高中数学知识点总结之排列组合概率论篇

一、解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

（1）分类计数原理：N ? m1 ? m 2 ? ?? ? m n （m i 为各类办法中的方法数） 分步计数原理：N ? m1 ·m 2 ??m n （m i 为各步骤中的方法数）
排 （2）排列：从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个元素，按照一定的顺序 成 一

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A m n .

Am n ? n? n ? 1?? n ? 2??? ? n ? m ? 1? ?

n! ? m ? n? ?n ? m?!

规定： 0! ? 1
（3）组合：从 n 个不同元素中任取 m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从 n 个不 同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为C m n .

Cm n ?

n? n ? 1???? n ? m ? 1? Am n! n ? ? m m! m!? n ? m?! Am

规定：C 0 n ?1

（ 4 ）组合数性质：
n? m m ?1 0 1 n n Cm ，C m ? Cm n ? Cn n ? Cn n ?1 ，C n ? C n ? ?? ? C n ? 2

二、 解排列与组合问题的规律是： 相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法； 至多至少问题间接法； 相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结 果。 如：学号为 1，2，3，4 的四名学生的考试成绩
x i ? 89 ， 90， 91， 92 ， 93 ， (i ? 1， 2 ， 3， 4) 且满足x 1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ，

?

?

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ A. 24 B. 15 C. 12 D. 10 解析：可分成两类：

）

（1）中间两个分数不相等，

4 有C 5 ? 5（种）

（2）中间两个分数相等
x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4

相同两数分别取 90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有 3，4，3 种， ∴有 10 种。 ∴共有 5＋10＝15（种）情况 三、 二项式定理
n 1 n ?1 n?2 2 n ( a ? b) n ? C 0 b ? C2 b ? ? ? C rn a n ? r b r ? ? ? C n na ? Cna na nb

二项展开式的通项公式：Tr ?1 ? C rn a n ? r b r ( r ? 0，1??n) C rn 为二项式系数（区别于该项的系数）
性质：
?r （1）对称性：C rn ? C n r ? 0，1， 2 ，??，n n

?

?

1 n n （ 2 ）系数和：C 0 n ? Cn ? ? ? Cn ? 2 3 5 0 2 4 n ?1 C1 n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? 2

（3）最值：n 为偶数时，n＋1 为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第
?n ? 2 ；n为奇数时， ( n ? 1) 为偶数，中间两项的二项式 ? ? 1? 项，二项式系数为C n ?2 ?
n ?1 n ?1 系数最大即第 项及第 ? 1项，其二项式系数为C n 2 ? C n 2 2 2
n ?1 n ?1

n

如：在二项式? x ? 1? 的展开式中，系数最小的项系数为
11

（用数字

表示）

（∵n＝11
∴共有12 项，中间两项系数的绝对值最大，且为第 12 ? 6或第 7 项 2

r 由C11 x 11? r ( ?1) r ，∴取r ? 5即第 6项系数为负值为最小： 6 5 ? C11 ? ? C11 ? ?426

又如：?1 ? 2 x?

2004

? a 0 ? a 1 x ? a 2 x 2 ? ?? ? a 2004 x 2004 ? x ? R ?，则

?a 0 ? a 1 ? ? ?a 0 ? a 2 ? ? ?a 0 ? a 3 ? ? ?? ? ?a 0 ? a 2004 ? ?
（令x ? 0，得：a 0 ? 1 令x ? 1，得：a 0 ? a 2 ? ?? ? a 2004 ? 1

（用数字作答）

∴原式 ? 2003a 0 ? a 0 ? a 1 ? ?? ? a 2004 ? 2003 ? 1 ? 1 ? 2004 ）

?

?

四、 你对随机事件之间的关系熟悉吗？

（1）必然事件?，P??) ? 1，不可能事件?，P( ?) ? 0

（ 2 ）包含关系：A ? B，“A发生必导致B发生”称B包含A。

A

B

（ 3）事件的和（并）：A ? B或A ? B“A与B至少有一个发生”叫做A与B
的和（并）。

（ 4 ）事件的积（交）：A·B或A ? B“A与B同时发生”叫做A与B的积。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A 与 B 不能同时发生”叫做 A、B 互 斥。

A·B ? ?

（6）对立事件（互逆事件）：

“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A
A ? A ? ?，A ? A ? ?

（7）独立事件：A 发生与否对 B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫 做相互独立事件。

A与B独立，A与 B ，A与B，A与 B 也相互独立。
五、对某一事件概率的求法： 分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即
P(A ) ? A包含的等可能结果 m ? 一次试验的等可能结果的总数 n

（ 2 ）若A、B互斥，则P?A ? B? ? P(A ) ? P( B)
（ 3）若A、B相互独立，则P A·B ? P?A ?·P? B?

?

?

（ 4 ）P( A ) ? 1 ? P(A )
（5）如果在一次试验中 A 发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中 A 恰好发生
k k次的概率：Pn ( k ) ? C k n p ?1 ? p? n? k

如：设 10 件产品中有 4 件次品，6 件正品，求下列事件的概率。 （1）从中任取 2 件都是次品；

? C2 2? 4 P ? ? ? ? 1 2 C10 15? ?
（2）从中任取 5 件恰有 2 件次品；

? C 2 C 3 10 ? ? P2 ? 4 5 6 ? ? 21? C10 ?
（3）从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品； 解析：有放回地抽取 3 次（每次抽 1 件），∴n＝103 而至少有 2 件次品为“恰有 2 次品”和“三件都是次品”
2 1 3 ∴m ? C 2 3 ·4 6 ? 4

2 3 C2 44 3 ·4 ·6 ? 4 ∴P3 ? ? 3 125 10

（4）从中依次取 5 件恰有 2 件次品。 解析：∵一件一件抽取（有顺序）

5 2 3 ∴n ? A 10 ，m ? C 2 4A5A 6

∴P4 ?

2 3 C2 10 4A5A 6 ? 5 21 A 10

分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排 列问题。 六、抽样方法主要有： 简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征 是从总体中逐个抽取； 系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部 分只取一个； 分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们 的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。 七、对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平 均值）和方差去估计总体的期望和方差。 要熟悉样本频率直方图的作法：
（1）算数据极差? x max ? x min ?；

（2）决定组距和组数； （3）决定分点； （4）列频率分布表； （5）画频率直方图。
其中，频率 ? 小长方形的面积 ? 组距× 频率 组距

1 x 1 ? x 2 ? ?? ? x n n 1 2 2 2 样本方差：S 2 ? ? x 1 ? x ? ? ? x 2 ? x ? ? ?? ? ? x n ? x ? n 如：从 10 名女生与 5 名男生中选 6 名学生参加比赛，如果按性别分层随机 抽样，则组成此参赛队的概率为____________。 样本平均值：x ?

?

?

?

?

（

4 2 C10 C5 ） 6 C15