? 0) ,则 x ? t 2 ? 3 代入原式 y ? 2(t 2 ? 3) ? t ,? y ? 2t 2 ? t ? 6 ?

1 49 49 ? 49 ? 2(t ? )2 ? ,? t ? 0,? y ? ? ,值域为 ? ? , ?? ? 。 4 8 8 ? 8 ?
(3) 去分母得:y
2 ? ( x 2 ? 1) ? 4 x 2 ? x ? 1 , 整理有 (4 ? y ) x ? x ? 1 ? y ? 0 , 4 ? y ? 0 时, 当

x ? 1 ,有意义,当 4 ? y ? 0 时,存在满足方程的 x 值,则 ? ? (?1)2 ? 4(4 ? y)
15

(1 ? y) ? 0 ,即 4 y 2 ? 20 y ? 15 ? 0 。解之: y ?

5 ? 10 2



y?

5 ? 10 。 2

∴值域为: ? y

? ? ? ?

y?

5 ? 10 5 ? 10 ? ? , y ? 4, y ? ?。 2 2 ? ?

C 级训练答案及解析: 1、分析:函数

f ( x) 的定义域为 R ,说明 ax2 ? 4ax ? a ? 3 ? 0 恒成立,进而转化为二次不等式求解。 ax2 ? 4ax ? a ? 3 ? 0
的 解 集 为

解 : 依 题 意 , 不 等 式

R



?a ? 0



?a ? 0, 解得 0 ? a ? 1。故 a 的取值范围是 ? 0,1? 。 ? 2 ?? ? (?4a) ? 4a( a ? 3) ? 0.
解:

? ? 16m2 ? 16( ? 2) 0 解 得 m ? 2 , 或 m ? ?1 。 由 韦 达 定 理 得 ? ? ? ? m , m ? ,

?? ?

m?2 m?2 1 1 17 .?? 2 ? ? 2 ? (? ? ? )2 ? 2?? ? m2 ? 2 ? ? m2 ? m ? 1 ? ( m ? ) 2 ? 4 4 2 4 16
1-6 知 ,

? m ? 2 , 或 m ? ?1 , ∴ 由 图
1 17 1 (?1 ? ) 2 ? ? 。 4 16 2

m ? ?1 时 , ? 2 ? ? 2 有 最 小 值 。 并 且 这 个 最 小 值 为

图 1-6

16


更多相关文档:

必修一函数知识点整理和例题讲解(含答案).doc

必修一函数知识点整理和例题讲解(含答案) - 高中数学必修一知识点和题型练习 一 集合与函数 ? ?确定性 ? ? 集合中元素的特征 ?互异性 ? ?无序性 ? ? ?...

高一数学必修1知识点总结及练习题.doc

高一数学必修1知识点总结练习题 - 期中考复习 第一章 集合与函数概念(10,

人教版2017高中(必修一)数学函数知识点与典型例题总结(....ppt

人教版2017高中(必修一)数学函数知识点与典型例题总结(经典)ppt课件 - 第一章 集合与函数概念 第二章 基本初等函数Ⅰ 第三章 函数应用 永切隔数形数焉数 远...

必修一函数知识点总结.doc

必修一函数知识点总结_高一数学_数学_高中教育_教育专区。函数知识点总结,适合高考复习,也使用于高一学生复习 必修一函数知识点总结函数概念(一)知识梳理 1.映射的...

高中数学预习人教版必修1函数知识点与典型例题总结_图文.ppt

高中数学预习人教版必修1函数知识点与典型例题总结 - 第一章 集合与函数概念 第二章 基本初等函数Ⅰ 第三章 函数应用 永切隔数形数焉数 远莫离形少无能与 ...

高一 必修一基本初等函数知识点总结归纳.doc

高一 必修一基本初等函数知识点总结归纳_数学_高中教育_教育专区。高二,数学,理科,对数函数,练习题 高一必修一函数知识点(12.1) 〖1.1〗指数函数(1)根式的概念...

高中数学必修一集合与函数概念知识点总结及练习题.doc

高中数学必修一集合与函数概念知识点总结练习题 - 高中数学必修一集合与函数概念知识点总结 1.元素与集合 (1)元素与集合的定义: 一般地, 把 统称为元素, 把...

必修一函数主要知识点及典型例题.pdf

必修一函数主要知识点及典型例题 - 05. 18 师老师:函数主要知识点及典型例题 必修一函数主要知识点及典型例题 一、函数的概念与表示 1、映射 (1)映射:设 A、...

高一数学必修1各章知识点总结+练习题.doc

高一数学必修1各章知识点总结+练习题 - 高一数学必修 1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个...

高一数学必修一函数知识点总结.doc

高一数学必修一函数知识点总结 - 二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B

高一必修一基本初等函数知识点总结归纳.doc

高一必修一基本初等函数知识点总结归纳 - 高一必修一函数知识点(12.1) 〖1.1〗指数函数 (1)根式的概念 ① n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被...

高一数学必修一 第一章 知识点与习题讲解.doc

高一数学必修一 第一章 知识点与习题讲解 - 必修 1 第一章集合与函数基础知识

高中数学必修一函数知识点与典型例题总结(经典)(适合高....ppt

高中数学必修一函数知识点与典型例题总结(经典)(适合高一或高三复习) - 第一章 集合与函数概念 第二章 基本初等函数Ⅰ 第三章 函数应用 永切隔数形数焉数 远...

高一必修一基本初等函数知识点总结归纳..doc

高一必修一基本初等函数知识点总结归纳. - 高一必修一函数知识点(12.1) 〖1.1〗指数函数 (1)根式的概念 ① n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被...

高中数学必修1知识点与练习题.doc

高中数学必修1知识点与练习题_数学_高中教育_教育专区。对必修1集合、函数的知识点高度整理、编排,即下即用 高中数学必修 1 各章知识点总结第一章 集合与函数...

高一数学必修1函数知识点总结.doc

高一数学必修1函数知识点总结 - 函数 ?映射定义:设A,B是两个非空的集合,如

高一数学必修1各章知识点总结+练习题.doc

高一数学必修1各章知识点总结+练习题 - 高一数学必修 1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个...

高一必修一基本初等函数知识点总结归纳.doc

高一必修一基本初等函数知识点总结归纳 - 高一必修一函数知识点(12.1) 〖1.1〗指数函数 (1)根式的概念 ① n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被...

人教版数学必修1知识点总结及典型例题解析.doc

人教版数学必修 1 知识点总结及典型例题解析 第一章 集合与函数概念 一、集合有

高中数学最全必修一函数性质详细讲解和知识点总结和题....doc

WORD 格式整理版 (经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分 析一、函数的概念与表示 1、映射: (1)对映射定义的理解。 (2)判断一个对应...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com