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1.1.2 瞬时变化率——导数(3)

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1. 1. 2
教学目标:

瞬时变化率——导数(3)
吴卫东 邵艳 郭红梅 潘翠萍

江苏省泰兴中学

1.通过大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了 解导数概念的实际背景,体会导数的思想及其内涵; 2.会求简单函数的导数,通过函数图象直观地了解导数的几何意义; 3.体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程,进一步感受变量数 学的思想方法.

教学重点: 导数概念的实际背景,导数的思想及其内涵,导数的几何意义. 教学难点: 对导数的几何意义理解.

教学过程: 一、复习回顾 y
Q

l P

O

x

1.曲线在某一点切线的斜率.
k P Q= f ( x+ ? x )- f ( x ) ?x

(当?x 无限趋向 0 时,kPQ 无限趋近于点 P 处切线斜

率) 2.瞬时速度.

v=

?s ?t



f ( t 0+ ? t )- f ( t 0 ) ?t

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v 在 t0 的瞬时速度=

f ( t 0+ ? t )- f ( t 0 ) ?t

当 ?t?0 时.

3.物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度. v 在 t0 的瞬时加速度= 二、建构数学 导数的定义. 函数 y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),如果自变量 x 在 x0 处有增量△x,那么函数 y 相应地有增量△y=f(x0+△x)-f (x0);比值
数 y=f(x)在 x0 到(x0+△x)之间的平均变化率,即 果当 ? x ? 0 时,
?y ?x ? A ?y ?x ? ?x ?y ?x
v ( t 0+ ? t )- v ( t 0 ) ?t

当 ?t?0 时.

就叫函 .如

f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 )

,我们就说函数 y=f(x)在点 x0 处可导,并把 A 叫做函
x ? x0

数 y=f(x)在点 x0 处的导数,记为 y ?
y?
x ? x0


,当 ?x ? 0

? f ( x0 ) ?
'

?y ?x

?

f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) ?x

三、数学运用 例1 解
?y ?x

求 y=x2+2 在点 x=1 处的导数.

?y=[(1+?x)2+2]-(12+2)=2?x+(?x)2

?y ?x

2 ? x+ ( ? x ) ?x

2

=2+?x



? =2+?x,当 ?x?0 时, y ?x= 1 =2.

变式训练:求 y=x2+2 在点 x=a 处的导数. 解
?y ?x

?y=[(a+?x)2+2]-(a2+2)=2a?x+(?x)2

?y ?x

2 a ? x+ ( ? x ) ?x

2

=2a+?x



=2a+?x,当 ?x?0 时, y ? =2a. 求函数 y=f(x)在某一点处的导数的一般步骤:

小结

(1)求增量 (2)算比值

?y=f(x0+?x)-f(x0);
?y ?x
0



f ( x 0+ ? x )- f ( x 0 ) ?x



? (3)求 y ?x= x =

?y ?x

,在 ?x?0 时.

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四、建构数学 导函数. 若 f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则 f(x)在各点的导数也随着自变量 x 的变化而变化, 因而也是自变量 x 的函数,该函数 f(x)称为的导函数,记作 f ?(x), 即 f ?(x0)=y ?=
?y ?x



f ( x 0+ ? x )- f ( x 0 ) ?x

,当 ?x?0 时的值.

五、数学运用 例2 解
?y ?x

已知 y=
? y=

x

,求 y ?,并求出函数在 x=2 处的切线方程.
x

x+ ? x-
x





x+ ? x - ?x
?y ?x

∴ y ?=



x+ ? x - ?x

x



1 x+ ? x + x

= 2

1 x

,当 ?x?0 时的值.

当 x=2 时切线的斜率为 k=
2

1 2



所以在 x=2 切线方程为 y-

2= 2

1 2

( x- 2 ) 即

切线方程为 y= 练习:

2 4

x+

2 2



课本 P14 -1,2,3. 六、回顾小结 问题 1 本节课你学到了什么?

(1)了解导数概念的实际背景,体会导数的思想及其内涵; (2) 会求简单函数在某一点的导数; 会求简单函数在某个区间上的导函数 ; (3)通过函数图象直观地了解导数的几何意义. 问题 2 本节课体现了哪些数学思想方法?

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(1)形结合的思想方法. (2)极限的思想方法.


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