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高中数学必修1-5公式大全


必修 2:一、直线与圆 1、斜率的计算公式:k = tanα = (α ≠ 90°,x 1≠x 2) 2、直线的方程(1)斜截式 y = k x + b,k 存在 ; (2)点斜式 y – y 0 = k ( x – x 0 ) ,k 存 在; (3)两点式 () ;4)截距式 () (5)一般式 l1:y = k1 x + b1 l2:y = k 2 x + b2 l1: A1 x + B1 y + C1 = 0 l2: A2 x + B2 y + C2 = 0 重合 k1= k 2 且 b1= b2

平行 k1= k 2 且 b1≠ b2

垂直 k1 k 2 = – 1 A1 A2 + B1 B2 = 0 3、两条直线的 位置关系:

4、两点间距离公式:设 P1 ( x 1 , y 1 ) 、P 2 ( x 2 , y 2 ),则 | P1 P2 | = 5、点 P ( x 0 , y 0 )到直线 l :A x + B y + C = 0 的距离: 7、圆的方程 圆的方程 圆心 半径 标准方程 x 2+ y 2= r 2 (0,0) r

(x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = r 2 (a,b) r 一般方程 x 2 + y 2 +D x + E y + F = 0

8.点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种若,则 点在圆外;点在圆上;点在圆内. 9.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为 d) 直线与圆的位置关系有三种: ;;. 10.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, ; ; ; ; . 11.圆的切线方程 (1)已知圆. ①若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是 . 当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程. ②过圆外一点的切线方程可设为,再利用相切条件求 k,这时必有两条切线,注意不要漏掉 平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为,再利用相切条件求 b,必有两条切线. (2)已知圆. ①过圆上的点的切线方程为; ②斜率为的圆的切线方程为 二、立体几何 (一) 、线线平行判定定理:1、平行于同一条直线的两条直线互相平行。 2、垂直于同一平面的两直线平行。3、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面 和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。 4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (二) 、线面平行判定定理 1、若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 2、若两个平面平行,则其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。 (三) 、面面平行判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 (四) 、线线垂直判定定理:

若一直线垂直于一平面,则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。 (五) 、线面垂直判定定理 1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。 2、如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 (六) 、面面垂直判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 (七) .证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. (八) .证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. (九) .证明平面与平面平行的思考途径(1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. (十) .证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)利用三垂线定理或逆定理; (十一) .证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (十二) .证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 三、空间几何体 (一) 、正三棱锥的性质 1、底面是正三角形,若设底面正三角形的边长为 a,则有 图形 外接圆半径 内切圆半径 面积 正三角形

2、正三棱锥的辅助线作法一般是: 作 PO⊥底面 ABC 于 O,则 O 为△ABC 的中心,PO 为棱锥的高, 取 AB 的中点 D,连结 PD、CD,则 PD 为三棱锥的斜高,CD 为△ABC 的 AB 边上的高, 且点 O 在 CD 上。∴△POD 和△POC 都是直角三角形,且∠POD =∠POC = 90° (二) 、正四棱锥的性质 1、底面是正方形,若设底面正方形的边长为 a,则有

图形 外接圆半径 内切圆半径 面积 正方形

OB = OA = S=a2 2、正四棱锥的辅助线作法一般是: 作 PO⊥底面 ABCD 于 O,则 O 为正方形 ABCD 的中心, PO 为棱锥的高,取 AB 的中点 E,连结 PE、OE、OA, 则 PE 为四棱锥的斜高, 点 O 在 AC 上。 ∴△POE 和△POA 都是直角三角形,且∠POE =∠POA = 90° (三) 、长方体 长方体的一条对角线长的平方等于这个长方体的长、宽、高的平方和。 特殊地,若正方体的棱长为 a ,则这个正方体的一条对角线长为 a 。 (四) 、正方体与球 1、设正方体的棱长为 a,它的外接球半径为 R1,它的内切球半径为 R2,则 (五)几何体的表面积体积计算公式 1、圆柱: 表面积:2π +2π Rh 体积:π R2h 2、圆锥: 表面积:π R2+π RL 体积: π R2h/3 (L 为母线长) 3、圆台:表面积: 体积:V=π h(R2+Rr+r2)/3 4、球:S 球面 = 4π R2 V 球 = π R3 (其中 R 为球的半径) 5、正方体: a-边长, S=6a2 ,V=a3 6、长方体 a-长 ,b-宽 ,c-高 S=2(ab+ac+bc) V=abc 7、棱柱:全面积=侧面积+2X 底面积 V=Sh 8、棱锥:全面积=侧面积+底面积 V=Sh/3 9、棱台:全面积=侧面积+上底面积+下底面积 四、三视图 1.投影:把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影。 把在一束平行光线照射下形成的投影, 称为平行投影。 平行投影按照投射方向是否正对着投 影面,可以分为斜投影和正投影两种。 2、光线从几何体的前面向后面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的正视图(也叫 主视图);光线从几何体的上面向下面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的俯视图; 光线从几何体的左面向右面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的侧视图(或左视图) 3、 “长对正,高平齐,宽相等”是三视图之间的投影规律,是画图和读图的重要依据. 画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线表示, 不能看见的轮廓线和棱用虚线表示。 必修 3: 第一章 算法初步 1、算法概念:在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问 题是程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成. 2、构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称

功能

起止框 表示一个算法的起始和结束,是任何流程图不可少的。

输入、输出框 表示一个算法输入和输出的信息,可用在算法中任何需要输入、输出的位置。

处理框 赋值、 计算, 算法中处理数据需要的算式、 公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。

判断框 判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明“是”或“Y” ;不成立时标明“否”或“N” 。 3、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。(结构图请看教材) 4、 (1) 、辗转相除法:用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数,继 续做上面的除法,直到大数被小数除尽,这个较小的数就是最大公约数。 (2) 、更相减损术。以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数 减小数。 继续这个操作, 直到所得的数相等为止, 则这个数 (等数) 就是所求的最大公约数。 (3)进位制 ①以 k 为基数的 k 进制换算为十进制: ②十进制换算为 k 进制:除以 k 取余,倒序排列 第二章 统计 1.总体和样本:在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体. 把每个研究对象叫做个体.把总体中个体的总数叫做总体容量. 为了研究总体的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分: , , , 研究,我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量. 2、简单随机抽样,也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全随 机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同。 (总体个数较少) 3、简单随机抽样常用的方法: (1)抽签法;⑵随机数表法;⑶计算机模拟法; 4、系统抽样(等距抽样) :把总体的单位进行排序,再计算出抽样距离,然后按照这一固定 的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。 (总体个数较多) K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模) 5、分层抽样:先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类 型或层次, 然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系统抽样的办法抽取一个子样本, 最后,将这些子样本合起来构成总体的样本。先以分层变量将总体划分为若干层,再按照各 层在总体中的比例从各层中抽取。 (总体中差异明显)

6、总体分布的估计:⑴一表二图:①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注:总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。 ⑵茎叶图:①茎叶图适用于数据较少的情况,从中便于看出数据的分布,以及中位数、众位 数等。 ②个位数为叶,十位数为茎,右侧数据按照从小到大书写,相同的数重复写。 7、用样本的数字特征估计总体的数字特征(s 为标准差) (1) 、平均值: (2) 、 8、两个变量的线性相关(1) 、概念:(1)回归直线方程: (2)回归系数: , (3) .应用直线回归时注意:回归分析前,最好先作出散点图; 第三章 概率 一、概念 1、事件:试验的每一种可能的结果,用大写英文字母表示; (1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件; 2、古典概型:⑴基本事件:一次试验中可能出现的每一个基本结果; ⑵古典概型的特点:基本事件可列举;每个基本事件都是等可能发生 ⑶概率计算公式:一次试验的等可能基本事件共有 n 个,事件 A 包含了其中的 m 个基本事 件,则事件 A 发生的概率 3、几何概型:⑴特点:①所有的基本事件是无限个;②每个基本事件都是等可能发生。 ⑵几何概型概率计算公式: 。 4、若 A∩B=ф ,即不可能同时发生的两个事件,那么称事件 A 与事件 B 互斥; 5、 若 A∩B 为不可能事件, A∪B 为必然事件, 即不能同时发生且必有一个发生的两个事件, 那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; 二、概率的基本性质:1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1; 2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于 是有 P(A)=1—P(B); 4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同 时发生,具体包括三种不同的情形: (1)事件 A 发生且事件 B 不发生; (2)事件 A 不发生 且事件 B 发生; (3)事件 A 与事件 B 同时不发生,而对立事件是指事件 A 与事件 B 有且仅 有一个发生,其包括两种情形; (1)事件 A 发生 B 不发生; (2)事件 B 发生事件 A 不发生, 对立事件是互斥事件的特殊情形。 五、解析几何 29、直线的五种方程 (1)点斜式 (直线过点,且斜率为). (2)斜截式 (b 为直线在 y 轴上的截距). (3)两点式 ()(、 ()). (4)截距式 (分别为直线的横、纵截距,) (5)一般式 (其中 A、B 不同时为 0). 30、两条直线的平行和垂直 若, ①;

②. 31、平面两点间的距离公式 32、点到直线的距离 (点,直线:). 33、 圆的三种方程 (1)圆的标准方程 . (2)圆的一般方程 (>0). (3)圆的参数方程 . 34、直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种: ; ;

(A,B).

. 弦长= 其中. 35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质 椭圆: , ,离心率,参数方程是. 双曲线:(a>0,b>0), ,离心率,渐近线方程是. 抛物线: ,焦点,准线。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离. 36、双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为渐近线方程:. (2)若渐近线方程为双曲线可设为. (3)若双曲线与有公共渐近线,可设为(,焦点在 x 轴上, ,焦点在 y 轴上). 37、抛物线的焦半径公式 抛物线焦半径.(抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。 ) 38、过抛物线焦点的弦长. 六、立体几何 39、证明直线与直线平行的方法 (1)三角形中位线 (2)平行四边形(一组对边平行且相等) 40、证明直线与平面平行的方法 (1)直线与平面平行的判定定理(证平面外一条直线与平面内的一条直线平行) (2)先证面面平行 41、证明平面与平面平行的方法 平面与平面平行的判定定理(一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行) 42、证明直线与直线垂直的方法 转化为证明直线与平面垂直 43、证明直线与平面垂直的方法 (1)直线与平面垂直的判定定理(直线与平面内两条相交直线垂直) (2)平面与平面垂直的性质定理(两个平面垂直,一个平面内垂直交线的直线垂直另一个 平面) 44、证明平面与平面垂直的方法 平面与平面垂直的判定定理(一个平面内有一条直线与另一个平面垂直) 45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆柱侧面积=,表面积=

圆椎侧面积=,表面积= (是柱体的底面积、是柱体的高). (是锥体的底面积、是锥体的高). 球的半径是,则其体积,其表面积. 46、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算 47、点到平面距离的计算(定义法、等体积法) 48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质:侧棱平行且相等,与底面垂直。 正棱锥的性质:侧棱相等,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。 七、概率统计 49、平均数、方差、标准差的计算 平均数: 方差: 标准差: 50、回归直线方程 ,其中. 51、独立性检验 52、古典概型的计算(必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来, 不重复、不遗漏)


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