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高中数学经典例题—点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

高中数学经典例题-点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 I.题源探究·黄金母题 【例 1】已知过点 M (?3, ?3) 的直线 l 被圆 精彩解读 【试题来源】人教版 A 版必修二 P127 例 2. 【母题评析】本题根据直线与圆相交所得 弦长求相关参数直线方程,体现逆向思维 的应用,方程思想的应用. 【思路方法】本题解答时主要是利用圆心 到直线的距离 d 、圆的半径 r 、弦长 L 之 间的勾股关系 L2 ? 2 r 2 ? d 2 ,通过建立 方程来解决. ∴圆心到直线 l 的距离为 x2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 ,求直线 l 的方 程. 【解析】将圆的方程写成标准形式,得 x2 ? ( y ? 2)2 ? 25 , ∴圆心的坐标是 (0, ?2) ,半径 r ? 5 . 设直线 l 的方程为 y ? 3 ? k ( x ? 3) ,即 kx ? y ? 3k ? 3 ? 0 , d? | 2 ? 3k ? 3 | k ?1 2 ? 52 ? ( 4 5 2 1 ) ? 5 ,解得 k ? ? 或 2 2 1 k ? 2 ,∴直线 l 的方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 3) 或 2 y ? 3 ? 2( x ? 3) ,即 x ? 2 y ? 9 ? 0 或 2 x ? y ? 3 ? 0 . 【 例 2 】 已 知 圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 , 圆 C2 : 【试题来源】人教版 A 版必修二 P129 例 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 ,试判断圆 C1 与圆 C2 的位置关 3. 系. 【 解 析 】 解 法 一 : 圆 C1 与 圆 C2 的 方 程 联 立 得 到 方 程 组 【母题评析】本题判断已知方程的两个圆 的位置关系,解答时用直接法求出两圆圆 心距的大小,然后与两圆的半径和与差进 行比较来解答的.对于高考对两圆位置关 ? x ? y ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0, ? ? 2 2 ? ? x ? y ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0. 2 2 ① ② ③ ①-②得 x ? 2 y ? 1 ? 0 , 由 ③ 得 y? 1? x . 把 上 式 代 入 ① 并 整 理 得 系考查难度不大前提下,此类题具有较强 2 的代表性,命题人常常以此为母题加以改 造命制新的高考试题. 【思路方法】本题解答主要是利用几何法 判断两个圆的位置关系,即直接法求出两 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 .④ 方程④的判别式 ? ? ? ?2 ? ? 4 ? 1? ? ?3? ? 16 ? 0 , 2 所以方程④有两个不等的实数根,即圆 C1 与圆 C2 相交. 解 法 二 : 把 圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 , 圆 C2 : x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 , 化 为 标 准 方 程 , 得 圆圆心距的大小,然后与两圆的半径和与 ? x ? 1? 2 ? ? y ? 4 ? ? 25 与 ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 10 . 2 2 2 差进行比较. 圆 C1 的圆心是点 ? ?1, ?4? ,半径长 r1 ? 5 ; 圆 C2 的圆心是点 ? 2, 2 ? ,半径长 r2 ? 10 . 圆 C1 与 圆 C2 的 连 心 线 的 长 为 ( ?1 ? 2) 2 ? ( ?4 ? 2) 2 ? 3 5 , 圆 C1 与圆 C2 的半径长之和为 r 1 ?r 2 ? 5 ? 10 ,半径长之差 为r 1 ?r 2 ? 5 ? 10 . 而 5 ? 10 ? 3 5 ? 5 ? 10 ,即 r 1 ?r 2 ?3 5 ?r 1 ?r 2, 所以圆 C1 与圆 C2 相交,它们有两个公共点 A、B . II.考场精彩·真题回放 【例 1】【2017 高考江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中,点 A? ?12,0? , B ? 0,6? ,点 P 在圆 O : x ? y ? 50 2 2 【命题意图】本类题主要考查点与圆、直 线与圆、圆与圆位置关系,以及考查逻辑 思维能力、运算求解能力、数形结合的能 力、方程思想的应用. 【考试方向】这类试题考查根据给定直 上.若 PA ? PB? 20 ,则点 P 的横坐标的取值范围 是 . ??? ? ??? ? ? 【答案】 ? ? ?5 2,1? 【解析】不妨设 P ? x0 , y0 ? ,则 x ? y ? 50 ,且易知 2 0 2 0 线、圆方程判断点与圆、直线与圆、圆与 ? x0 ? ? ? ?5 2,5 2 ? . ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 因为 PA ? PB ? AP ? BP ? ? x0 ?12, y0 ? ? ? x0 , y0 ? 6? ? 2 2 x0 ? 12x0 ? y0 ? 6 y0 ? 50 ? 12 x0 ? 6 y0? 20 ,故 圆的位置关系,同时考查通过数形结合思 想、充分利用圆的几何性质解决圆的切 线、圆的弦长等问题.在考查形式上,主 要要以选择题、填空题为主,也有时会出 现在解答题中,中档题. 2 2 2 x0 ? y0 ? 5? 0 . 所以点 P ? x0 , y0 ? 在圆 O : x ? y ? 50 上,且在直线 【难点中心】 1.直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法:由圆心到直线的距离 d 与半 径长 r 的大小关系来判断. 若 d ? r ,则直线与圆相离; 2 x ? y ? 5 ? 0 的左上方(含直线).联立 ? x ? y ? 50 ,得 x1 ? ?5 , x2 ? 1 ,如图所示,结合 ? ?2 x ? y ? 5 ? 0 2 2 ? 图形知 x0 ? ? ?

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