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2012-2013学年第一学期概率论期末考试试卷(A卷)答案


2012~2013 学年第一学期 概率论期末考试试卷(A 卷)答案

1

一. (本题满分 10 分) 设甲,乙,丙三枚导弹向同一目标射击.已知甲,乙,丙三枚导弹 击中目标的概率分别为 0 .4 , 0.5 , 0 .7 .如果只有一枚导弹击中目标, 目标被摧毁的概率为 0 .2 ;如果只有两枚导弹击中目标,目标被摧毁的 概率为 0 .6 ;如果三枚导弹全击中目标,目标被摧毁的概率为 0 .9 .⑴ 求目标被摧毁的概率(5 分) .⑵ 已知目标被摧毁,求恰有两枚导弹击 中目标的概率(5 分) .
2

解:

⑴ 设 A1 ? “甲导弹命中目标” , A2 ? “乙导弹命中目标” , . A3 ? “丙导弹命中目标”

B1 ?“恰有 1 枚导弹命中目标” ,B2 ?“恰有 2 枚导弹命中
目标” ,

B3 ? “3 枚导弹都命中目标” .
C ? “目标被摧毁” .
3

则有 所以,

B1 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ,

P?B1 ? ? P?A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? ? P?A1 A2 A3 ? ? P?A1 A2 A3 ? ? P?A1 A2 A3 ? ? P? A1 ?P?A2 ?P?A3 ? ? P?A1 ?P? A2 ?P?A3 ? ? P?A1 ?P?A2 ?P? A3 ?
? 0.4 ? ?1 ? 0.5? ? ?1 ? 0.7? ? ?1 ? 0.4? ? 0.5 ? ?1 ? 0.7? ? ?1 ? 0.4? ? ?1 ? 0.5? ? 0.7
? 0.4 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.7

? 0.36 .
4

又有 所以,

B2 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ,

P?B2 ? ? P?A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? ? P?A1 A2 A3 ? ? P?A1 A2 A3 ? ? P?A1 A2 A3 ? ? P? A1 ?P? A2 ?P?A3 ? ? P? A1 ?P?A2 ?P? A3 ? ? P?A1 ?P? A2 ?P? A3 ?
? 0.4 ? 0.5 ? ?1 ? 0.7? ? 0.4 ? ?1 ? 0.5? ? 0.7 ? ?1 ? 0.4? ? 0.5 ? 0.7
? 0.4 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.7 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.7

? 0.41 .
5

又有 所以,

B3 ? A1 A2 A3 ,

P?B3 ? ? P? A1 A2 A3 ? ? P? A1 ?P? A2 ?P? A3 ?
? 0.4 ? 0.5 ? 0.7

? 0.14 .
6

因此,由全概率公式,得

P?C ? ? ? P?Bi ?P?C Bi ?
3 i ?1

? 0.36 ? 0.2 ? 0.41 ? 0.6 ? 0.14 ? 0.9 ? 0.444 .

7

⑵ 所求概率为 P?B2 C ? .

P?B2 C ? ?

P?B2 ?P?C B2 ? P?C ?

0.41? 0.6 ? ? 0.554054054 . 0.444

8

二. (本题满分 10 分) 一仓库中储藏 20 桶饮料,现已知其中有 5 桶因保管不善 被污染了. 若从中任意取出 8 桶, 记 X 为取出的 8 桶中被污染 的桶数, 求: ⑴ 随机变量 X 的分布列 (5 分) ; ⑵ 随机变量 X 的数学期望 E? X ? (5 分) .

9

解:

X 的取值为 0, 1, 2, 3, 4, 5 .并且
0 8 1 7 C5 C15 C5 C , P? X ? 1? ? 8 15 ? 0.25542, P? X ? 0? ? 8 ? 0.05108 C20 C20 6 3 5 C52C15 C5 C P? X ? 2? ? 8 ? 0.39732, P? X ? 3? ? 8 15 ? 0.23839, C20 C20

10

4 C54C15 P? X ? 4? ? 8 ? 0.05418, C20

5 3 C5 C P? X ? 5? ? 8 15 ? 0.00361 . C20

由此得 X 的分布列为
X
P

0
0.05108

1

2

3 0.23839

4

5 0.00361

0.25542

0.39732

0.05418

11

E ? X ? ? ? k ? P? X ? k ?
k ?0

5

? 0 ? 0.05108 ? 1? 0.25542 ? 2 ? 0.39732 ? 3 ? 0.23839 ? 4 ? 0.05418 ? 5 ? 0.00361

? 2.

12

三. (本题满分 10 分) 设某种设备的使用寿命 X (单位:年)服从指数分布, 其平均寿命为 6 年. 生产此设备的厂家规定, 如果设备在两年 内损坏,则可予以调换.如果生产厂家每售出一台该设备,可 获利润 20000 元,而调换一台该设备,生产厂家需花费 8000 元.试求每台设备的平均利润.

13

X 的密度函数为
x ?1 ? 6 ? e f ?x ? ? ? 6 ? ?0

x?0 . x?0

再设 Y 是所获利润,则有

?20000 X ? 2 , Y ? Y ?X ? ? ? ?? 8000 X ? 2
14

因此有

E?Y ? ? E?Y ? X ?? ? ? Y ?x ? f X ?x ?dx
??

??

1 1 ? ? ?? 8000? ? e dx ? ? 20000? e dx 6 6 0 2
? ?

2

x 6

??

x 6

? 8000? e

x 2 ? 6 0

? 20000? e

x ?? ? 6 2

1 ? ? ?1 ? 3 ? ? 20000? e 3 ? 12062 ? 8000? ? e ? 1 .8767. ? ? ? ?
15

四. (本题满分 10 分) 某 地 区 成 年 男 子 的 体 重 X ( 以 kg 计 ) 服 从 正 态 分 布

N ? , ? 2 .若已知
P? X ? 70? ? 0.5 , P? X ? 60? ? 0.25 ,
⑴ 求 ? 与 ? 的值; ⑵ 如果在该地区随机抽取 5 名成年男子,求至少有两个人的体重 超过 65 kg 的概率.
16

?

?

解:

? X ? ? 70 ? ? ? ? 70 ? ? ? ? ⑴ 由已知 P? X ? 70? ? P? ? ? ?? ? ? 0.5 , ? ? ? ? ? ? ? ? X ? ? 60 ? ? ? ? 60 ? ? ? P? X ? 60? ? P? ? ? ? ?? ? ? 0.25 ? ? ? ? ? ? ?
? ? 70 ? ? ? ? ? 70 ? ? ? ? ? 0 . 5 ?? ? ? ? ? 0.5 ? ? ? ? ? ? ? ? 得? ? .即 ? ? , 60 ? ? ? ? 60 ? ? ? ?1 ? ?? ? ? 1 ? 0 . 25 ? 0 . 75 ? ? ? ?? ? ? 0.75 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? 70 ? ? ? ? ?0 查正态分布表,得 ? ,解方程组,得 ? ? 70 , ? ? 14.81 . 60 ? ? ?? ? 0.675 ? ?
17

⑵ 设 A ?“从该地区任意选取一名成年男子, 其体 重超过 65 kg ” .则

? X ? 70 65 ? 70 ? P? X ? 65? ? 1 ? P? X ? 65? ? 1 ? P? ? ? 14.81 ? ? 14.81 ? X ? 70 ? ? 1 ? P? ? ?0.3376? ? 14.81 ?

? ? ??0.3376? ? 0.6631. ? 1 ? ??? 0.3376
18

设 X :该地区随机抽取的 5 名成年男子中体重超过 65 kg 的人数. 则 X ~ B?5, 0.6631 ?. 设 B ? “5 人中至少有两人的体重超过 65 kg . 则

P?B? ? P? X ? 2? ? 1 ? P? X ? 1? ? 1 ? P? X ? 0? ? P? X ? 1?
0 0 5 1 1 4 1 ? C5 ? 0.6631 ? 0.3369 ? C5 ? 0.6631 ? 0.3369 ? 0.9530.

(已知 ??0.675? ? 0.75, ??0.34? ? 0.6631)

19

五. (本题满分 10 分) 设随机变量 ? X , Y ? 的联合密度函数为

f ?x,

y? ?

1 2??

e 2

?

x2 ? y2 2? 2

, ?? ? ? x ? ??,

? ? ? y ? ??? .

又 X ? U cosV , Y ? U sin V ,求随机变量 ?U , V ? 的联合密度函数 g ?u,

v?

及 U 与 V 各自的边际密度函数 gU ?u ? 与 gV ?v ?.并判断 U 与 V 是否相互独立.

20

解:

令 x ? u cosv,

y ? u sin v ,则

?x ??x, y ? ?u ? ??u, v ? ?y ?u

?x ?v ? cos v ?y sin v ?u

? u sin v ? u cos2 v ? u sin 2 v ? u . u cos v

当 X 与 Y 都在区间 ?? ?, ? ?? 上变化时, U 在区间 ?0, ? ?? 上 变化, V 在区间 ?0, 2? ? 上变化.因此 ?U , V ? 的联合密度函数 为
21

g ?u, v ? ? f ?u c o v s, u s i n v??
u 2??
2 ? u2 2? 2

? ? x, y ? ??u, v ?
0 ? v ? 2? ? .
0 ? v ? 2? 其它

?

e


2

?0 ? u ? ??,

?u ?u2 ? e 2? gU ?u ? ? ?? 2 ? 0 ?

? 1 u ? 0 , g ?v ? ? ? ? 2? V ? u?0 ? 0



由于对于任意的 ?u, v ?, 有 g ?u, v? ? gU ?u ?gV ?v? , 所以随机变量
U 与 V 相互独立.
22

六. (本题满分 10 分) 设随机变量 X 与 Y 的分布列分别为

X
P

0

1
p

Y
P

0

1
q

1? p

1? q

其中 0 ? p ? 1, 0 ? q ? 1 .证明:如果 X 与 Y 不相关,则 X 与 Y 相互独立

23

解:

因为 X 与 Y 不相关,所以 cov? X , Y ? ? 0 , 即 E? XY ? ? E? X ?E?Y ? .而 X ~ B?1,

p ? 与 Y ~ B?1, q ? .所以

E? X ? ? P? X ? 1? , E?Y ? ? P?Y ? 1? , E? XY ? ? P? XY ? 1? ? P? X ? 1, Y ? 1? .
所以由 P? X ? 1, Y ? 1? ? E? XY ? ? E? X ?E?Y ? ? P? X ? 1?P?Y ? 1? , 知随机事件 A ? ?X ? 1? 与 B ? ?Y ? 1?相互独立.

24

因此随机事件 A ? ?X ? 0?与 B ? ?Y ? 1?、随机事件 A ? ?X ? 1? 与

B ?? Y ? 0?、随机事件 A ? ?X ? 0?与 B ? ? Y ? 0?也相互独立.


P? X ? 0, Y ? 1? ? P?A B? ? P?A ?P?B? ? P? X ? 0?P?Y ? 1? , P? X ? 1, Y ? 0? ? P?AB ? ? P? A?P?B ? ? P? X ? 1?P?Y ? 0? , P? X ? 0, Y ? 0? ? P?A B ? ? P?A ?P?B ? ? P? X ? 0?P?Y ? 0? .

因此,随机变量 X 与 Y 相互独立.

25

七. (本题满分 10 分) 某射手对同一目标进行射击,每次射击的命中率均为 p ,

?0 ? p ? 1?. 射击直至命中目标时为止. 令 X 表示射击次数. 试
用重期望公式,求 E? X ? 与 E X

? ?.
2

26

解:

标 ?1 如果第一次射击命中目 令Y ? ? . 目标 ?0 如果第一次射击未命中
则 P?Y ? 1? ? p , P?Y ? 0? ? 1 ? p . 则由重期望公式,得

E? X ? ? E?E?X Y ?? ? P?Y ? 0?E?X Y ? 0? ? P?Y ? 1?E?X Y ? 1? ,
而 E?X Y ? 1? ? 1 , E?X Y ? 0? ? E? X ? 1? ? 1 ? E? X ? , 所以有

E? X ? ? ?1 ? p ??1 ? E? X ?? ? p ?1 .
27

解方程,得 E ? X ? ?

1 . p

又 E ?X 2 ? ? E E X 2 Y ? P?Y ? 0?E X 2 Y ? 0 ? P?Y ? 1?E X 2 Y ? 1 , 而 E X 2 Y ? 1 ? 1 , E X 2 Y ? 0 ? E ? X ? 1? ? 1 ? E ?X 2 ? ? 2 E ? X ? ,
2

??

??

?

?

?

?

?

?

?

?

所以有

? 2? 2 ? E X 2 ? ?1 ? p ? 1 ? E X 2 ? 2 E ? X ? ? p ?1 ? ?1 ? p ?? 1 ? E X ? ? p. ? ? p? ?

? ?

?

? ?

?

? ?

解方程,得 E X

? ?
2

2? p ? 2 . p

28

八. (本题满分 5 分) 设 ?X n ?是独立同分布的随机变量序列, X 1 的分布列为
k ? ? 1 2 k P ? X 1 ? ?? 1? ?? k , k? 2 ?

?k ? 1,

2, 3, ?? .

试问,随机变量序列 ?X n ?是否服从大数定律?

29

解:

由于级数
k k k k ? ? ? ? ? ? 2 2 ? 1 2 1 1 k ?? 1? ? P ? X1 ? 2 ? ? ? ? k ? ? ? ?? , ? k k ? k ?1 k 2 k ?1 k ?1 k ? ?

因此数学期望 E? X1 ? 不存在. 所以, 由独立同分布场合下的大数定律, 知随机变量序列 ?X n ? 不服从大数定律.
30

九. (本题满分 7 分) 设随机变量 X 服从参数为 ? 的 Poisson 分布, 其中 ? ? 0 . 求 随机变量 X 的特征函数 ? ?t ? (4 分) , 并利用特征函数 ? ?t ? 求 X 的 数学期望 E? X ? (3 分) .

31

解:

X 的分布列为 P? X ? k ? ?

?k
k!

e?? , ?k ? 0, 1, 2, ?? .

所以, X 的特征函数为

? ?t ? ? E ?e

itX

? ? ? e P? X ? k ? ? ? e
? itk ? k ?0 k ?0

itk

?

k

k!

e

??

?e

??

?
k ?0

?

??e ?
k!

it k

? e? ? ? e x p ?eit ? e x p ?eit ? ? ? e x p ? eit ? 1 .

? ?

?

?

??

??

32

由于

???t ? ? exp? ? ?eit ? 1??? i?eit .
? ??0?
i i? ? ??. i

所以, E ? X ? ?

33

十. (本题满分 8 分) 设某汽车销售店每天售出的汽车数服从参数为 ? ? 2 的 Poisson 分布,如果该店一年 365 天都经营汽车销售,而且每天 销售出的汽车数是相互独立的.求用中心极限定理计算,在一年 中该销售店至少销售出 700 辆以上汽车的概率.

34

解:

设 X i :一年第 i 天的汽车销售量, ?i ? 1, 2, ?, 365? . 则 X1, X 2 , ?, X 365 独立同分布, 而且 X 1 服从参数 ? ? 2 的 Piossn 分布. 所以, E? X i ? ? 2 , var? X i ? ? 2 .

?X
i ?1

365

i

表示该汽车销售店一年 365 天售出的汽车数.因此

35

? 365 ? X ? 365 ? 2 ? ? ? i 365 700 ? 365? 2 ? ? ? i ?1 ? P? ? X i ? 700? ? 1 ? P ? ? 365? 2 365? 2 ? ? i ?1 ? ? ? ? ? ? 365 ? ? ? X i ? 365? 2 ? ? 1 ? P? i ?1 ? ?1.11? ? 1 ? ??? 1.11? ? ??1.11? ? 0.8665. ? ? 365? 2 ? ? ? ?

36

十一. (本题满分 10 分) ⑴ 设 ?X n ?是一随机变量序列, X 是一随机变量,叙述随机变量序列 ?X n ?依 概率收敛于随机变量 X 的定义. ⑵ 设随机变量序列 ?X n ?独立同分布, X 1 的密度函数为

?e ? ? x ? a ? f ?x ? ? ? ?0
令 Yn ? min?X1, 时, Yn ? a .
P

x?a . x?a

X 2 , ?, X n ? .按照“依概率收敛”定义证明:当 n ? ?

37

解:

⑴ 设 ?X n ?是一个随机变量, X 是一个随机变量,如 果对于任意给定的 ? ? 0 ,有
n ??

lim P? X n ? X ? ? ? ? 0 ,

则称随机变量序列 ?X n ?依概率收敛于随机变量 X .

38

⑵ X 1 的分布函数为

?1 ? e? ? x ? a ? F ?x ? ? ? f ?t ?dt ? ? ?0 ??
x

x?a . x?a

所以,当 x ? a 时,有

P?Yn ? x? ? P?min? X1 , X 2 , ?, X n ? ? x? P?Yn ? x? ? P ? P? X1 ? x, X 2 ? x, ?, X n ? x,?
? ? P? X i ? x ? ? ?1 ? F ?x ?? ? e? n? x ? a ? .
n i ?1
39

n

所以,对于任意给定的 ? ? 0 ,有

P? Yn ? a ? ? ? ? P?Yn ? a ? ? ? ? P?Yn ? a ? ?? ? ? P?Yn ? a ? ? ?
? e? n??a ?? ?? a ? ? e? n? ? 0 , ?n ? ?? .
P 所以,由依概率收敛的定义,知 Yn ? ?? a.

40


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