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高中数学函数知识点梳理及其综合题练习

高中数学函数知识点梳理
① .函数的单调性 (1)设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? x1 ? x2 (2)设函数 y ? f (x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为减函数. 注: 如果函数 f (x) 和 g (x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 也是减 函 数 ; 如 果 函 数 y ? f (u ) 和 u ? g (x) 在 其 对 应 的 定 义 域 上 都 是 减 函 数 , 则 复 合 函 数 y ? f [ g ( x)] 是增函数.

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?



奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图 象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函 数是偶函数. 注:若函数 y ? f (x) 是偶函数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) ;若函数 y ? f ( x ? a) 是偶 函数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) . 注: 对于函数 y ? f (x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f (x) 的对称轴是 函数 x ?

a?b a?b ;两个函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ? 对称. 2 2 a 注 : 若 f ( x) ? ? f (? x ? a) , 则 函 数 y ? f (x) 的 图 象 关 于 点 ( ,0) 对 称 ; 若 2

f ( x) ? ? f ( x ? a) ,则函数 y ? f (x) 为周期为 2 a 的周期函数.
③ 多项式函数 P( x) ? an xn ? an?1xn?1 ? ?? a0 的奇偶性 多项式函数 P ( x) 是奇函数 ? P ( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x) 是偶函数 ? P ( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x )

? f (2a ? x) ? f ( x) .
(2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

? f (a ? b ? mx) ? f (mx) .
④ 两个函数图象的对称性

a?b 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx ) 2

(1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ?

a?b 对称. 2m

1

(3)函数 y ? f (x) 和 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y=x 对称. 25.若将函数 y ? f (x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图 象;若将曲线 f ( x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图 象. ⑤ 互为反函数的两个函数的关系

f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a .
27. 若 函 数 y ? f (kx ? b) 存 在 反 函 数 , 则 其 反 函 数 为 y ?

1 [f k

?1

( x ) ? b] , 并 不 是

y ? [ f ?1 (kx ? b) ,而函数 y ? [ f ?1 (kx ? b) 是 y ?
⑥ 几个常见的函数方程

1 [ f ( x ) ? b] 的反函数. k

(1)正比例函数 f ( x) ? cx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c . (2)指数函数 f ( x) ? a x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 . (3)对数函数 f ( x) ? loga x , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) . (4)幂函数 f ( x) ? x? , f ( xy) ? f ( x) f ( y), f ' (1) ? ? . (5)余弦函数 f ( x) ? cos x ,正弦函数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y) ,

f (0) ? 1, lim
x ?0

g ( x) ?1. x



几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f (x) 的周期 T=a; (2) f ( x) ? f ( x ? a) ? 0 ,

1 ( f ( x) ? 0) , f ( x) 1 或 f ( x ? a) ? ? ( f ( x) ? 0) , f ( x) 1 2 或 ? f ( x) ? f ( x) ? f ( x ? a ), ( f ( x) ? ? 0,1?) ,则 f (x) 的周期 T=2a; 2 1 ( f ( x) ? 0) ,则 f (x) 的周期 T=3a; (3) f ( x) ? 1 ? f ( x ? a) f ( x1 ) ? f ( x2 ) (4) f ( x1 ? x2 ) ? 且 f (a) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1,0 ?| x1 ? x2 |? 2a) , 则 1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) f (x) 的周期 T=4a; (5) f ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) ? f ( x ? 4a) ? f ( x) f ( x ? a) f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) f ( x ? 4a) ,则 f (x) 的周期 T=5a; (6) f ( x ? a) ? f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f (x) 的周期 T=6a.
或 f ( x ? a) ? ⑧ 分数指数幂 (1) a n ? (2) a
m ? n

m

1
n

?

a 1

m

( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ). ( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).
?

?

a

m n

2



根式的性质 (1) ( n a )n ? a . (2)当 n 为奇数时, n an ? a ; 当 n 为偶数时, n a n ?| a |? ?

? a, a ? 0 . ? ? a, a ? 0



有理指数幂的运算性质 (1) ar ? a s ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) . (2) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q) .

(3) (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? Q) . p 注:若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性 质,对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式

loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .
34.对数的换底公式

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a n n 推论 log a m b ? log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ). m log a N ?
? 对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ;

M ? log a M ? log a N ; N (3) loga M n ? n loga M (n ? R) .
(2) log a 注:设函数 f ( x) ? logm (ax2 ? bx ? c)(a ? 0) ,记 ? ? b ? 4ac .若 f (x) 的定义域为
2

R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 ;若 f (x) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要
单独检验. ? 对数换底不等式及其推论

1 ,则函数 y ? logax (bx) a 1 1 (1)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? logax (bx) 为增函数. a a 1 1 (2)(2)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? logax (bx) 为减函数. a a
若 a ? 0 ,b ? 0, x ? 0 , x ? 推论:设 n ? m ? 1, p ? 0 , a ? 0 ,且 a ? 1 ,则 (1) logm? p (n ? p) ? logm n . (2) log a m log a n ? log a
2

m?n . 2

导数知识点
3

知识要点
导数的概念 导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数

导 数

导数的运算 导数的运算法则 函数的单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值

1.导数的几何意义: 函数 y ? f (x) 在点 x 0 处的导数的几何意义就是曲线 y ? f (x) 在点 ( x 0 , f ( x)) 处的切线的斜率, 也 就 是 说 , 曲 线 y ? f (x) 在 点 P ( x 0 , f ( x)) 处 的 切 线 的 斜 率 是 f ' ( x0 ) , 切 线 方 程 为
y ? y 0 ? f ' ( x)( x ? x0 ).

2. 导数的四则运算法则:
(u ? v) ' ? u ' ? v ' ? y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ... ? f n ( x) ? y ' ? f1' ( x) ? f 2' ( x) ? ... ? f n' ( x)

(uv) ' ? vu ' ? v ' u ? (cv) ' ? c ' v ? cv ' ? cv ' ( c 为常数)
vu ' ? v ' u ?u? (v ? 0) ? ? ? v2 ?v?
'

3.函数单调性: ?函数单调性的判定方法:设函数 y ? f (x) 在某个区间内可导, 如果 f ' ( x) >0,则 y ? f (x) 为增函数; 如果 f ' ( x) <0,则 y ? f (x) 为减函数. ?常数的判定方法; 如果函数 y ? f (x) 在区间 I 内恒有 f ' ( x) =0,则 y ? f (x) 为常数. 4. 极值的判别方法: (极值是在 x 0 附近所有的点,都有 f (x) < f ( x 0 ) ,则 f ( x 0 ) 是函数 f (x)
4

的极大值,极小值同理) 当函数 f (x) 在点 x 0 处连续时, ①如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) >0,右侧 f ' ( x) <0,那么 f ( x 0 ) 是极大值; ②如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) <0,右侧 f ' ( x) >0,那么 f ( x 0 ) 是极小值. 也就是说 x 0 是极值点的充分条件是 x 0 点两侧导数异号,而不是 f ' ( x) =0 . 此外,函数不 可导的点也可能是函数的极值点 . 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确 定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同). 注①:若点 x 0 是可导函数 f (x) 的极值点, f ' ( x) =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数, 则 其一点 x 0 是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零. 例如:函数 y ? f ( x) ? x 3 , x ? 0 使 f ' ( x) =0,但 x ? 0 不是极值点. ②例如:函数 y ? f ( x) ?| x | ,在点 x ? 0 处不可导,但点 x ? 0 是函数的极小值点. 5. 极值与最值区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行 比较. 6. 几种常见的函数导数: I. C ' ? 0 ( C 为常数)
② ①

(sin x) ' ? cos x (cos x) ' ? ? sin x
(loga x) ' ? 1 loga e x

( x n ) ' ? nxn?1 ( n? R )
II. (ln x) ' ?
1 x

(e x ) ' ? e x

(a x ) ' ? a x ln a

5

函数练习试题
1 1. (2010 全国卷Ⅰ理) 函数 f ( x) 的定义域为 R, f ( x ?) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数, 若 则(
A. f ( x) 是偶函数 C. f ( x) ? f ( x ? 2) 2.(2010 浙江文)若函数 f ( x) ? x ?
2

)

B. f ( x) 是奇函数 D. f ( x ? 3) 是奇函数

a (a ? R) ,则下列结论正确的是( x



A. ?a ? R , f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数 B. ?a ? R , f ( x ) 在 (0, ??) 上是减函数 C. ?a ? R , f ( x ) 是偶函数 D. ?a ? R , f ( x ) 是奇函数 3. (2010 山东卷理)函数 y ?

e x ? e? x 的图像大致为( e x ? e? x
y y

).

y 1 O 1 x

y

1 O1 x

1 O 1 x O

1 1 D x

A

B
2

C ( )

4.(2009 安徽卷理)设 a <b,函数 y ? ( x ? a) ( x ? b) 的图像可能是

5.(2009 山东卷文)已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2] 上是增函数,则 A. f (?25) ? f (11) ? f (80) B. f (80) ? f (11) ? f (?25) ( ).

6

C. f (11) ? f (80) ? f (?25)

D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

6.(2009 陕西卷文)定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足:对任意的 x1 , x2 ?[0, ??)( x1 ? x2 ) , 有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 .则 x2 ? x1
B. f (1) ? f (?2) ? f (3) D. f (3) ? f (1) ? f (?2)

(

)

(A) f (3) ? f (?2) ? f (1) C. f (?2) ? f (1) ? f (3)

7. 2009 辽宁卷文) ( 已知偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ??) 单调增加, 则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是( (A) ( ) B.[

1 3

1 2 , ) 3 3

1 2 , ) 3 3

C.(

1 2 , ) 2 3

D.[

1 2 , ) 2 3
2

8.(2009 天津卷理)已知函数 f ( x ) ? ? 的取值范围是( )

? x 2 ? 4 x, ?4 x ? x ,
2

x?0 x?0

若 f (2 ? a ) ? f (a), 则实数 a

A (??, ?1) ? (2, ??)

B (?1, 2)

C (?2,1)

D (??, ?2) ? (1, ??) ) (D) c ? b ? a

9.(2009 全国卷Ⅱ文)设 a ? lg e, b ? (lg e)2 , c ? lg e, 则( (A) a ? b ? c (B) a ? c ? b (C) c ? a ? b

10.(2009 四川卷文)已知函数 f (x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意 实数 x 都有 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是( A. 0
2

5 2

) D.

B.

1 2

C. 1

5 2

11. 与抛物线 E : y ? ax 相切于坐标原点的最大的圆的方程为 (A) x ? ( y ? a) ? a
2 2
2

2

(B) x ? ( y ?
2
2

1 2 1 ) ? ( )2 a a
1 2 1 ) ? ( )2 4a 4a

1 ? ? 1 ? ? (C) x ? ? y ? ? ?? ? 2a ? ? 2a ? ?
2

(D) x ? ( y ?
2

12.(2009 重庆卷文)把函数 f ( x) ? x ? 3x 的图像 C1 向右平移 u 个单位长度,再向下平移
3

v 个单位长度后得到图像 C2 .若对任意的 u ? 0 ,曲线 C1 与 C2 至多只有一个交点,则 v
的最小值为( )

7

A. 2

B. 4

C. 6
x

D. 8 .

13.(2009 重庆卷理)若 f ( x) ?

1 ? a 是奇函数,则 a ? 2 ?1

14.(2009 山东卷理)已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2] 上 是 增 函 数 , 若 方 程 f(x)=m(m>0) 在 区 间 ?? 8,8? 上 有 四 个 不 同 的 根 x1 , x2 , x3 , x4 , 则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________.
15.(2009 四川卷)设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合,对于映射 f : V ? V , a ?V ,记

a 的 象 为 f (a ) 。 若 映 射 f : V ? V 满 足 : 对 所 有 a、b ? V 及 任 意 实 数 ? , ? 都 有
f (? a ? ? b) ? ? f ( a) ? ? f ( b,则 f 称为平面 M 上的线性变换。现有下列命题: )
①设 f 是平面 M 上的线性变换, a、b ? V ,则 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ②若 e 是平面 M 上的单位向量,对 a ?V , 设f (a) ? a ? e ,则 f 是平面 M 上的线性变 换; ③对 a ?V , 设f (a) ? ?a ,则 f 是平面 M 上的线性变换; ④设 f 是平面 M 上的线性变换, a ?V ,则对任意实数 k 均有 f (ka) ? kf (a) 。 其中的真命题是 (写出所有真命题的编号)

16.已知函数 f ( x ) 的定义域为 ??15? ,部分对应值如下表, ,

f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 的图象如图所示.
下列关于函数 f ( x ) 的命题: ① 函数 y ? f ( x) 是周期函数; ② 函数 f ( x ) 在 ?0, 是减函数; 2?
第 16 题图

③ 如果当 x ?? ?1, t ? 时, f ( x ) 的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④ 当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ( x) ? a 有 4 个零点. 其中真命题有 ▲ . 17. 已知 f (x) 是定义在 [-1, 上的奇函数且 f (1) ? 1 , x1 、 2 ? 1] 当 1]且 x [-1, , x1 ? x2 ? 0 时,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,若 f ( x) ? m 2 ? 2am ? 1 对所有 x ? [?1,1] 、 a ? [?1,1] 恒成立, x1 ? x2
.

则实数 m 的取值范围是
8

18. (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? ae ?
x

1 ? b(a ? 0) ae x

(I)求 f ( x ) 在 [0, ??) 上的最小值; (II)设曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y ?

3 x ;求 a , b 的值。 2

19. 本小题满分 12 分) f ( x) 是定义在实数集 R 上的奇函数, x ? 0 时, f ( x) ? ? x2 ? 4 x . ( 设 当 (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式,并解不等式 f ( x )≥x ;

4] 5] (Ⅱ)设 g ( x) ? 2x ?1 ? m ,若对任意 x1 ?[?1, ,总存在 x2 ? [2, ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实 数 m 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分) 已 知 二 次 函 数 f ( x) ? x2 ? 2bx ? c(b, c ? R) 满 足 f (1) ? 0 , 且 关 于 x 的 方 程

f ( x) ? x ? b ? 0 的
两个实数根分别在区间 (?3,?2), (0,1) 内. (Ⅰ)求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)若函数 F ( x) ? logb f ( x) 在区间 (?1 ? c,1 ? c) 上具有单调性,求实数 c 的取值范围.

2014 届高考数学专题复习 导数及其应用
1、若函数 y ? e ? 3x( x, a ? R) 有大于零的极值点;则 a ?(
ax



( A) (? 3 ,? ? ) ( B ) (? ?, ?3 ) (C ) (?
2

1 , ? ?) 3
x

1 ( D) (? ?, ? ) 3

2、已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax , g ( x) ? 2 ,若在 [0, 2] 上至少存在点 x0 , x1 ,使得

f ( x0 ) ? g ( x1 ) ? 1成立;求实数 a 的取值范围。

9

20. (本小题满分 12 分)已知 x ? 3 是函数 f ( x) ? a ln( ? x) ? x 2 ? 10x 的一个极值点 1 ?求 a ; ?求函数 f (x ) 的单调区间; ?若直线 y ? b 与函数 y ? f (x) 的图像有 3 个交点,求 b 的取值范围 20. (本小题满分 12 分) 已知 f (x) 是二次函数,f ?(x) 是它的导函数, 且对任意的 x ? R ,f ?( x) ? f ( x ? 1) ? x 2 恒成立. (Ⅰ)求 f (x) 的解析表达式; (Ⅱ)设 t ? 0 ,曲线 C : y ? f (x) 在点 P(t , f (t )) 处的切线为 l , l 与坐标轴围成的三 角形面积为 S (t ) .求 S (t ) 的最小值.

3 21. 本大题满分 12 分) ( 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 1 ,g ( x) ? f ( x)? ? ax ? 5 , 其中 f ?(x )

是的导函数 ?对满足 ? 1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有 g ( x) ? 0 ,求实数 x 的取值范围; ?设 a ? ?m , 当实数 m 在什么范围内变化时, 函数 y ? f (x) 的图象与直线 y ? 3 只有
2

一个公共点

10

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? 2bx2 ? cx ? 2 的图象在与 x 轴交点处的切线 方程是 y ? 5x ? 10 ?求函数 f (x ) 的解析式; ?设函数 g ( x) ? f ( x ) ?

1 mx ,若 g (x) 的极值存在,求实数 m 的取值范围以及函数 3

g (x) 取得极值时对应的自变量 x 的值

2 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 4 ,设曲线 y ? f (x) 在点 ?xn , f ( xn ) ? 处的

切线与 x 轴的交点为 ?x n ?1 ,0? ( n ? N ) ,其中 x1 为正实数
*

?用 xn 表示 x n ?1 ?证明:对一切正整数 n , xn?1 ? xn 的充要条件是 x1 ? 2 ?若 x1 ? 4 ,记 a n ? lg

xn ? 2 ,证明数列 ?an ? 成等比数列,并求数列 ?xn ? 的通项公式 xn ? 2

21、已知函数 f ? x ? ? 4 x ? 3 x cos ? ?
3 2

参数,且 0 ? ? ? 2? ;

3 cos ? ,其中 x ? R,? 为 16

(1)当 cos ? ? 0 时,判断函数 f ?x ? 是否有极值; (2)要使函数 f ?x ? 的极小值大于零,求参数 ? 的取值范围; (3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数 ? ,函数 f ?x ? 在区间 ?2a ? 1, a ? 内都是增函数,求实数 a 的取值范围。

11

20. (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? x ?
3

3 (a ? 1) x 2 ? 3ax ? 1. 2

(I)若函数 f (x) 在区间(1,4)内单调递减,求 a 的取值范围; (II) 若函数 f ( x)在x ? a 处取得极小值是 1, a 的值, 求 并说明在区间 (1, 内函数 f (x) 4) 的单调性.

20(本小題满分 12 分) 已知定义在 R 上的奇函数 极小值
(I



时,

取得

. 的解析式; 的单调区间; 时,函数图像上是否存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直?

)求,

(II)求
( I I I )



证明你的结论.

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x . (Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间和最小值;

1 1 e (Ⅲ)若 a ? 0, b ? 0 ,求证: f (a) ? (a ? b) ln 2 ? f (a ? b) ? f (b) .

b (Ⅱ)当 b ? 0 时,求证: b ? ( ) e (其中 e ? 2.71828 …是自然对数的底数) ;

12

21.(本小題满分 14 分) 已知函数.

( I ) 求证:对任意的
( I I )

都有

; 的值; , 用 利 , 明 证 :

求. 设

( I I I )

21、函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? a 2 x ? 1, g (x) ? ax 2 ? 2x ?1, 实数 a ? 0 . (1)若 a ? 0 ,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)当函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图象只有一个公共点且 g ( x) 存在最小值时,记 g ( x) 的最小值为 h(a) ,求 h(a) 的值域; (3)若 f ( x ) 与 g ( x) 在区间 (a, a ? 2) 内均为增函数,求 a 的取值范围。

20、已知函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? ( p ? 1) x 2 ? qx ( p, q 为常数) 3 2

( 1 ) 若 f ( x ) 在 在( x1 , x2 ) 上 单 调 递 减 , 在(??, x1 )和( x2 , ??) 上 单 调 递 增 , 且

x2 ? x1 ? 1 ,求证: p2 ? 2( p ? 2q);
(2)若 f ( x ) 在 x ? 1 和 x ? 3 处取得极值,且在 x ? [?6, 6] 时,函数 y ? f (x) 的图象在 直线 l : 15x ? y ? c ? 0 的下方,求 c 的取值范围?

13

21. (本小题满分 14 分)
3 2 已知函数 f ( x) ? 1 x ? ax ? bx ? 1( x ? R, a ,b 为实数)有极值,且在 x ? 1 处的切线与直

3

线 x ? y ? 1 ? 0 平行. (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数 a,使得函数 f (x) 的极小值为 1,若存在,求出实数 a 的值;若不 存在,请说明理由; (Ⅲ) 设函数 g ( x) ?

f ?( x) ? 2ax ? b ? 1 ? 2 ln x , 试判断函数 g (x) 在 (1,??) 上的符号, x n 1 1 1 并证明: ln n ? (1 ? ) ? ? (n ? N * ) 。 2 n i ?1 i

14

21、已知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 是定义在 R 上的函数, 其 x 轴于 A, B, C 三点, 若点 B 的坐标为 (2, 0) ,且 f ( x ) 在 [?1, 0] 和 [4,5] 上有相同的单调性, 在 [0, 2] 和 [4,5] 上有 相反的单调性.

b 的取值范围; a (2)在函数 f ( x ) 的图象上是否存在一点 M ( x0 , y0 ) , 使得 f ( x) 在点 M 的切线斜率为 3b ? 若存在,求出点 M
(1)求 的坐标;若不存在,说明理由; (3)求 AC 的取值范围。

22、(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 和函数 g ( x) ? ln(1 ? x2 ) ? ax(a ? 0) 。 (Ⅰ)求函数 g ( x) 的单调区间; (Ⅱ)已知关于 x 的方程 f ( x) ? x 没有实数根,求证方程 f ( f ( x)) ? x 也没有实数根; (Ⅲ)证明: (1 ?

1 1 1 1 )(1 ? 2 )(1 ? 2 ) ??? (1 ? 2 n ) ? e( n ? N ? ) 。 2 2 4 8 2

22、已知函数 f ? x ? ? x ?
2

2 ? a ln x x

? x ? 0 ? , f ? x ? 的导函数

是 f ' ? x ? ,对任意两个不相等的正数 x1 , x2 ,证明: (1)当 a ? 0 时,

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?x ?x ? ? f? 1 2? 2 ? 2 ?

' ' (2)当 a ? 4 时, f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x1 ? x2

15

x 1 ? ; 2 4 1 (1)证明:存在唯一 x0 ? (0, ) ,使 f ( x0 ) ? x0 成立; 2 1 * (2)设 x1 ? 0, xn ?1 ? f ( xn ), y1 ? , y n ?1 ? f ( y n )(n ? N ) ; 2
21、已知函数 f ( x) ? x ? x ?
3 2

证明: xn ? xn?1 ? x0 ? yn?1 ? yn ; (3)证明:

yn ?1 ? xn ?1 1 ? yn ? xn 2

21、已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? ax2 ? b (a, b ? R) . (1)当 a ? 0 时,求函数 y ? f (x) 的极值; (2)函数 y ? f (x) 的图象上任意不同的两点连线的斜率都小于 2, 求证: ? 6 ? a ?

6;

(3)对任意 x0 ? [0,1], y ? f (x) 的图像在 x ? x0 处的切线的斜率 为 k ,求证: 1 ? a ?

3 是 | k |? 1 成立的充要条件.

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 2ln x ? x2 ? ax ( a ? R ). (Ⅰ)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的图象在 x ? 1 处的切线方程; 1 (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax ? m 在 [ , e] 上有两个零点,求实数 m 的取值范围; e 0) 0) (Ⅲ)若函数 f ( x) 的图象与 x 轴有两个不同的交点 A( x1, ,B( x2 , ,且 0 ? x1 ? x2 ,求证: x ?x . f ?( 1 2 ) ? 0 (其中 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数) 2
16

22. (本小题满分 14 分)设 f ( x) ?

1? ax ( a ? 0 且 a ? 1 ) g (x) 是 f (x ) 的反函数. , 1? ax

?设关于 x 的方程 loga 围;

?

t ? g ( x) 在区间 ?2,6? 上有实数解,求 t 的取值范 x ? 1 ?7 ? x ?
2

?

?当 a ? e ( e 为自然对数的底数)时,证明:

? g (k ) ?
k ?2

n

2 ? n ? n2

2n?n ? 1?



?当 0 ? a ?

n 1 时,试比较 ? f (k ) ? n 与 4 的大小,并说明理由. 2 k ?1

22. (本小题共 14 分)已知 函数 f ( x) ?

2 1 x ? , h( x) ? x 3 2

?设函数 F ( x) ? f ( x) ? h( x) ,求 F (x ) 的单调区间与极值; ?设 a ? R ,解关于 x 的方程 log4 ?
100

3? ?3 f ( x ? 1) ? ? ? log2 h(a ? x) ? log2 h(4 ? x) 4? ?2

?试比较 f (100)h(100) ?

? h(k ) 与 6 的大小
k ?1

1

22、(本小题满分 14 分) 已知 a 为正实数, 为自然数, 抛物线 y ? ? x ? n
2

an 与 x 轴正半轴相交于点 A , f ( n) 设 2

为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距。 (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n) ; (Ⅱ)求对所有 n 都有

f ( n) ? 1 n3 ? 3 成立的 a 的最小值; f ( n) ? 1 n ? 1

(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比较

? f (k ) ? f (2k ) 与
k ?1

n

1

27 f (1) ? f (n) ? 的大小,并说明理由。 4 f (0) ? f (1)

17

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0 ?ln x, x ? 0

, 其中 a 是实数. A( x1 , f ( x1 )) , 设

B( x2 , f ( x2 )) 为该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 .
(Ⅰ )指出函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ )若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最小值; (Ⅲ )若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知 a ? 0, 且a ? 1 函数 f ( x) ? loga (1 ? a x ) 。 (I)求函数 f ( x ) 的定义域,并判断 f ( x ) 的单调性;

a f (n) ; (II)若 n ? N , 求 lim n n ??? a ? a
*

(III)当 a ? e ( e 为自然对数的底数)时,设 h( x) ? (1 ? e 的极值存在,求实数 m 的取值范围以及函数 h( x) 的极值。

f ( x)

)( x2 ? m ? 1) ,若函数 h( x)

18

22. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? eax ? x ,其中 a ? 0 . (Ⅰ)若对一切 x ? R , f ( x) ? 1 恒成立,求 a 的取值集合. (Ⅱ) 在函数 f ( x) 的图像上取定两点 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 ))( x1 ? x2 ) , 记直线 AB 的 斜率为 k .问:是否存在 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使 f ?( x) ? k 成立?若存在,求 x0 的取值范 围;若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? x , h( x) ? (1)求 h( x) 的最大值; (2)若关于 x 的不等式 xf ( x) ? ?2 x ? ax ?12 对一切 x? ? 0, ??? 恒成立,求实数 a 的
2

ln x . x

取值范围; (3)若关于 x 的方程 f ? x ? ? x ? 2ex ? bx ? 0 恰有一解,其中 e 为自然对数的底数,
3 2

求实数 b 的值.

19

22. (本小题满分 14 分) 设 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

1 . x ?a
2

(1)求证:关于 x 的方程 f ( x ) ? (2)求函数 g ( x) ?

1 没有实数根; x ?1

1 3 1 的单调区间; ax ? ax ? 3 f ( x)
a=2 且

( 3 ) 设 数 列 {xn } 满 足 x1 ? 0, xn?1 ? f ( xn )(n ? N ? ) , 当

0 ? xk ?

1 1 (k ? 2,3, 4,?) ,证明:对任意 m ? N * 都有 | xm ? k ? xk |? . 2 3 ? 4k ?1

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 (I)若 a = 1,求函数 h(x)的极值; (II )若函数 Y=H (x)在 上单调递增,求实数 A 的取值范围; ,使线段 AB ?若存在,求出 x0;若不存在,

(III)在函数:y=f(x)的图象上是否存在不同的两点 的中点的横坐标 请说明理由. 与直线 AB 的斜率 k 之间满足

20


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