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函数与基本初等函数 (10)

第6讲

对数与对数函数

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、填空题 1.如果 解析 ∵ < <0,那么 x,y,1 的大小关系是________. ,又 y= 是(0,+∞)上的减函数,

∴x>y>1. 答案 1<y<x

2.(2014· 深圳调研)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=log3(1+x), 则 f(-2)=________. 解析 答案 f(-2)=-f(2)=-log33=-1. -1 ?2 ? 的定义域是?3,+∞?,则 a=______. ? ?

3.函数 y= 解析

a 要使函数有意义,则 3x-a>0,即 x>3,

a 2 ∴3=3,∴a=2. 答案 2

2 ?2a ,x<2, 4.已知 f(x)=? 且 f(2)=1,则 f(1)=________. 2 ?loga?x -1?,x≥2,

解析

∵f(2)=loga(22-1)=loga3=1,

∴a=3,∴f(1)=2×32=18. 答案 18

5.函数 y=loga(x-1)+2(a>0,a≠1)的图象恒过一定点是________. 解析 答案 当 x=2 时 y=2. (2,2)

6.(2012· 重庆卷改编)已知 a=log23+log2 3,b=log29-log2 3,c=log32,则 a,

b,c 的大小关系是________. 解析 a=log23+log2 3=log23 3>log22=1,b=log29-log2 3=log23 3=

a>1,c=log32<log33=1,所以 a=b>c. 答案 a=b>c

7.(2014· 池州一模)函数 y=log2|x|的图象大致是______.

解析 答案

?log2x,x>0, 函数 y=log2|x|=? 所以函数图象为①. ?log2?-x?,x<0, ①

ln26 ln2π 8.(2013· 苏州二模)若 a= 4 ,b=ln 2×ln 3,c= 4 ,则 a,b,c 的大小关系 是________. ①a>b>c;②c>a>b;③c>b>a;④b>a>c 解析
2 ?ln 2+ln 3?2 ln 6 ?= ∵ln 6>ln π>1, ∴a>c, 排除②, ③; b=ln 2· ln 3<? 4 2 ? ?

=a,排除④. 答案 ①

二、解答题 9.已知 f(x)=log4(4x-1). (1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的单调性; ?1 ? (3)求 f(x)在区间?2,2?上的值域. ? ? 解 (1)由 4x-1>0 解得 x>0,

因此 f(x)的定义域为(0,+∞).

(2)设 0<x1<x2,则 0< 4 x1 -1< 4 x 2 -1, 因此 log4( 4 x -1)<log4( 4 x -1),即 f(x1)<f(x2),f(x)在(0,+∞)上递增.
1

2

?1 ? (3)f(x)在区间?2,2?上递增,又 f ? ?

?1? ?2?=0,f(2)=log415, ? ?

?1 ? 因此 f(x)在?2,2?上的值域为[0,log415]. ? ?

10.已知函数 f(x)=

(a 为常数).

(1)若常数 a<2 且 a≠0,求 f(x)的定义域; (2)若 f(x)在区间(2,4)上是减函数,求 a 的取值范围. 解 (1)由题意知 ax-2 >0,当 0<a<2 时, x-1

2 2 解得 x<1 或 x>a;当 a<0 时,解得a<x<1.
? ? ? ? 2 ? 故当 0<a<2 时,f(x)的定义域为?x?x<1,或x>a ?; ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? 当 a<0 时,f(x)的定义域为?x?a<x<1 ?. ? ? ? ? ?

(2)令 u=

ax-2 ,因为 f(x)= x-1

u 为减函数,故要使 f(x)在(2,4)上是减函

数,只需 u(x)=

ax-2 a-2 =a+ 在(2,4)上单调递增且为正. x-1 x-1

?a-2<0, 故由? 2a-2 u?2?= ≥0, 2-1 ?
得 1≤a<2.故 a∈[1,2). 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、填空题 1.(2013· 西安三模)两个函数的图象经过平移后能够重合,称这两个函数为“同 形”函数,给出下列四个函数: f1(x)=2log2(x+1),f2(x)=log2(x+2),

f3(x)=log2x2,f4(x)=log2(2x), 则是“同形”函数的是________. ①f2(x)与 f4(x);②f1(x)与 f3(x);③f1(x)与 f4(x); ④f3(x)与 f4(x). 解析 因为 f4(x)=log2(2x)=1+log2x,所以 f2(x)=log2(x+2),沿着 x 轴先向

右平移 2 个单位得到 y=log2x 的图象,然后再沿着 y 轴向上平移 1 个单位可 得到 f4(x)=log2(2x)=1+log2x,根据“同形”函数的定义,f2(x)与 f4(x)为“同 形”函数.f3(x)=log2x2=2log2|x|与 f1(x)=2log2(x+1)不“同形”. 答案 ①

2.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且 x∈(-1,0) 1 时,f(x)=2x+5,则 f(log220)=________. 解析 由 f(x-2)=f(x+2), 得 f(x)=f(x+4), 因为 4<log220<5, 所以 f(log220) =-1.

4 =f(log220-4)=-f(4-log220)=-f(log25)=- 答案 -1

3.(2014· 常州模拟)已知函数 f(x)=ln ab 的取值范围是________. 解析

x ,若 f(a)+f(b)=0,且 0<a<b<1,则 1-x

a b 由题意可知 ln +ln =0, 1-a 1-b

b ? a b ? a 即 ln?1-a×1-b?=0,从而 × =1,化简得 a+b=1,故 ab=a(1- 1-a 1-b ? ? 1? 1 1? 1 ? ? a)=-a2+a=-?a-2?2+4,又 0<a<b<1,∴0<a<2,故 0<-?a-2?2 ? ? ? ? 1 1 +4<4. 答案 1? ? ?0,4? ? ?

二、解答题 4.已知函数 f(x)=-x+log2 1-x . 1+x

1 ? ? 1 ? ? (1)求 f ?2 014?+f ?-2 014?的值; ? ? ? ? (2)当 x∈(-a,a],其中 a∈(0,1),a 是常数时,函数 f(x)是否存在最小值?若 存在,求出 f(x)的最小值;若不存在,请说明理由. 解 (1)由 f(x)+f(-x)=log2 1-x 1+x +log2 1+x 1-x

1 ? ? 1 ? ? =log21=0.∴f?2 014?+f?-2 014?=0. ? ? ? ? (2)f(x)的定义域为(-1,1), ∵f(x)=-x+log2(-1+ 2 ), x+1

当 x1<x2 且 x1,x2∈(-1,1)时,f(x)为减函数, ∴当 a∈(0,1),x∈(-a,a]时 f(x)单调递减, ∴当 x=a 时,f(x)min=-a+log2 1-a . 1+a


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