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河北省邢台一中2013—2014学年高一下学期第四次月考数学理试题


河北省邢台一中 2013—2014 学年高一下学期第四次月考 数学理试题
第 I 卷(选择题共 60 分) 一.选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

8π A. 3

B.3π

10π C. 3

D.6π )

2. 直线 l1 :ax+3y+1=0, A.-3 B.2

l2 :2x+(a+1)y+1=0, 若 l1 ∥ l2 ,则 a=(
C.-3 或 2

D.3 或-2

3. 设 m、n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m ? ? , n / /? ,则 m ? n ③若 m / /? , n / /? ,则 m / / n 其中正确命题的序号是 ( ) (A)①和② (B)②和③ ②若 ? / / ? , ? / /? , m ? ? ,则 m?? ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ?

(C)③和④ )

(D)①和④

4.在△ABC 中,a= 5,b= 15,A=30° ,则 c 等于( A.2 5 B. 5 C.2 5或 5

D.3 5

x≥0, ? ? 5.设变量 x,y 满足约束条件?x-y≥0, ? ?2x-y-2≤0, A.0 B.2 C.4

则 z=3x-2y 的最大值为(

)

D.6 )

6.已知各项均为正数的等差数列{an}的前 20 项和为 100,那么 a3· a18 的最大值是( A.50 B.25 C.100 D.2 20

7. 已知直线 l 过点(2,1),且在两坐标轴上的截距互为相反数,则直线 l 的方程为( A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 3 ? 0 或 x ? 2 y ? 0
·1 ·



C. x ? y ? 1 ? 0 或 x ? 2 y ? 0

D. x ? y ? 3 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0

8.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° * 9.若数列{xn}满足 lg xn+1=1+lg xn(n∈N ),且 x1+x2+x3+…+x100=100, 则 lg(x101+x102+…+x200)的值为( A.102 B.101 ) C.100 D.99

10.过点 M(-2,4)作圆 C:(x-2)2+(y-1)2=25 的切线 l,且直线 l1:ax+3y+2a=0 与 l 平行,则 l1 与 l 间的距离是( ) 8 2 28 12 A. B. C. D. 5 5 5 5 11.如图,平面 PAD ⊥平面 ABCD , ABCD 为正方形, ?PAD ? 90 ,
0

且 PA ? AD ? 2, E, F 分别是线段 PA, CD 的中点,则异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值为 ( A. )

3 3

B.

3 2

C.

3 4
P

D.

3 6

P E A F B C D

A D C

B

12. 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ? 平 面 ABCD , 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形 ,且 AB // CD , ?BAD ? 90? , PA ? AD ? DC ? 2 , AB ? 4 .则点 A 到平面 PBC 的距离是( ) A.

6 3

B.

6 2

C.

2 6 3

D. 2 6

第 II 卷(非选择题共 90 分) 二.填空题: (每小题 5 分,共 20 分)

13.如图所示,Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC 的直观图,其中 A′C′⊥B′C′,B′O′
·2 ·

=O′C′=1,则△ABC 的面积为________. 14.△ABC 中,a、b、c 分别为 A、B、C 的对边,如果 a,b,c 成等差数列,B=30° ,△ABC 的 3 面积为 ,那么 b= 2 15. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, 前 n 项和为 Sn ,且点 P(an , an?1 )(n ? N * ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,则

1 1 1 ? ? ? S1 S2 S3

?

1 = Sn

16.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A-BD-C,有如下四个结论: ①AC⊥BD; ②△ACD 是等边三角形; ③AB 与平面 BCD 成 60° 的角; ④AB 与 CD 所成的角是 60° . 其中正确结论的序号是________ . 三.解答题: (其中 17 小题题 10 分,其它每小题 12 分,共 70 分) 17. 已知圆 C 同时满足下列三个条件:①与 y 轴相切;②在直线 y=x 上截得弦长为 2 7 ;③圆心在直 线 x-3y=0 上. 求圆 C 的方程. 18. 在 ?ABC 中,已知角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,且 a ? b ? c ? 3ab .
2 2 2

(1)求角 C 的大小; (2)如果 0 ? A ?

2? 2 A ? sin B ? 1 ,求实数 m 的取值范围. , m ? 2 cos 3 2

19、已知数列 {an } 是等差数列,且 a1 ⑴ 求数列 {an } 的通项公式; ⑵ 令 bn

? 2 , a1 ? a2 ? a3 ? 12 .

n (n ? N* ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和. ? an ?3

20.森林失火,火势以每分钟 100 m2 的速度顺风蔓延,消防站接到报警后立即派消防员前去,在失 火 5 分钟到达现场开始救火,已知消防员在现场平均每人每分钟可灭火 50 m2,所消耗的灭火材 料、劳务津贴等费用平均每人每分钟 125 元,所消耗的车辆、器械和装备等费用平均每人 100 元,而每烧毁 1 m2 的森林损失费为 60 元,设消防队派 x 名消防队员前去救火,从到现场把火完 全扑灭共用 n 分钟. (1)求出 x 与 n 的关系式;
·3 ·

(2)求 x 为何值时,才能使总损失最少. 21. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=3 3 ,BC=3,沿对角线 BD 将 BCD 折起,使点 C 移到点 Cˊ ,且 Cˊ 在平面 ABD 的射影 O 恰好在 AB 上 (1)求证:BCˊ ⊥面 ADCˊ ; (2)求二面角 A—BCˊ —D 的正弦值。
D
C'

C

D

B

A

B
A

22.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,PA=AB=4, G 为 PD 中 点,E 点在 AB 上,平面 PEC⊥平面 PDC. (Ⅰ)求证:AG⊥平面 PCD; P (Ⅱ)求证:AG∥平面 PEC; (Ⅲ)求直线 AC 与平面 PCD 所成角.
G A E B C D

一.选择题: 二.填空题: 三.解答题:

BAACC 13. 2 2

试题答案 BCCAD DC 14. 1+ 3 15.

2n n ?1

16. ①②④

17.解:所求圆的方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 或 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 . 18.解: (1) C ?

?
6

.
2

(2)∵ m ? 2 cos

A 1 ? cos A ? sin B ? 1 ? 2 ? sin[? ? ( A ? C )] ? 1 2 2

? cos A ? sin( A ? C ) ? cos A ? sin( A ?

?
6

)

? cos A ? sin A cos

?
6

? cos A sin

?
6

? cos A ?
·4 ·

3 1 sin A ? cos A 2 2

1 3 ? ? ? ? cos A ? sin A ? cos A cos ? sin A sin ? cos( A ? ) 2 2 3 3 3
∵0 ? A ?

2? 3



?
3

? A?

?
3

?? .

∴ ?1 ? cos( A ? 19. 解:(1)

?
3

)?

1 1 ,即 m 的取值范围是 [ ?1, ) . 2 2

a1 ? 2 , a1 ? a2 ? a3 ? 12 ?3a1 ? 3d ? 12,即d ? 2

? an ?2 ?(n ?1) ? 2 ? n 2 .
3 ? 3n?1 3 1 ? n ? 3n?1 ? ? (n ? )3n?1 . (2) ? Sn ? 2 2 2
20.解析: (1)由已知可得 50nx=100(n+5), 10 (x>2). x-2

所以 n=

(2)设总损失为 y 元,则 y=6 000(n+5)+100x+125nx 10 1 250x 62 500 =6 000?x-2+5?+100x+ = +100(x-2)+31 450 ? ? x-2 x-2 ≥2 6250 000+31 450=36 450, 62 500 当且仅当 =100(x-2),即 x=27 时,y 取最小值. x-2 答:需派 27 名消防员,才能使总损失最小,最小值为 36 450 元. 21. 解:

(1)

C?O ? 平面ABD,DA ? 平面ABD ??????????2分
0

? C?O ? DA 又?DAB=90 ,即DA ? AB,且C?O ? AB=O ? DA ? 平面C?AB 又BC? ? 平面C?AB ? BC? ? DA ? BC? ? 平面ADC?

?? ????????4分 ??????????6分 ??????????8分

又?BC?D=?BCD=900,即BC? ? C?D,且C?D ? DA=D

·5 ·

(2)

BC? ? 平面ADC?,AC? ? 平面ADC?,DC? ? 平面ADC? ??????????10分 ??????? ???11分 ??????????12分
说明:

? BC? ? AC?,BC? ? DC? ??AC?D即所求二面角A-BC?-D的平面角 又由(1)知DA ? 平面C?AB,AC? ? 平面C?AB ? DA ? AC?,即?DAC?为直角三角形 其中,DA=BC=3,DC?=DC=AB=3 3 ? 所求为sin ?AC?D= DA 3 3 ? ? 。 DC? 3 3 3

??????????14分

本题答案为图片形式,具体步骤得分视情况而定。 22. (Ⅰ)证明:∵CD⊥AD,CD⊥PA ∴CD⊥平面 PAD ∴CD⊥AG,又 PD⊥AG ∴AG⊥平面 PCD (Ⅱ)证明:作 EF⊥PC 于 F,因面 PEC⊥面 PCD ∴EF⊥平面 PCD,又由(Ⅰ)知 AG⊥平面 PCD EF∥AG,又 AG ? 面 PEC,EF ? 面 PEC, ∴AG∥平面 PEC (Ⅲ)连接 CG



AG ? CG, 则?ACG为所求的角。 1 AG ? AC,?ACG ? 30? 2

·6 ·


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