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2014年福建省宁德市高中毕业班质量检测文数


2014 年宁德市普通高中毕业班单科质量检查
第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.已知集合 A ? ?0,1? , B ? ??1,0, a ? 2? ,若 A ? B ,则 a 的值为( A. -2 A.充分不必要 B. -1
2



C. 0 )条件 B.必要不充分

D. 1 C.充要 D.既不充分也不必要 )

“x ? 1 ? 0”是“x ? 1 ? 0” 2.设 的(

3. 设向量 a ? (2,1) , b ? (?1, y) ,若 a // b ,则 y 的值为( A. 2 B. ?2 C.

1 2

D. ?

1 2


4. 直线 m 在平面 ? 内,直线 n 在平面 ? 内,下列命题正确的是( A. m ? n ? ? ? ? C. m ? n ? m ? ? B. ? // ? ? m // ? D. m // n ? ? // ?

5.已知 0 ? a ? 1 , 则函数 f ( x) ? a? x 与函数 g ( x) ? log a x 的图象在同一坐标系中可以是 (
y y
1 -1



y
1 1

y

1

1 1

O

x

O

x

O

x

O 1

x

A.
2

B.

C.

D.

6. 抛物线 y ? 4 x 上的点 M ( x0 , y0 ) 到焦点 F 的距离为 5 , 则 x0 的值为( )

A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 7. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧面积为( A. 8 ? 2 2 B. 10 C. 8 ? 2 5 D. 12



π π 8. 函数 f ( x) ? sin(? x ? ?)(? ? 0, ? ? ? ? ) 的部分图象如图 2 2 所示,则 ? 的值为
π A. ? 3 π B. 3

y
1

C. ?

π 6

D.

π 6

?

? 3

O -1

? 6

x x

1 1 1 1 9.如图所示的程序框图,若执行运算 1? ? ? ? ,则在空白 2 3 4 5
的执行框中,应该填入( A. T ? T ? (i ? 1) ) C. T ? T ?

开始

B. T ? T ? i

1 i ?1

D. T ? T ?

1 i

T ? 1, i ? 1

10.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边,满足 c ? 2b sin C ,
a 2 ? b2 ? c2 ? 3bc ,则角 C 为(

) C.

i ? i ?1

A.

? 6

B.

? 3

? 2

D.

2? 3
a 的 x1 x2

i>4? 是 输出 T 结束



11.关于 x 的不等式 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ( a ? 0 )的解集为 ( x1 , x2 ) ,则 x1 ? x2 ? 最小值是( A.
6 3

) B.

4 2 D. 3 6 3 3 a b c 12. 已知函数 fn ( x) ? an x3 ? bn x2 ? cn x ,满足 n ?1 ? n ?1 ? n ?1 ? q( q ? 1, q为常数) , n ? N* , an bn cn
C. 给出下列说法:①函数 f n ( x) 为奇函数;②若函数 f1 ( x) 在 R 上单调递增,则 a1 ? 0 ;③ 若 x0 是函数 f n ( x) 的极值点,则 x0 也是函数 f n?1 ( x) 的极值点;④若 bn2 ? 3an cn ,则函数
f n ? x ? 在 R 上有极值.以上说法正确的个数是(

2 3 3

) D.1

A.4

B.3

C.2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填写在答题卡的相应位置. 13.已知 i 是虚数单位,则复数 z ? i(1 ? i) 在复平面内对应的点位于第
?x ? y ? 0 ? 14. 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?y ?1 ?

象限.

.

15. 已知两点 A(?4,0) , B(0,3) ,若点 P 是圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 上的动点,则 ?PAB 的面积的 最大值为 16. 已知 .

x0 2 y0 2 x2 y 2 ? ? 1 ,过点 P( x0 , y0 ) 作一直线与双曲线 ? ? 1 相交且仅有一个公共点, 4 9 4 9

2x 2 ? 1 3 则该直线的斜率恰为双曲线的两条渐近线的斜率 ? . 类比此思想,已知 y0 ? 0 , x0 2

过点 P( x0 , y0 ) ( x0 ? 0) 作一条不垂直于 x 轴的直线 l 与曲线 y ? 公共点,则该直线 l 的斜率为 .

2 x2 ? 1 相交且仅有一个 x

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) ? x 2 ? x ? c (c ? R) 的一个零点为 1 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小值;
? f ( x) , x ? 0 (Ⅱ)设 g ( x) ? ? ,若 g (t ) ? 2 ,求实数 t 的值. ?log 2 ( x ? 1) , x ? 0

18.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 满足 a2 ? 2 , a4 ? 2a6 ? 16 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? an ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .
a

19. (本小题满分 12 分) 如图两个等边 ?ABC , ?ACD 所在的平面互相垂直, EB ? 平面 ABC ,且 AC ? 2 ,
BE ? 3 .

(Ⅰ)求三棱锥 A ? BCE 的体积; (Ⅱ)求证: DE //平面 ABC .

20.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (1, ? 3) , b ? (sin x, cos x) , f ( x) ? a ? b .

(Ⅰ)若 f (? ) ? 0 ,求

2cos2

?
2

? sin ? ? 1
的值;

π 2 sin(? ? ) 4

(Ⅱ)当 x ? [0, π] 时,求函数 f ( x) 的值域.

21.(本小题满分 12 分) 为了监测某海域的船舶航行情况,在该海域设立了如图所示东西走向,相距 20 海里的

A , B 两个观测站,观测范围是到 A , B 两观测站距离之和不超过 40 海里的区域.
(Ⅰ)以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系,求 观测区域边界曲线的方程; (Ⅱ)某日上午 7 时,观测站 B 发现在其正东 10 海里的 C 处,有一艘轮船正以每小时 8 海里的速度向北偏西 45°方向航行,问该轮船大约在什么时间离开观测区域? (参考数据: 2 ? 1.4, 3 ? 1.7 .)
y 北

A O

B

x

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? bx . (Ⅰ) 若曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线平行于 x 轴,求实数 b 的值; (Ⅱ)若 ?x ? (0, ??) , f ( x) ? 0 成立,求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)求证:

1 2 ? ? 2 3

?

n ? n ? ln(n ? 1)(n ? N*) . n ?1

2014 年宁德市普通高中毕业班单科质量检查

数学(文科)试题参考答案及评分标准
一、选择题: 1.B 2.A 3.D 4.B 5.D 6.C 7.A 8.A 9.C 二、填空题: 13.一; 14. 7 ; 15. 10 ; 16. 2 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. 解: (Ⅰ)∵函数 f ( x) ? x2 ? x ? c 的一个零点为 1, ∴ f (1) ? 0 ,即 12 ? 1 ? c ? 0 , 解得 c ? 0 ,…………… 3 分 10.D 11.C 12.B

1 1 ∴ f ( x) ? x2 ? x ? ( x ? )2 ? ,………………………………………… 5 分 2 4
∴当 x ?

1 1 时,函数 f ( x) 的最小值为 ? .…………………………… 7 分 4 2

? x2 ? x, x?0 ? (Ⅱ) g ( x) ? ? , …………………………………………8 分 ? ?log 2 ( x ? 1), x ? 0
∵ g (t ) ? 2 ,∴当 t ? 0 时, g (t ) ? t 2 ? t ? 2 ,………………9 分 解得 t ? ?1 ,或 t ? 2 (舍去) ;…………………………………………10 分 当 t ? 0 时, g (t ) ? log2 (t ? 1) ? 2 ,…………………………………… 11 分 解得 t ? 3 . 综上所述,实数 t 的值为 ?1 或 3 .…………………………………… 12 分 18. 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d , ∵ a2 ? 2, a4 ? 2a6 ? 16 ,
?a ? d ? 2 ∴? 1 ,………………………………………………………2 分 ?a1 ? 3d ? 2(a1 ? 5d ) ? 16

解得 a1 ? 1, d ? 1 ,……………………………………………………………………4 分 ∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n , ∴数列 {an } 的通项公式为 an ? n .…………………………………………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 bn ? an ? 2an ? n ? 2n ,…………………………………………7 分 ∴ Sn ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn
? (1 ? 21 ) ? (2 ? 22 ) ? ??? ? (n ? 2n )

? (1 ? 2 ? ??? ? n) ? (21 ? 22 ? ??? ? 2n ) ……………………………………………8 分

?

(1 ? n)n 2(1 ? 2n ) ……………………………………………………………10 分 ? 2 1? 2 1 1 ? n2 ? n ? 2n?1 ? 2. 2 2

1 1 ∴数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? n ? 2n?1 ? 2. …………………………………12 分 2 2 19.解: (Ⅰ)∵ ?ABC 为等边三角形,且 AC=2 ,
∴ S?ABC ? 3. ………………………………………1 分 ∵ EB ? 平面 ABC , BE ? 3 …………………2 分 ∴三棱锥 A ? BCE 的体积:
VA? BCE ? VE ? ABC

…………………………………3 分

1 ? ? S?ABC ? BE ? 1 …………………………4 分 3 (II)证明:取 AC 的中点 O,连结 DO、BO,………5 分 ∵ ?ACD 为等边三角形,且 AC=2 ,
∴ DO ? AC, DO= 3, …………………………………………………………6 分
平面ACD 平面ABC=AC, ∵ 平面ACD ? 平面ABC, ∴ DO ? 平面ABC, ………………………………7 分

∵ EB ? 平面 ABC , BE ? 3 ∴ BE // DO , DO ? BE ,…………………………8 分 ∴ 四边形BODE为平行四边形, ………………………9 分 ∴ DE // BO ,………………………………………10 分 又 DE ? 平面ABC,BO ? 平面ABC, ∴ DE//平面ABC. …………………………………12 分 20.解: (Ⅰ)∵ a ? (1, ? 3) , b ? (sin x, cos x) , ∴ f ( x) ? a ? b = sin x ? 3 cos x ,…………………………………………………1 分 ∵ f (? ) ?? 0 ,即 sin ? ? 3 cos? ? 0 ∴ tan ? ? 3 ,……………………………………………………………………2 分

2cos2


?
2

? sin ? ? 1

2 sin(? ? ) 4

?

?

cos? ? sin ? 1 ? tan ? 1 ? 3 ? ? ?2 ? 3. …………6 分 ? sin ? ? cos? tan ? ? 1 3 ?1

π (Ⅱ) f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) ,……………………………………7 分 3 π π 2π ∵ x ? [0, π] ,∴ x ? ?[? , ] ,…………9 分 3 3 3
当x? 当x?

π π ? ? 即 x ? 0 时, f ( x)min ? ? 3 ,……………………………………10 分 3 3 π π 5π 时, f ( x)max ? 2 ,………………………………………11 分 ? 即x? 3 2 6

∴当 x ? [0, π] 时,函数 f ( x) 的值域为 [? 3,2]. ………………………………12 分 21.解:(Ⅰ)依题意可知:观测区域边界曲线是以 A,B 为焦点的椭圆,…………2 分 x2 y 2 设椭圆方程为: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , y 北 a b D
?2a ? 40 ? 则 ?2c ? 20 ,……………………4 分 ? 2 2 2 ?a ? b ? c

A O

B C

x y

解得 a ? 20, b ? 10 3 ,……………………5 分

x2 y2 ? ? 1 .………………………………6 分 400 300 (Ⅱ)设轮船在观测区域内航行的时间为 t 小时,航线与区域边界的交点为 C 、 D ,
∴观测区域边界曲线的方程为: ∵ C (20,0) , kCD ? tan135? ? ?1 , ∴直线 CD 方程: y ? ? x ? 20. …………………………………………………7 分
? y ? ? x ? 20 ? 联立方程 ? x 2 ,整理得: 7 x2 ? 160 x ? 400 ? 0 ,…………………8 分 y2 ? ? 1 ? ? 400 300

20 ………………………………………………………………9 分 7 20 120 24 ? 2 ? 24 ∴ t ? ∴ CD ? 2 ? 20 ? ? 3 (小时)……………………11 分 7 7 8
解得 x1 ? 20, x2 ? . ∴轮船大约在当日上午 10 时离开观测区域. …………………………………12 分 22.解法一:(Ⅰ) f ( x) ? e ? bx , f ?( x) ? e ? b ,…………………………………1 分
x x

曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线平行于 x 轴,? f ?(0) ? 0 ,………2 分 即 1 ? b ? 0 , ? b ? 1 .……………………………4 分 (Ⅱ)依题意得,不等式 e x ? bx ? 0 即 b ? 设 g ( x) ?

ex 在 (0, ??) 恒成立;………………5 分 x

ex ex ( x ? 1) ( x ? 0) ,则 g ?( x) ? ,……………6 分 x x2

当 x ? (0,1) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, g ?( x) ? 0 ,

? 函数 g ( x) 在 (0,1) 单调递减,在 (1, ??) 单调递增,…………………………7 分 ? x ? (0, ??) , g ( x)min ? g (1) ? e ,……………………………………………8 分 ? b ? e .? 实数 b 的取值范围为 (??, e] .……………………9 分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 b ? e 时, ?x ? (0, ??) , f ( x) ? e x ? ex ? 0 (当且仅当 x ? 1 时等号成立)

? x ? (0, ??), ex ? ex ,…………………………………10 分
(当且仅当 x ? 1 时等号成立) ………………11 分 ? ln e x ? ln ex ,即 x ? 1 ? ln x ,

n n n ? 1 ? ln , (n ? N *) ,则 , n ?1 n ?1 n ?1 1 2 n 1 2 n ? (1 ? ln ) ? (1 ? ln ) ? ? (1 ? ln ) ,…………12 分 ? ? ? ? 2 3 n ?1 2 3 n ?1 1 2 n 又(1 ? ln ) ? (1 ? ln ) ? ? (1 ? ln ) 2 3 n ?1 1 2 n 1 ? n ? ln( ? ? ? ) ? n ? ln …………………………………13 分 2 3 n ?1 n ?1
设x?

? n ? ln(n ? 1)
1 2 n ? ? n ? ln(n ? 1) , (n ? N * ) .…………………………………14 分 2 3 n ?1 解法二:(Ⅰ) 同解法一

? ? ?

(Ⅱ)

f ( x) ? ex ? bx , f ?( x) ? e x ? b ,…………………………………………5 分

若 b ? 0 ,则 f ?( x) ? e x ? b ? 0 ,当 x ? (0, ??) 时恒成立,
? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,? f ( x) ? f (0) ? 1 ? 0 满足题意.………………………6 分

若 b ? 0 ,由 f ?( x) ? e x ? b ? 0, 解得 x ? ln b , 当 x ? (0,ln b] , f ?( x) ? 0 , x ? (ln b, ??) , f ?( x) ? 0 ,

? 函数 g ( x) 在 (0,ln b] 单调递减,在 (ln b, ??) 单调递增,………………………7 分
? x ? 0 时,? f ( x) ? f (ln b) ? eln b ? b ln b ? b ? b ln b ? 0 ,解得 b ? e
? 0 ? b ? e .……………………………8 分 综上所述,实数 b 的取值范围为 (??, e] .………………………………………9 分


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