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高中数学知识点总结之排列组合概率论篇

一、解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。

(1)分类计数原理:N ? m1 ? m 2 ? ?? ? m n (m i 为各类办法中的方法数) 分步计数原理:N ? m1 ·m 2 ??m n (m i 为各步骤中的方法数)
排 (2)排列:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序 成 一

列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,所有排列的个数记为A m n .

Am n ? n? n ? 1?? n ? 2??? ? n ? m ? 1? ?

n! ? m ? n? ?n ? m?!

规定: 0! ? 1
(3)组合:从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从 n 个不 同元素中取出m个元素的一个组合,所有组合个数记为C m n .

Cm n ?

n? n ? 1???? n ? m ? 1? Am n! n ? ? m m! m!? n ? m?! Am

规定:C 0 n ?1

( 4 )组合数性质:
n? m m ?1 0 1 n n Cm ,C m ? Cm n ? Cn n ? Cn n ?1 ,C n ? C n ? ?? ? C n ? 2

二、 解排列与组合问题的规律是: 相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法; 至多至少问题间接法; 相同元素分组可采用隔板法,数量不大时可以逐一排出结 果。 如:学号为 1,2,3,4 的四名学生的考试成绩
x i ? 89 , 90, 91, 92 , 93 , (i ? 1, 2 , 3, 4) 且满足x 1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ,

?

?

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是( A. 24 B. 15 C. 12 D. 10 解析:可分成两类:



(1)中间两个分数不相等,

4 有C 5 ? 5(种)

(2)中间两个分数相等
x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4

相同两数分别取 90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有 3,4,3 种, ∴有 10 种。 ∴共有 5+10=15(种)情况 三、 二项式定理
n 1 n ?1 n?2 2 n ( a ? b) n ? C 0 b ? C2 b ? ? ? C rn a n ? r b r ? ? ? C n na ? Cna na nb

二项展开式的通项公式:Tr ?1 ? C rn a n ? r b r ( r ? 0,1??n) C rn 为二项式系数(区别于该项的系数)
性质:
?r (1)对称性:C rn ? C n r ? 0,1, 2 ,??,n n

?

?

1 n n ( 2 )系数和:C 0 n ? Cn ? ? ? Cn ? 2 3 5 0 2 4 n ?1 C1 n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? 2

(3)最值:n 为偶数时,n+1 为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第
?n ? 2 ;n为奇数时, ( n ? 1) 为偶数,中间两项的二项式 ? ? 1? 项,二项式系数为C n ?2 ?
n ?1 n ?1 系数最大即第 项及第 ? 1项,其二项式系数为C n 2 ? C n 2 2 2
n ?1 n ?1

n

如:在二项式? x ? 1? 的展开式中,系数最小的项系数为
11

(用数字

表示)

(∵n=11
∴共有12 项,中间两项系数的绝对值最大,且为第 12 ? 6或第 7 项 2

r 由C11 x 11? r ( ?1) r ,∴取r ? 5即第 6项系数为负值为最小: 6 5 ? C11 ? ? C11 ? ?426

又如:?1 ? 2 x?

2004

? a 0 ? a 1 x ? a 2 x 2 ? ?? ? a 2004 x 2004 ? x ? R ?,则

?a 0 ? a 1 ? ? ?a 0 ? a 2 ? ? ?a 0 ? a 3 ? ? ?? ? ?a 0 ? a 2004 ? ?
(令x ? 0,得:a 0 ? 1 令x ? 1,得:a 0 ? a 2 ? ?? ? a 2004 ? 1

(用数字作答)

∴原式 ? 2003a 0 ? a 0 ? a 1 ? ?? ? a 2004 ? 2003 ? 1 ? 1 ? 2004 )

?

?

四、 你对随机事件之间的关系熟悉吗?

(1)必然事件?,P??) ? 1,不可能事件?,P( ?) ? 0

( 2 )包含关系:A ? B,“A发生必导致B发生”称B包含A。

A

B

( 3)事件的和(并):A ? B或A ? B“A与B至少有一个发生”叫做A与B
的和(并)。

( 4 )事件的积(交):A·B或A ? B“A与B同时发生”叫做A与B的积。

(5)互斥事件(互不相容事件):“A 与 B 不能同时发生”叫做 A、B 互 斥。

A·B ? ?

(6)对立事件(互逆事件):

“A不发生”叫做A发生的对立(逆)事件,A
A ? A ? ?,A ? A ? ?

(7)独立事件:A 发生与否对 B 发生的概率没有影响,这样的两个事件叫 做相互独立事件。

A与B独立,A与 B ,A与B,A与 B 也相互独立。
五、对某一事件概率的求法: 分清所求的是:(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法,即
P(A ) ? A包含的等可能结果 m ? 一次试验的等可能结果的总数 n

( 2 )若A、B互斥,则P?A ? B? ? P(A ) ? P( B)
( 3)若A、B相互独立,则P A·B ? P?A ?·P? B?

?

?

( 4 )P( A ) ? 1 ? P(A )
(5)如果在一次试验中 A 发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中 A 恰好发生
k k次的概率:Pn ( k ) ? C k n p ?1 ? p? n? k

如:设 10 件产品中有 4 件次品,6 件正品,求下列事件的概率。 (1)从中任取 2 件都是次品;

? C2 2? 4 P ? ? ? ? 1 2 C10 15? ?
(2)从中任取 5 件恰有 2 件次品;

? C 2 C 3 10 ? ? P2 ? 4 5 6 ? ? 21? C10 ?
(3)从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品; 解析:有放回地抽取 3 次(每次抽 1 件),∴n=103 而至少有 2 件次品为“恰有 2 次品”和“三件都是次品”
2 1 3 ∴m ? C 2 3 ·4 6 ? 4

2 3 C2 44 3 ·4 ·6 ? 4 ∴P3 ? ? 3 125 10

(4)从中依次取 5 件恰有 2 件次品。 解析:∵一件一件抽取(有顺序)

5 2 3 ∴n ? A 10 ,m ? C 2 4A5A 6

∴P4 ?

2 3 C2 10 4A5A 6 ? 5 21 A 10

分清(1)、(2)是组合问题,(3)是可重复排列问题,(4)是无重复排 列问题。 六、抽样方法主要有: 简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时,它的特征 是从总体中逐个抽取; 系统抽样,常用于总体个数较多时,它的主要特征是均衡成若干部分,每部 分只取一个; 分层抽样,主要特征是分层按比例抽样,主要用于总体中有明显差异,它们 的共同特征是每个个体被抽到的概率相等,体现了抽样的客观性和平等性。 七、对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率,用样本的期望(平 均值)和方差去估计总体的期望和方差。 要熟悉样本频率直方图的作法:
(1)算数据极差? x max ? x min ?;

(2)决定组距和组数; (3)决定分点; (4)列频率分布表; (5)画频率直方图。
其中,频率 ? 小长方形的面积 ? 组距× 频率 组距

1 x 1 ? x 2 ? ?? ? x n n 1 2 2 2 样本方差:S 2 ? ? x 1 ? x ? ? ? x 2 ? x ? ? ?? ? ? x n ? x ? n 如:从 10 名女生与 5 名男生中选 6 名学生参加比赛,如果按性别分层随机 抽样,则组成此参赛队的概率为____________。 样本平均值:x ?

?

?

?

?



4 2 C10 C5 ) 6 C15


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