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线面垂直、面面垂直知识点总结、经典例题及解析、高考题练习及答案


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直线、平面垂直的判定与性质
【考纲说明】
1、能够认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。 2、能够运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。

【知识梳理】
一、直线与平面垂直的判定与性质 1、 直线与平面垂直 (1)定义:如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面 α 互相垂直,记作 l ⊥α,直线 l 叫做平面 α 的垂线,平面 α 叫做直线 l 的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 (2)判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 结论:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面,记作. (3)性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。即 a ? ? , b ? ? ? a / /b . 由定义知:直线垂直于平面内的任意直线。 2、 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面,该 直线与平面所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,则此直线与平面所成的角是 0 的角。 3、 二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角 的面。如果记棱为 l ,那么两个面分别为 ?、? 的二面角记作 ? ? l ? ? .在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足, 在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。其作用是衡量二面角的大 小;范围: 0 ? ? ? 180 .
0 0

a / /b ? ??b ?? a ???

0

二、平面与平面垂直的判定与性质 1、定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直. 2、 判定: 一个平面过另一个平面的垂线, 则这两个平面垂直。 简述为“线面垂直, 则面面垂直”, 记作

l ? ?? ? ?? ? ? . l ???

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? ?? ? ? ? ? ? l? ? 3、性质:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直,记作 ??m? ? . m ?? ?
m?l ? ?

【经典例题】
【例 1】 (2012 浙江文)设 l 是直线,a,β 是两个不同的平面 A.若 l ∥a, l ∥β,则 a∥β B.若 l ∥a, l ⊥β,则 a⊥β C.若 a⊥β, l ⊥a,则 l ⊥β D.若 a⊥β, l ∥a,则 l ⊥β 【答案】B ( )

【解析】利用排除法可得选项 B 是正确的,∵ l ∥a, l ⊥β,则 a⊥β.如选项 A: l ∥a, l ∥β 时, a⊥β 或 a∥β;选项 C:若 a⊥β, l ⊥a, l ∥β 或 l ? ? ;选项 D:若若 a⊥β, l ⊥a, l ∥β 或 l ⊥β. 【例 2】 (2012 四川文)下列命题正确的是 A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C ( )

【解析】若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以 A 错;一个平 面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故 B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面 可以平行,也可以垂直;故 D 错;故选项 C 正确. 【例 3】 (2012 山东)已知直线 m、n 及平面 α,其中 m∥n,那么在平面 α 内到两条直线 m、n 距离相等的点的集 合可能是:①一条直线;②一个平面;③一个点;④空集.其中正确的是 ( ) A.①②③ B.①④ C.① ②④ D.②④ 【答案】C 【解析】如图 1,当直线 m 或直线 n 在平面 α 内时有可能没有符合题意的点;如图 2,直线 m、n 到已知平面 α 的 距离相等且所在平面与已知平面 α 垂直,则已知平面 α 为符合题意的点;如图 3,直线 m、n 所在平面与已知平面 α 平行,则符合题意的点为一条直线,从而选 C.

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中国教育培训领军品牌 【例 4】 (2012 四川理)如图,在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, M 、 N 分别是 CD 、CC1 的 1 中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是____________. 【答案】90? 【解析】方法一:连接 D1M,易得 DN⊥A1D1 ,DN⊥D1M, 所以,DN⊥平面 A1MD1, 又 A1M ? 平面 A1MD1,所以,DN⊥A1D1,故夹角为 90? 方法二:以 D 为原点,分别以 DA, DC, DD1 为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系 D—xyz.设正方体边长为 2,则 D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A1(2,0,2) 故, DN ? 0,2,1 MA ? 2, 1,2) ( ), 1 ( ? 所以,cos< ? DN, 1 ? ? MA
A A1 D1 B1 N D M B C C1

DN ? MA1 = 0,故 DN⊥D1M,所以夹角为 90? | DN || MA1 |

【例 5】 2012 大纲理) ( 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等, ?BAA ? ?CAA ? 60? ,则异面直线 AB1 1 1 与 BC1 所成角的余弦值为_____________.

【答案】

6 6

【解析】设该三棱柱的边长为 1,依题意有 AB1 ? AB ? AA , BC1 ? AC ? AA ? AB , 1 1
2 2 则 | AB1 | ? ( AB ? AA1 ) ? AB ? 2 AB ? AA1 ? AA1 ? 2 ? 2 cos 60? ? 3

???? ??? ???? ???? ??? ???? ??? ? ? ? ?

????

??? ???? ?

??? 2 ?

??? ???? ???? 2 ?

???? ? ???? ???? ??? ? ???? 2 ???? 2 ??? 2 ? ???? ???? ???? ??? ? ???? ??? ? | BC1 |2 ? ( AC ? AA1 ? AB) 2 ? AC ? AA1 ? AB ? 2 AC ? AA1 ? 2 AC ? AB ? 2 AA1 ? AB ? 2
而 AB1 ? BC1 ? ( AB ? AA ) ? ( AC ? AA ? AB) 1 1

???? ???? ?

??? ???? ?

??? ???? ??? ? ?

??? ???? ??? ???? ??? ??? ???? ???? ???? ???? ???? ??? ? ? ? ? ? ? AB ? AC ? AB ? AA1 ? AB ? AB ? AA1 ? AC ? AA1 ? AA1 ? AA1 ? AB 1 1 1 1 ? ?1? ?1? ? 1 2 2 2 2 ???? ???? ? ???? ???? ? AB1 ? BC1 1 6 ? ? cos ? AB1 , BC1 ?? ???? ???? ? ? 6 | AB1 || BC1 | 2? 3 ?
【例 6】 (2011· 福建)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上,若 EF∥平 面 AB1C,则线段 EF 的长度等于________.

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【答案】 2 【解析】∵EF∥面 AB1C,∴EF∥AC. 又 E 是 AD 的中点,∴F 是 DC 的中点. 1 ∴EF= AC= 2. 2 【例 7】 (2012 年山东文)如图,几何体 E ? ABCD 是四棱锥,△ ABD 为正三角形, CB ? CD, EC ? BD . (1)求证: BE ? DE ; (2)若∠ BCD ? 120? ,M 为线段 AE 的中点, 求证: DM ∥平面 BEC .

【解析】 (1)设 BD 中点为 O,连接 OC,OE,则由 BC ? CD 知 CO ? BD , 又已知 CE ? BD ,所以 BD ? 平面 OCE. 所以 BD ? OE ,即 OE 是 BD 的垂直平分线,所以 BE ? DE . (2)取 AB 中点 N,连接 MN , DN ,∵M 是 AE 的中点,∴ MN ∥ BE , ∵△ ABD 是等边三角形,∴ DN ? AB .由∠BCD=120° 知,∠CBD=30° , 所以∠ABC=60° +30° =90° BC ? AB ,所以 ND∥BC, ,即 所以平面 MND∥平面 BEC,又 DM ? 平面 MND,故 DM∥平面 BEC. 另证:延长 AD, BC 相交于点 F ,连接 EF.因为 CB=CD, ?ABC ? 90 .
0

因为△ ABD 为正三角形,所以 ?BAD ? 60 , ?ABC ? 90 ,则 ?AFB ? 30 ,
0 0
0

所以 AB ?

1 AF ,又 AB ? AD , 2

所以 D 是线段 AF 的中点,连接 DM, 又由点 M 是线段 AE 的中点知 DM // EF , 环球雅思 www.ielts.com.cn
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中国教育培训领军品牌 而 DM ? 平面 BEC, EF ? 平面 BEC,故 DM∥平面 BEC. 【例 8】 (2011 天津)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形∠ADC=45° ,AD=AC=1,O 为 AC 的中点,PO⊥平面 ABCD,PO=2,M 为 PD 的中点.

(1)证明:PB∥平面 ACM; (2)证明:AD⊥平面 PAC; (3)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值. 【解析】 (1)证明:连接 BD,MO,在平行四边形 ABCD 中,因为 O 为 AC 的中点,所以 O 为 BD 的中点.又 M 为 PD 的中点,所以 PB∥MO.因为 PB?平面 ACM,MO?平面 ACM,所以 PB∥平面 ACM. (2)证明:因为∠ADC=45° ,且 AD=AC=1,所以∠DAC=90° ,即 AD⊥AC,又 PO⊥平面 ABCD,AD?平面 ABCD, 所以 PO⊥AD.而 AC∩PO=O,所以 AD⊥平面 PAC. 1 (3)取 DO 中点 N,连接 MN,AN.因为 M 为 PD 的中点,所以 MN∥PO,且 MN= PO=1.由 PO⊥平面 ABCD,得 2 1 5 MN⊥平面 ABCD,所以∠MAN 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角,在 Rt△DAO 中,AD=1,AO= ,所以 DO= , 2 2 1 5 从而 AN= DO= .在 Rt△ANM 中, 2 4 MN 1 4 5 4 5 tan∠MAN= = = ,即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为 . AN 5 5 5 4 【例 9】 (2012 湖南文)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD. (1)证明:BD⊥PC; (2)若 AD=4,BC=2,直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30° ,求四棱锥 P-ABCD 的体积.
P

A

D

E B

C

PA ? BD . 【解析】 (1)因为 PA ? 平面ABCD, BD ? 平面ABCD , 所以
又 AC ? BD, PA, AC 是平面 PAC 内的两条相较直线,所以 BD ? 平面 PAC, 环球雅思 www.ielts.com.cn
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中国教育培训领军品牌 而 PC ? 平面 PAC,所以 BD ? PC . (2)设 AC 和 BD 相交于点 O,连接 PO,由(Ⅰ)知,BD ? 平面 PAC, 所以 ?DPO 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角,从而 ?DPO ? 30? . 由 BD ? 平面 PAC, PO ? 平面 PAC,知 BD ? PO . 在 Rt POD 中,由 ?DPO ? 30? ,得 PD=2OD. 因为四边形 ABCD 为等腰梯形, AC ? BD ,所以 从而梯形 ABCD 的高为

?

? AOD,? BOC 均为等腰直角三角形,

1 1 1 AD ? BC ? ? (4 ? 2) ? 3, 于是梯形 ABCD 面积 2 2 2

1 S ? ? (4 ? 2) ? 3 ? 9. 2
在等腰三角形 AOD 中, OD ? 所以 PD ? 2OD ? 4 2, PA ?

2 , AD ? 2 2, 2

PD2 ? AD2 ? 4.
1 1 ? S ? PA ? ? 9 ? 4 ? 12 . 3 3

故四棱锥 P ? ABCD 的体积为 V ?

【例 10】 (2012 新课标理)如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC ? (1)证明: DC1 ? BC (2)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小. 【解析】 (1)在 Rt ?DAC 中, AD ? AC 得: ?ADC ? 45
?

1 AA1 , D 是棱 AA 的中点, DC1 ? BD 1 2

同理: ?A DC1 ? 45? ? ?CDC1 ? 90? 1 得: DC1 ? DC, DC1 ? BD ? DC1 ? 面 BCD ? DC1 ? BC (2) DC1 ? BC, CC1 ? BC ? BC ? 面 ACC1 A ? BC ? AC 1 取 A1B1 的中点 O ,过点 O 作 OH ? BD 于点 H ,连接 C1O, C1H

AC1 ? B1C1 ? C1O ? A1B1 ,面 A1B1C1 ? 面 A1BD ? C1O ? 面 A1BD 1 OH ? BD ? C1H ? BD 得:点 H 与点 D 重合
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中国教育培训领军品牌 且 ?C1DO 是二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角 设 AC ? a ,则 C1O ?

2a , C1D ? 2a ? 2C1O ? ?C1DO ? 30? 2
?

既二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30

【课堂练习】
1. (2012 浙江理)已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2 .将 ? ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻着,在翻着过程 中 A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直 2. (2012 四川理)下列命题正确的是 ( ) A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 3. (2011 重庆)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( ) A.只有 1 个 B.恰有 3 个 C.恰有 4 个 D.有无穷多个 4. (2012 上海)已知空间三条直线 l,m,n 若 l 与 m 异面,且 l 与 n 异面,则 ( ) A.m 与 n 异面. B.m 与 n 相交. C.m 与 n 平行. D.m 与 n 异面、相交、平行均有可能. 5. (2011 烟台)已知 m,n 是两条不同的直线,α,β 为两个不同的平面, 有下列四个命题:①若 m⊥α,n⊥β, m⊥n, 则 α⊥β;②若 m∥α,n∥β,m⊥n,则 α∥β;③若 m⊥α,n∥β,m⊥n,则 α∥β;④若 m⊥α,n∥β,α∥β, 则 m⊥n. 其中正确命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6. (2011 潍坊)已知 m、n 是两条不同的直线,α、β、γ 是三个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A.若 α⊥γ,α⊥β,则 γ∥β B.若 m∥n,m? α,n? β,则 α∥β C.若 m∥n,m∥α,则 n∥α D.若 n⊥α,n⊥β,则 α∥β 7.(2010 全国卷文)直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,若 ?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA1 ,则异面直线 BA1 与 AC1 所 成的角等于( A.30° ) B.45° C.60° 环球雅思 D.90° www.ielts.com.cn
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中国教育培训领军品牌 8.(2010 全国卷)正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,B B1 与平面 AC D1 所成角的余弦值为( )

A.

2 3

B.

3 3

C.

2 3

D.

6 3


9.(2010 全国Ⅱ卷理)已知正四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 2 3 ,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为( A.1 B. 3 ) B. C.2 D.3

10.(2010 全国Ⅰ卷)已知在半径为 2 的球面上有 A.B.C.D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最 大值为( A.

2 3 3

4 3 3

C. 2 3

D.

8 3 3

11.(2010 江西理)过正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的顶点 A 作直线 L,使 L 与棱 AB , AD , AA1 所成的角都相等, 这样的直线 L 可以作( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

12.(2012 大纲)已知正方形 ABCD ? A B1C1D1 中, E , F 分别为 BB1 , CC1 的中点,那么异面直线 AE 与 D1F 所成角 1 的余弦值为___ _. 13.(2010 上海文)已知四棱椎 P ? ABCD 的底面是边长为 6 的正方形,侧棱 PA ? 底面 ABCD ,且 PA ? 8 ,则 . 该四棱椎的体积是 14.(2010 四川卷)如图,二面角 ? ? l ? ? 的大小是 60° ,线段 AB ? ? . .则 B ? l , AB 与 l 所成的角为 30° AB 与平面 ? 所成的角的正弦值是 15.(江西卷文)长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的顶点均在同一个球面上, .

?
?
B

?A
?

A B? A1A 1 , ?
A1 C1 A C D1 E D

BC ? 2 ,则 A , B 两点间的球面距离为
16.(2010 湖南理)如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中 B1 点。 (1)求直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值; (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F//平面 A1BE?证明你的结论。 B

? ? 17. 2012 四川文)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, ?APB ? 90 , ?PAB ? 60 , AB ? BC ? CA ,点 P 在平面 ABC 内的 (

射影 O 在 AB 上. (1)求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小; (2)求二面角 B ? AP ? C 的大小.

P C

A
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8

B

中国教育培训领军品牌 18.(2012 陕西文)直三棱柱 ABC- A1B1C1 中,AB=A A1 , ?CAB = (1)证明 CB1 ? BA1 ;[ (2)已知 AB=2,BC= 5 ,求三棱锥 C1 ? ABA1 的体积.

? 2

19.(2012 课标文)如图,三棱柱 ABC ? A B C 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90° ,AC=BC= 1 1 1 AA1,D 是棱 AA1 的中点. (1)证明:平面 BDC1 ⊥平面 BDC1 (2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

1 2

20.(2012 福建文)如图,在长方体 ABCD ? A B C D 中, AB ? AD ? 1, AA ? 2, M 为棱 1 1 1 1 1

DD1 上的一点.
(1)求三棱锥 A ? MCC1 的体积; (2)当 A M ? MC 取得最小值时,求证: B1M ? 平面 MAC . 1

【课后作业】
1.(2012 大纲全国)已知正四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中, AB ? 2, CC1 ? 2 2, E 为 CC1 的中点,则直线 AC1 与 1 平面 BED 的距离为( A.2 B. ) C.

3

2

D. 1

2.(2010 湖北文)用 a 、 b 、 c 表示三条不同的直线, y 表示平面,给出下列命题: ①若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ; ②若 a ⊥ b , b ⊥ c ,则 a ⊥ c ; ③若 a ∥ y , b ∥ y ,则 a ∥ b ; ④若 a ⊥ y , b ⊥ y ,则 a ∥ b . 其中正确的是( ) 环球雅思 www.ielts.com.cn
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中国教育培训领军品牌 A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 3. (2011 日照)若 l、m、n 为直线,α、β、γ 为平面,则下列命题中为真命题的是( ) A.若 m∥α,m∥β,则 α∥β B.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n C.若 α⊥γ,β⊥γ,则 α⊥β D.若 α⊥β,l? α,则 l⊥β 4. (2011 山东)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AA1、AB 的中点,则 EF 与对角面 BDD1B1 所成角的度 数是( ) A.30° B.45° C.60° D.150° 5. (2010 全国Ⅱ卷) 已知三棱锥 S ? ABC 中, 底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形,SA 垂直于底面 ABC ,SA =3, 那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为( A. )

3 4


B.

5 4

C.

7 4

D.

3 4

6.(2010 重庆卷理)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的 轨迹是( A.直线 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线

7.(2009 四川)如图,已知六棱锥 P ? ABCDEF 的底面是正六边形,

PA ? 平面ABC, PA ? 2 AB 则下列结论正确的是(
A. PB ? AD B. 平面PAB ? 平面PBC C. 直线 BC ∥ 平面PAE D. 直线 PD与平面ABC 所成的角为 45°



8.(2008 海南宁夏)已知平面 α⊥平面 β,α∩β= l,点 A∈α,A ? l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直线 m∥α,m∥β, 则下列四种位置关系中,不一定成立的是( ) ... A. AB∥m B. AC⊥m C. AB∥β D. AC⊥β 9.(2007 江苏)已知两条直线 m, n ,两个平面 ? , ? ,给出下面四个命题: ① m // n, m ? ? ? n ? ? ③ m // n, m // ? ? n // ? ② ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n ④ ? // ? , m // n, m ? ? ? n ? ?

其中正确命题的序号是( ) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 10. ( 2011 全 国 ) 已 知 直 二 面 角 ? ? l ? ? , 点 A ?? , AC ? l , C 为 垂 足 , B ? ? , BD ? l , D 为 垂 足 , 若

AB ? 2, AC ? BD ? 1,则 D 到平面 ABC 的距离等于 (
A.

) D. 1 )

2 3

B.

3 3

C.

6 3

11.(2009 浙江)设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是( 环球雅思 www.ielts.com.cn
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中国教育培训领军品牌 A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? / / ? ,则 l ? ? B.若 l / /? , ? / / ? ,则 l ? ? D.若 l / /? , ? ? ? ,则 l ? ?

12.(2010 上海)各棱长为 1 的正四棱锥的体积 V=____________。 13.下面给出四个命题: ①若平面 α∥平面 β,AB,CD 是夹在 α,β 间的线段,若 AB∥CD,则 AB=CD; ②a,b 是异面直线,b,c 是异面直线,则 a,c 一定是异面直线 ③过空间任一点,可以做两条直线和已知平面 α 垂直; ④平面 α∥平面 β,P∈α,PQ∥β,则 PQ? α; 其中正确的命题是________(只填命题号) . 14.(2009 江苏)设 ? 和 ? 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 ? 内的两条相交直线分别平行于 ? 内的两条直线,则 ? 平行于 ? ;

(2)若 ? 外一条直线 l 与 ? 内的一条直线平行,则 l 和 ? 平行; (3)设 ? 和 ? 相交于直线 l ,若 ? 内有一条直线垂直于 l ,则 ? 和 ? 垂直; (4)直线 l 与 ? 垂直的充分必要条件是 l 与 ? 内的两条直线垂直。 上面命题中,真命题的序号 (写出所有真命题的序号). w. ... 15.已知 α,β,γ 是三个不同的平面,命题“α∥β,且 α⊥γ? β⊥γ”是真命题,如果把 α,β,γ 中的任意两个换成直 线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有________个. 16. (2012 重庆文)已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? 4 , AC ? BC ? 3 , D 为 AB 的 中点. (1)求异面直线 CC1 和 AB 的距离; (2)若 AB1 ? AC ,求二面角 A1 ? CD ? B1 的平面角的余弦值. 1 17.(2009 山东) 如图, 在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中, 底面 ABCD 为等腰梯形, AB//CD, AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A (1) 设 F 是棱 AB 的中点,证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 证明:平面 D1AC⊥平面 BB1C1C.
1

D
1

C
1

F1 D E C

B
1

E1 A

B F 18. (2008 山东)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ∥ DC ,△PAD 是等边三角形, 已知 BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 2DC ? 4 5 . (Ⅰ)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ? 平面 PAD ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积. D A P M C B

19. (2011 北京)如图,在四面体 P-ABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D,E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; 环球雅思 www.ielts.com.cn
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中国教育培训领军品牌 (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由.

20. (2012 天津理)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA 丄平面 ABCD , AC 丄 AD , AB 丄 BC , ?ABC =45 ,
0

PA=AD =2 , AC =1 . (1)证明 PC 丄 AD ; (2)求二面角 A ? PC ? D 的正弦值;
(3)设 E 为棱 PA 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30 ,求 AE 的长.
0

P

B A C

D

【参考答案】
【课堂练习】 1-11、BCDDB 12、90? 13、96 14、 DCDABD

3 4

? 3 2 16、 , 存在 3
15、 17、

39 , arctan 2 13
2 3
又∵ DC1 ? 面 ACC1 A ,∴ DC1 ? BC , 1

18、

19、(1)设知 BC⊥ CC1 ,BC⊥AC, CC1 ? AC ? C ,∴ BC ? 面 ACC1 A , 1 由题设知 ?A DC1 ? ?ADC ? 450 ,∴ ?CDC1 = 90 ,即 DC1 ? DC , 1
0

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中国教育培训领军品牌 又∵ DC ? BC ? C , ∴面 BDC ⊥面 BDC1 ; (2) 1 : 1 20、(1) ∴ DC1 ⊥面 BDC , ∵ DC1 ? 面 BDC1 ,

1 3

(2) 将侧面 CDD1C1 绕 DD1 逆时针转动 90° 展开,与侧面 ADD1 A 共面.当 A1 ,M,C 共线时, 1

A1M +MC 取得最小值 AD=CD=1 , AA1 =2 得 M 为 DD1 的中点连接 M C1 在 ? MCC1 中, MC1 =MC= 2 , CC1 =2,
∴ CC12 = MC12 + MC 2 , ∴∠ CMC1 =90° ,CM⊥ MC1 , ∵ B1C1 ⊥平面 CDD1C1 ,∴ B1C1 ⊥CM ∵AM∩MC=C

∴CM⊥平面 B1C1M ,同理可证 B1M ⊥AM ∴ B1M ⊥平面 MAC 【课后作业】 1-11、DCBAD DDDCCC 12、

2 6

13、①④ 14、(1)(2) 15、2 16、 5,

1 3
D1 A1 C1 B1 D E A F B

17、 (1)在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,取 A1B1 的中点 F1, 连接 A1D,C1F1,CF1,因为 AB=4, CD=2,且 AB//CD, 所以 CDA1F1 为平行四边形,所以 CF1//A1D, 又因为 E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点,所以 EE1//A1D, 所以 CF1//EE1,又因为 EE1 ? 平面 FCC 1 , CF1 ? 平面 FCC 1 , 所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 . (2)连接 AC,在直棱柱中,CC1⊥平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD, 所以 CC1⊥AC,因为底面 ABCD 为等腰梯形,AB=4, BC=2, F 是棱 AB 的中点,所以 CF=CB=BF,△BCF 为正三角形, ?BCF ? 60? ,△ACF 为等腰三角形,且 ?ACF ? 30? 所以 AC⊥BC, 又因为 BC 与 CC1 都在平面 BB1C1C 内且交于点 C, 所以 AC⊥平面 BB1C1C,而 AC ? 平面 D1AC, 所以平面 D1AC⊥平面 BB1C1C. 环球雅思 www.ielts.com.cn
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E1

C

中国教育培训领军品牌 18、 (1)在 △ ABD 中, 由于 AD ? 4 , BD ? 8 , AB ? 4 5 , 所以 AD ? BD ? AB .
2 2 2

故 AD ? BD . 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD ,

BD ? 平面 ABCD , 所以 BD ? 平面 PAD , 又 BD ? 平面 MBD , 故平面 MBD ? 平面 PAD . 1 (2) VP ? ABCD ? ? 24 ? 2 3 ? 16 3 3
19、 (1)证明:因为 D,E 分别为 AP、AC 的中点, 所以 DE∥PC.

又因为 DE?平面 BCP, 所以 DE∥平面 BCP. (2)证明:因为 D,E,F,G 分别为 AP,AC,BC,PB 的中点, 所以 DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF,[来源:学+科+网 Z+X+X+K] 所以四边形 DEFG 为平行四边形. 又因为 PC⊥AB, 所以 DE⊥DG. 所以四边形 DEFG 为矩形. (3)存在点 Q 满足条件,理由如下: 连接 DF,EG,设 Q 为 EG 的中点. 1 由(2)知,DF∩EG=Q,且 QD=QE=QF=QG= EG, 2 分别取 PC,AB 的中点 M,N,连接 ME,EN,NG,MG,MN. 1 与(2)同理,可证四边形 MENG 为矩形,其对角线交点为 EG 的中点 Q,且 QM=QN= EG. 2 所以 Q 为满足条件的点. 20、 (1)以 AD, AC, AP 为 x, y, z 正半轴方向,建立空间直角左边系 A ? xyz 则 D(2, 0, 0), C (0,1, 0), B(?

???? ??? ??? ? ?

1 1 , , 0), P(0, 0, 2) 2 2 ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? PC ? (0,1, ?2), AD ? (2,0,0) ? PC?AD ? 0 ? PC ? AD
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(3) AE ?

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