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新课标湖北高级中学2013—2014学年度上学期期中考试高一年级数学试题附答案[编辑7页]

新课标湖北高级中学 2013—2014 学年度上学期 期中考试高一年级(数学)试题附答案
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.函数 y ?

1 的定义域为 1? x
B. ? x x ? 1? C. ? x 0 ? x ? 1? D. ? x x ? 1?

A. ? x x ? 1?

2.设集合 A ? x x 2 ? x ? 6 ? 0 , B ? ? x 1 ? x ? 3? 则 (CR A) ? B 等于 A. (??, ?3) B. (?3,1? C. ?1, 2) D. ? 2,3?

?

?

?? x, x ? 0, 3.设函数 f ( x) ? ? 2 若 f (? ) ? 4 ,则实数 ? ? ? x , x ? 0,
A. ?4 或 ?2 4.化简 4x 4 y 3 (?6x 4 y A. 8xy
1 2 1

B. ?4 或 2
?1
3

C. ?2 或 4

D. ?2 或 2

) ? (?3x
1

?1 ?2
2

y

3

) (其中 x ? 0, y ? 0 )的结果是
1

B. 4xy 3

C. 2xy

D. x 2 y

1 5. y ? ( ) x ? 1 的图象大致是 2

A.

B.

C.

D.

6.下列函数中,既是偶函数又在 (0, ??) 上是单调递增的函数是 A. y ? x3 B. y ? x ? 1 C. y ? ? x2 ? 1 D. y ? 2
?x

7.某同学骑车上学,离开家不久,发现作业本忘家里了,于是返回家找到作业本再上学,为了赶时间快 速行驶.下图中横轴表示出发后的时间,纵轴表示离学校的距离.则较符合该同学走法的图是 ......

A.

B.

C.

D.
1/7

8.函数 f ( x) ? a x?b 的图象如右图,其中 a, b 为常数,则下列结论正确的是 A. a ? 1, b ? 0 B. a ? 1, b ? 0 C. 0 ? a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0 9.若函数 y ? f ( x) 是偶函数, x ? R ,在 x ? 0 时, f ( x) 是增函数,对 于 x1 ? 0, x2 ? 0, 且 x1 ? x2 ,则 A. f (? x1 ) ? f (? x2 ) C. f (? x1 ) ? f (? x2 ) B. f (? x1 ) ? f (? x2 ) D. f (? x1 ) ? f (? x2 )

? a, a ? b 10.对实数 a 和 b ,定义运算“ ? ”: a ? b ? ? ,设函数 f ( x) ? ( x 2 ? 1) ? ( x ? x 2 ), x ? R , b, a ? b ?
则 y ? f ( x) 与 x 轴的公共点个数为: A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题:本题共 25 分,每小题 5 分,请将各题的正确答案直接写在题目的横线上. 11.某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运动都不喜爱,则喜爱 篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 . .

12.已知符合 A ? ( x, y ) x 2 ? y ? 1, x ? 2, x ? Z ? ,则集合 A 用列举法可表示为: 13.设定义在 N 上的函数 f (n) 满足 f ( n) ? ?

?

? n ? 13 ? ? f ? f (n ? 18) ? ?

n ? 2000 n ? 2000

则 f (2003) ?

? ? x ? 3a x ? 0 14.函数 f ( x ) ? ? x (a ? 0且a ? 1) 是 R 上的减函数,则实数 a 的取值范围是 x?0 ?a
15. 设 ? x ? 表示不大于 x 的最大整数,例如 ? ?2.1? ? ?3, ?3.2? ? 3 ;集合 A ? x x 2 ? 2 ? x ? ? 3? ,

.

?

B ? ? x ? 2 ? x ? 3? ,则 A ? B ?

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分)已知: U ? ??1, 2,3,6? ,集合 A ? U, A ? x x 2 ? 5 x ? m ? 0 .若 CU A ? ?2,3? ,求 m 的 值.

?

?

2/7

17. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 ? 2 .
x

(1)作出函数 f ( x) 的图象; (2)由图象指出函数的单调区间及单调性(不用证明) ; (3)指出函数的值域.

18. (本题满分 12 分)某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元,但每生产一百台,需要新增

1 加投入 2.5 万元.经调查, 市场一年对此产品的需求量为 500 台; 销售收入为 R(t ) ? 6t ? t 2 (万元) (0 ? t ? 5) , , 2 其中 t 是产品售出的数量(单位:百台). (说明:①利润=销售收入-成本;②产量高于 500 台时,会产生库存,库存产品不计于年利润.) (1)把年利润 y 表示为年产量 x ( x ? 0) 的函数;
(2)当年产量为多少时,工厂所获得年利润最大?

19. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

5 ax 2 ? 1 (a, b, c ? R) 是奇函数,又 f (1) ? 2, f (2) ? . bx ? c 2

(1)求 a, b, c 的值; (2)当 x? (0, ??) 时,讨论函数的单调性,并写出证明过程.

3/7

20. (本题满分 13 分)已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f (x) ? x 2 ? 4x . (1)求 f (?1) 的值; (2)当 x ? 0 时,求 f ( x) 的解析式; (3)求函数 f ( x) 在 ?t , t ? 1? (t ? 0) 上的最小值.

21. (本题满分 14 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)判断其奇偶性并证明; (2)判断函数 f ( x) 在 R 上的单调性,不用证明;

1 1 ? . 2x ? 1 2

(3)是否存在实数 k ,对于任意 t ?[1,2] ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立. 若存在,求出实数 k 的取 值范围;若不存在,说明理由.

4/7

新课标湖北高级中学 2013—2014 学年度上学期 期中考试高一年级数学试题标准答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 11.12 14. 1 A 2 D 3 B 4 A 5 B 6 B 13.2011 7 D 8 D 9 A 10 C

12. {(?1,0),(0, ?1),(1,0)} 15. {?1, 7}

1 ? a ?1 3

三、解答题 16. ∵ U ? {?1,2,3,6}, CU A ? {2,3} ∴ A ? {?1,6} 又 (?1 ? 6) ? 5 , ?1? 6 ? m 即 m ? ?6 17.(1)图形 (2) f ( x) 在 (??,0) 上是减函数,在 (0, ??) 上是增函数. (3) f ( x) 的值域为 [?1, ??) 18.(1)当 0 ? x ? 5 时 (6 分) (12 分) (4 分) (8 分) (12 分)

1 f ( x) ? 6 x ? x 2 ? 0.5 ? 2.5 x 2 1 ? ? x 2 ? 3.5x ? 0.5 2 当 x ? 5时 1 f ( x) ? 6 ? 5 ? ? 52 ? 0.5 ? 2.5 x 2 ? 17 ? 2.5x
? 1 2 ?? x ? 3.5 x ? 0.5 即 f ( x) ? ? 2 ?17 ? 2.5 x ?
(2)当 0 ? x ? 5 时

(3 分)

(5 分)

(0 ? x ? 5) ( x ? 5)

(6 分)

1 f ( x) ? ? ( x 2 ? 7 x ? 1) 2 1 7 45 ? ? ( x ? )2 ? 2 2 8
∴当 x ? 3.5 ? (0.5] 时, f ( x)max ?

(9 分)

45 ? 5.625 8

当 x ? 5 时, f ( x) 为 (5, ??) 上的减函数 f ( x) ? f (5) ? 17 ? 2.5 ? 5 ? 4.5 又 5.625 ? 4.5 ∴ f ( x)max ? f (3.5) ? 5.625
5/7

(11 分)

故当年产量为 350 台时,工厂所获年利润最大. 19. ∵ f ( x) 为奇函数. ∴ f (? x) ? ? f ( x)

(12 分)

f ( x) ?

ax 2 ? 1 , ?bx ? c

? f ( x) ?

∴对任意 x ? (??,0) U (0, ??) ∴c ?0

ax 2 ? 1 ?bx ? c ax 2 ? 1 ax 2 ? 1 恒成立 ? ?bx ? c ?bx ? c
(2 分)

a ?1 ?2 b 可得 a ? b ? 1 ∴ a ? b ? 1, c ? 0
又 f (1) ? (2) f ( x) ?

f (2) ?

4a ? 1 5 ? 2b 2
(4 分) (5 分)

x2 ? 1 x

得 x1 , x2 是 (0, ??) 上任意两实数,且 x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2 2 x12 ? 1 x2 ? 1 x12 x2 ? x2 ? x1 x2 ? x1 ? ? x1 x2 x1 x2

?

x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? ( x2 ? x1 ) ( x1 ? x2 )( x1 x2 ? 1) ? x1 x2 x1 x2

(7 分)

当 x1 , x2 ? (0,1) 时, x1x2 ? 1 ? 0, x1 ? x2 ? 0, x1x2 ? 0 ∴

( x1 ? x2 )( x1 x2 ? 1) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 x2

(9 分)

当 x1 , x2 ? (1, ??) 时, x1x2 ? 1 ? 0, x1 ? x2 ? 0, x1x2 ? 0 ∴

( x1 ? x2 )( x1 x2 ? 1) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 x2

(11 分) (12 分)

∴ f ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 (1, ??) 上是增函数. 20.(1)∵ f ( x) 是 R 上的偶函数. ∴ f (?1) ? f (1) ? 12 ? 4 ?1 ? ?3 (2)若 x ? 0, 则 ? x ? 0

(3 分)

f ( x) ? f (? x) ? [(? x)2 ? 4(? x)] ? x 2 ? 4 x
(3) x ? 0 时 f ( x) ? x2 ? 4 x ? ( x ? 2)2 ? 4 在 (0, 2) 上是减函数,在 (2, ??) 上是增函数 ① t ?1 ? 2 即 0 ? t ? 1 时, f ( x) 在 [t , t ? 1] 上是减函数

(7 分)

f ( x)min ? f (t ? 1) ? (t ? 1)2 ? 4(t ? 1) ? t 2 ? 2t ? 3
② t ? 2 ? t ?1 即 1 ? t ? 2 时 f ( x) 在 [t , t ? 1] 上先减后增

(9 分)

6/7

f ( x)min ? f (2) ? ?4
③ t ? 2 时, f ( x) 在 [t , t ? 1] 上是增函数

(10 分)

f ( x)min ? f (t ) ? t 2 ? 4t
?t 2 ? 2t ? 3 ? ? ??4 ?2 ?t ? 4t

(11 分)

0 ? t ?1 1? t ? 2 t?2
(13 分)

即 f ( x) min

21.(1) f ( x) 是奇函数

1 1 2x 1 1 1 ? ? x ? ? 1? x ? ?x 2 ?1 2 2 ?1 2 2 ?1 2 1 1 1 1 ? ? x ? ?( x ? ) ? ? f ( x) 2 2 ?1 2 ?1 2 ∴ f ( x) 是 R 上的奇函数. (2) f ( x) 是 R 上的减函数. (3)∵ f ( x) 是 R 上的奇函数 f ( ? x) ?
∴ f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (k ? 2t 2 ) 又 f ( x) 是 R 上的减函数 ∴ t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 即问题等价于对任意 t ?[1,2]

(3 分) (6 分)

(9 分)

k ? 3t 2 ? 2t 恒成立
又 g (t ) ? 3t 2 ? 2t 在 [1, 2] 上是增函数 ∴ g (t )max ? g (2) ? 12 ? 4 ? 8 ∴k ?8

(12 分)

(13 分)

7/7


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