当前位置:首页 >> 高考 >> 高考数学综合能力题30讲第14讲 立体几何中的有关计算

高考数学综合能力题30讲第14讲 立体几何中的有关计算


数学高考综合能力题选讲 14

立体几何中的有关计算
100080 北京中国人民大学附中 题型预测
立体几何中的计算主要是求角和距离.其中二面角的平面角和点到平面的距离(体积) 常常作为考查的重点.

梁丽平

范例选讲 例 1 长方体 ABC D? A1 B1C1 D1 中, AB ? BC ? 1 ,
A1 D1 B1 C1

AA1 ? 2 , E 是侧棱 BB1 中点.

(1)求直线 AA1 与平面 A1 D1 E 所成角的大小;
E

(2)求二面角 E ? AC1 ? B 的大小; (3)求三棱锥 A ? C1 D1 E 的体积.
A

D

C B

讲解:(1)要求线面所成角,首先需要找到这个角,为此,我们应该先作 出面 A1 D1 E 的一条垂线.不难发现, AE 正为所求.
B 由长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 知:D1 A1 ? 面ABB1 A1 , AE ? 面A B 1 A1 , 又 所以, D1 A1 ? AE .

在矩形 ABB1 A1 中,E 为 BB1 中点且 AA1 ? 2 ,AB ? 1 , 所以,AE ? A1 E ? 2 , 所以, ?A1 AE 为等腰直角三角形, EA1 ? AE . 所以, AE ? 面 A1 D1 E . 所以, ?A1 AE 就是直线 AA1 与平面 A1 D1 E 所成的角,为 45? . (2)要作出二面角的平面角,一般的思路是最好能找到其中一个面的一条 垂线,则可利用三垂线定理(或逆定理)将其作出.

注 意 到

, AB ? 面B1B C C 所 以 , 面 1
D1 A1 G E D F C B B1 C1

A B ? 面B1 B C1 ,所以,只需在 面B1 BCC1 内过点 E C 1 C

作 EF ? BC1 于 F,则 EF ? 面 ABC1 . 过 F 作 FG ? AC1 于 G,连 EG,则 ?EGF 就是二 面角 E ? AC1 ? B 的平面角. 在 ?EBC1 中, EF ?
2 S ?EBC 1 BC1 ? EB ? C1 B1 5 ? , BC1 5

A

所以, C1 F ? C1 E 2 ? EF 2 ?

3 5 . 5
AB 30 ? . AC1 10

在 ?ABC1 中, FG ? C1 F ? sin ?FC1G ? C1 F ?
EF 6 ? . FG 3

在 Rt?EFG 中, tan ?EGF ?

所以,二面角 E ? AC1 ? B 的平面角的大小为 arctan

6 . 3

(3)要求三棱锥 A ? C1 D1 E 的体积,注意到(2)中已经求出了点 E 到平面
AC1 D1 的距离 EF.所以,

1 1 1 V A?C1D1E ? VE ? AC1D1 ? S ?AC1D1 ? EF ? AD1 ? CD1 ? EF ? . 3 6 6 另一方面,也可以利用等积转化.

因为 AB // D1C1 ,所以, AB // 面C1 D1 E .所以,点 A 到平 面C1 D1 E 的距离就 等于点 B 到平 面C1 D1 E 的距离.所以,
1 1 1 V A?C1D1E ? VB ?C1D1E ? VD1 ? EBC 1 ? S ?EBC 1 ? D1C1 ? EB ? C1 B1 ? D1C1 ? . 3 6 6

点评:求角的一般方法是:先作出所求角,然后再解三角形.利用三垂线定 理作出二面角的平面角是很常用的方法.

例2

如图: 三棱台 ABC ? A1 B1C1 中, 侧棱 CC1
A1

C1 B1

⊥底面 ABC , ?ACB ? 120 ? , AC ? a, BC ? 2a ,
B1C1 ? a ,直线 AB1 与 CC1 所成的角等于 60°.

C

(1)求二面角 B1 ? AC ? B 的大小; (2)求点 B 到平面 B1 AC 的距离.
A B

讲解

无论从已知(直线 AB1 与 CC1
C1 A1 B1

所成的角等于 60°)的角度还是从所求 (二面角 B1 ? AC ? B )的角度,过 B1 作
CC1 的平行线都是当然之举.

H E C D A B

在平面 B1C1CB 中, B1 作 B1 D // C1C 过 交 CB 于点 D ,连接 AD ,则 ?ADB1 就是 直 线 AB1 与 CC1 所 成 的 角 . 所 以 ,
?ADB1 ? 60? .

又因为 CC1 ⊥底面 ABC ,所以, B1 D ⊥底面 ABC .
? 在平面 ABC 内过点 D 作 DE ? AC 于 E , B1 E , B1 E ? AC , 连 则 所以, B1 ED

就是二面角 B1 ? AC ? B 的平面角. 在 ?ACD 中, AD ?
AC 2 ? CD 2 ? 2 AC ? CD cos120 ? ? 3a .

在 Rt ?AB1 D 中, B1 D ? AD ? cot 60? ? a . 在 Rt ?CED 中, DE ? CE ? sin 60? ?
a 3 a 2
3 a. 2

在 Rt ?EB1 D 中, tan ?B1 ED ?

?

2 3 . 3

所以,二面角 B1 ? AC ? B 的平面角的大小为: arctan

2 3 . 3

(2)由 D 为 BC 中点,故点 B 到平面 B1 AC 的距离等于点 D 到平面 B1 AC 的 距离的 2 倍,作 DH ? B1 E 于 H.由(1)知 AC ? 面B1 ED ,所以, AC ? DH , 所以, DH ? 面B1 AC ,所以, DH 就是点 D 到平面 B1 AC 的距离. 在 Rt ?EB1 D 中, DH ?
DE ? DB1 ? EB1 DE ? DB1 DE 2 ? DB1
2

?

21 a. 7

所以,点 B 到平面 B1 AC 的距离等于

2 21 a. 7

另外,我们也可以用体积法求出这个距离. 设点 B 到平面 B1 AC 的距离为 h .则由 VB1 ? ACB ? VB ? ACB1 及
VB1 ? ACB ? 1 1 ?1 3 3 ? S ?ABC ? B1 D ? ? ? AC ? BC ? sin ?ACB ? ? B1 D ? a , 3 3 ?2 6 ?

S ?ACB1 ?

1 1 7 2 AC ? B1 E ? AC ? ED 2 ? B1 D 2 ? a 可得: 2 2 4
?
3 3 ? 3a 2

h?

3V B ? ACB1 S ?ACB1

6 ? 2 21 a . 7 7a 4

所以,点 B 到平面 B1 AC 的距离等于

2 21 a. 7

点评

等积变形是求体积和求距离时常用的方法.

高考真题
A' C' B'

1.(1998 年全国高考)已知斜三棱柱 ABC- A'B'C'的侧面 A'ACC'与底面 ABC 垂直,∠ABC=

90? ,BC=2,AC= 2 3 且 AA'⊥A'C,AA'=A'C.
A

①求侧棱 AA'与底面 ABC 所成角的大小; ②求侧面 A'ABB'与底面 ABC 所成二面角的大
B

C

小; ③求顶点 C 到侧面 A'ABB'的距离.
D' A' B' C'

2.(1999 年全国高考)如图,已知四棱柱 ABCD- A'B'C'D',点 E 在棱 D'D 上,截面 EAC∥D'B,且面 EAC 与底
E

面 ABCD 所成的角为 45°,AB=a (1)求截面 EAC 的面积; (2)求异面直线 A'B'与 AC 之间的距离; (3)求三棱锥 B'-EAC 的体积.
D A B C

S

3. (2001 年全国高考)如图: 在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中, ∠ABC=90°, SA⊥面 ABCD, SA=AB=BC=1, 1 AD= . 2 (1) 求四棱锥 S-ABCD 的体积; (2) 求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的平面角的正切值. A

B

C

D

[答案与提示:1.45? ;60? ; 3 . 2.

2 2 2 3 1 2 a ; 2a ; a . 3. ; . ] 2 4 4 2


赞助商链接
更多相关文档:

高考数学立体几何分析及备考建议

高考的立体几何试题体现了“基于基础,关 注能力,...文科第 7 题我校平均得分 3.30 分, 黄石市平均...(3)定量计算(体积与面积的计算,线线角、线面角、...

2015江苏高考数学考点热点立体几何专题

2015江苏高考数学考点热点立体几何专题_高三数学_数学...转化为可计算体积的几何体. 2.几个与球有关的切...(本题满分 14 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,...

高考文科数学试题分类汇编—立体几何

高考文科数学试题分类汇编—立体几何_高考_高中教育_...题主要考查简单几何体的三视图及体积计算,是简单题...的三视图问题,体现了对学生空间想象能力的综合考查...

2015高考数学真题分类汇编专题10 立体几何

2015高考数学真题分类汇编专题10 立体几何_高考_高中...面的位置关系及有关线段长度及三角形面积数据的计算...? sin ? 【考点定位】立体几何中的动态问题 【...

2015-2017立体几何全国卷高考真题

2015-2017立体几何全国卷高考真题_高三数学_数学_...中,不妨设 GB=1 易证 EG⊥AC,通过计算可证 EG...28 π, 2 故选 C. 11、 (2016 年 2 卷 14...

2014年高考文科数学试题分类汇编立体几何详细解答

2014年高考文科数学试题分类汇编立体几何详细解答_高考...第 2 页共 2 页 第二步:计算与面和线有关的...立体图形之间的对应关系,在第 1 道选择题中已经讲...

高考数学立体几何部分典型例题

高考数学立体几何部分典型例题_数学_高中教育_教育专区。(一) 1.某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为 ( ). A.92+14π ...

...空间向量 第3讲 立体几何中的向量方法试题

计算; ⑤转化为几何结论. (2) 求空间角注意:①两...14.如图,在三棱锥 P—ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=...第3讲 立体几何中的向量方法 高考真题体验 1.C [...

高考数学 立体几何大题30题

立体几何大题 1.如下图,一个等腰直角三角形的硬...第 1 题图 B A B 第 1 题图 (1)如果你手中...高考数学综合能力题30讲... 4页 免费 2011届高考...

2015届高考数学(理)二轮复习专题讲解讲义:专题四 第二...

专题四 第二讲 高考中的立体几何_数学_高中教育_...14 3 2 2 2 GF +BF -BG 3 在△BFG 中,cos...题主要考查空间线面位置关系的证明及线面角的计算,...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com