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高中数学经典例题—点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系


高中数学经典例题-点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 I.题源探究·黄金母题 【例 1】已知过点 M (?3, ?3) 的直线 l 被圆 精彩解读 【试题来源】人教版 A 版必修二 P127 例 2. 【母题评析】本题根据直线与圆相交所得 弦长求相关参数直线方程,体现逆向思维 的应用,方程思想的应用. 【思路方法】本题解答时主要是利用圆心 到直线的距离 d 、圆的半径 r 、弦长 L 之 间的勾股关系 L2 ? 2 r 2 ? d 2 ,通过建立 方程来解决. ∴圆心到直线 l 的距离为 x2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 ,求直线 l 的方 程. 【解析】将圆的方程写成标准形式,得 x2 ? ( y ? 2)2 ? 25 , ∴圆心的坐标是 (0, ?2) ,半径 r ? 5 . 设直线 l 的方程为 y ? 3 ? k ( x ? 3) ,即 kx ? y ? 3k ? 3 ? 0 , d? | 2 ? 3k ? 3 | k ?1 2 ? 52 ? ( 4 5 2 1 ) ? 5 ,解得 k ? ? 或 2 2 1 k ? 2 ,∴直线 l 的方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 3) 或 2 y ? 3 ? 2( x ? 3) ,即 x ? 2 y ? 9 ? 0 或 2 x ? y ? 3 ? 0 . 【 例 2 】 已 知 圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 , 圆 C2 : 【试题来源】人教版 A 版必修二 P129 例 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 ,试判断圆 C1 与圆 C2 的位置关 3. 系. 【 解 析 】 解 法 一 : 圆 C1 与 圆 C2 的 方 程 联 立 得 到 方 程 组 【母题评析】本题判断已知方程的两个圆 的位置关系,解答时用直接法求出两圆圆 心距的大小,然后与两圆的半径和与差进 行比较来解答的.对于高考对两圆位置关 ? x ? y ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0, ? ? 2 2 ? ? x ? y ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0. 2 2 ① ② ③ ①-②得 x ? 2 y ? 1 ? 0 , 由 ③ 得 y? 1? x . 把 上 式 代 入 ① 并 整 理 得 系考查难度不大前提下,此类题具有较强 2 的代表性,命题人常常以此为母题加以改 造命制新的高考试题. 【思路方法】本题解答主要是利用几何法 判断两个圆的位置关系,即直接法求出两 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 .④ 方程④的判别式 ? ? ? ?2 ? ? 4 ? 1? ? ?3? ? 16 ? 0 , 2 所以方程④有两个不等的实数根,即圆 C1 与圆 C2 相交. 解 法 二 : 把 圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 , 圆 C2 : x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 , 化 为 标 准 方 程 , 得 圆圆心距的大小,然后与两圆的半径和与 ? x ? 1? 2 ? ? y ? 4 ? ? 25 与 ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 10 . 2 2 2 差进行比较. 圆 C1 的圆心是点 ? ?1, ?4? ,半径长 r1 ? 5 ; 圆 C2 的圆心是点 ? 2, 2 ? ,半径长 r2 ? 10 . 圆 C1 与 圆 C2 的 连 心 线 的 长 为 ( ?1 ? 2)

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