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2010山东高考数学一轮复习专题之导数及其应用人教版选修2.doc


2010 山东高考一轮复习专题之导数及其应用(选修 II)

一、 知识地位分析: 导数是高中数学新教材中新增的知识之一, 体现了现代数学思想,在研究函数性质时,有独到之处。纵观 2009 年各地的新课程高考试卷,大多数以一个大题的形式考察这部分内 容。内容主要是与单调性、最值、切线这三方面有关。今年是我省新 教材实施的第二届高考,虽然去年已然考察这方面的内容,但作为新 教材的新增内容,仍应引起我们足够的重视。复习中注重导数在解决 科技、经济、社会中的某些实际问题中的应用。 本节专题分两个课时:1、导数的知识点回顾及基本运用;2、 应用导数工具解决函数、不等式等问题及应用问题。 二、教学设计 第一课时: 考点回顾:设计三个小题,回顾导数定义及其基本运用 1、 设 f(x)在 x 处可导,a,b 为非零常数,则

lim

?x ?0

f ( x ? a?x) ? f ( x ? b?x) = ?x

A、f / (x) B、 (a+b)f / (x) C、 (a-b)f / (x) (x)答案 B 2、

D、

a?b / f 2

某汽车启动阶段的路程函数为 S(t)=2t 3 -5t 2 ,则 t=2 秒 时,汽车的速度和加速度分别为 答案:4,3

3、设 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数, y ? f ?( x)

的图象如图 1 所示,则 y ? f ( x) 的图象最有可能的是(



图1

答案 D 例题讲解: (包括 4 个大题,强调导数的运算法则和简单运用) 例 1、求下列函数的导数:设计意图:复习导数的运算法则 (1) (2) (3) f(x)=e x (sinx+cosx)答案:2e x cosx f(x)=ln(x 3 +2 x )答案: f(x)=
3x 2 ? 2 x ln 2 x3 ? 2x

log 2 x sin x ? x ln 2 ? cos x log2 x 答案: sin x x ln 2 ? sin 2 x

易错点:混淆 e x 与 a x 、lnx 与 log a x 导数之间的区别。 例 2、已知函数 f ( x) ? e ? x (cosx ? sin x), 求证:所有的极值点纵坐标排成 的数列 { f ( xn )}为等比数列; 设计意图:本小题主要考查函数的导数,三角函数的性质,等比数 列的概念和性质 证明: f ?( x) ? ?e ? x (cosx ? sin x) ? e ? x (? sin x ? cos x) ? ?2e ? x sin x.

由 f ?( x) ? 0, 得 ? 2e ? x sin x ? 0. 解出 x ? n? , n 为整数,从而
xn ? n? , n ? 1,2,3,?

f ( xn ) ? (?1) n e ?n? .
f ( x n ?1 ) ? ?e ?? . f ( xn )

所以数列 { f ( xn )}是公比 q ? ?e ?? 的等比数列。 例 3、过曲线 C:y=x 2 -1(x>0)上的点 P 作 C 的切线 L 与坐标轴交于 M,N 两点,试求 P 点的坐标,使 ? OMN 的面积最小 设计意图:1、利用导数的几何意义,研究曲线的切线方程,2、利用导 数求函数最值)
2 点拨:1、设点 P(x 0 ,x 0 -1) ,求出 y / | x ? x =2x 0 ,即切线斜率。
0

2 写出切线方程:y-( x 0 -1)=2x 0 (x-x 0 )

2、分别令 x=0,y=0 求出 M,N 点的坐标,则 S ?OMN 可表示。 3、通过求导求 S ?OMN 的最小值及 P 点坐标。答案:P( 思考:若 P 点不在曲线上,如何求切线方程? 已知曲线 C:y=x 2 -1(x>0) ,过点 P(2,1)作 C 的切线 L 与坐标轴 交于 M,N 两点,试求 ? OMN 的面积。 易错点:学生往往会把过 P 点的切线斜率算成 y / | x?2 =2 ? 2=4。 点拨:设切点 Q(x 0 ,x 0 2 -1) ,过 Q 点的切线斜率为 y / | x ? x =2x 0 ,
0

3 2 ,? ) 3 3

得切线方程 y-( x 0 2 -1)=2x 0 (x- x 0 ) ,P 点代入,得 x 0 = ? 2 ? 2 , 代回得切线方程,下略。

例 4、已知函数 f ( x) ? x 2 e ax , 其中a ? 0, e 为自然对数的底数. (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间[0,1]上的最大值. (设计意图:本小题主要考查导数应用导数研究函数性质的方法及 推理和运算能力. 以及分类讨论的思想方法。根据学生情况不同,可 事先在题干中对 a 的范围特殊化, 防止分类讨论对导数应用的淡化作 用) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? x(ax ? 2)e ax . (i)当 a=0 时,令 f ?( x) ? 0, 得x ? 0. 若 x ? 0, 则f ?( x) ? 0, 从而f ( x)在(0,??) 上单调递增; 若 x ? 0, 则f ?( x) ? 0, 从而f ( x)在(??,0) 上单调递减. (ii)当 a<0 时,令 f ?( x) ? 0, 得x(ax ? 2) ? 0, 故x ? 0或x ? ? . 若 x ? 0, 则f ?( x) ? 0, 从而f ( x)在(??,0) 上单调递减; 若 0 ? x ? ? , 则f ?( x) ? 0, 从而 f ( x)在(0,? ) 上单调递增; 若 x ? ? , 则f ?( x) ? 0, 从而 f ( x)在(? ,?? ) 上单调递减. (Ⅱ) (i)当 a=0 时, f ( x) 在区间[0,1]上的最大值是 f (1) ? 1. (ii)当 ? 2 ? a ? 0 时, f ( x) 在区间[0,1]上的最大值是 f (1) ? e a . (iii)当 a ? ?2 时, f ( x) 在区间[0,1]上的最大值是 f (? ) ?
2 a 4 . a e2
2

2 a

2 a

2 a

2 a

2 a

第二课时: 考点回顾: (设计 2 个小题,体现导数在不等式,实际应用中的作用) 1、 直线 y=x 与曲线 y=sinx 及 y=tanx 在(0, )上有公共点吗? 如何说明? 2、 最值点都是从极值点中选出来的吗?为什么?
? 2

例 1、求证下列不等式:设计意图:导数在证不等式中的应用

x ? ln(1 ? x) ? x 1? x 1 x ?1 1 ? ln ? (2) x ? (0 , ? ?) 求证 x ?1 x x 1 1 1 1 1 (3) n ? N n ? 2 求证 ? ? ? ? ? ln n ? 1 ? ? ? ? 2 3 n 2 n ?1 点拨:(1)证 f(x)>g(x) ,x? (a, b) 则令 h(x)=f(x)-g(x) ,

(1)当 x>0 时,

I)证明 h / (x)>0, II)h(a) ? 0 (2)学生往往采用第(1)小题的解法,令 h(x)= ln 却发现 h / (x)=
x ?1 1 ? , x x

x x ? ( x ? 1) 1 1 ? 2= 2 >0,与预料不符,另外 h(0)不 2 x ?1 x x x ( x ? 1)

能计算,于是产生这是一道错题的感觉。难道这真是一道错题吗? h / (x)>0 就能说明 h(x)>0 吗?可以举出很多例子说明以上想法是错的, 如:y= ? (x>0).所以上述错解只能说明证明策略有问题.那怎么办呢? 通过换原,证其等价形式,并且绕开 h(0)不能计算的困扰。 证 ln
x ?1 1 x ? 1 1 令t ? x ? ,记 h(x)= ln ? ?? f (t) =ln (1+t) ?? 可改证: x x x x 1 ?t ?1 ? <0,而 f(0)=0,所以 f(x)<f(0)=0, 1? t 1? t
1

1 x

-t>0 (t>0), f / (t)= 得证。另一边同理。

(3)令 x ? 1 , 2?n ? 1 上式也成立
1 1 1 2 3 n 1 1 ? ? ? ? ? ln ? ln ? ? ? lg ? 1? ??? 2 3 n 1 2 n ?1 2 n ?1 1 1 1 1 1 即 ? ? ? ? ? ln n ? 1 ? ? ? ? 2 3 n 2 n ?1

将各式相加

例 2、求数列{

n }的最大项。设计意图:利用连续变量的最 n ? 10000 x n 当自变量 x 取正整数 n 时, 数列{ } x ? 10000 n ? 10000
1 , 200

值问题解决离散型变量的最值问题 点拨: 设f (x) =
10000? x 2 x ( x ? 10000 )

的最大项即为函数 f(x)在正整数集内所取得的最大值。求的 f /(x) = ,令 f / (x)=0,得 x=10000,所以 f(10000)= 2

而 f(1)= 值为
1 。 200

1 f ( x) ? 0 ,所以最大项为第 10000 项,这一项的 , xlim ? ?? 1001

思考:1、若 n 的值不是整数呢? 2、 以后遇上离散型函数能否都去寻找相应的连续型函数加以代替 呢? 思考题:设计意图:离散型函数的单调性不能等同于连续型函数 的单调性。 已知 a>0 且 a ? 1,数列{a n }是首项为 a,公比也为 a 的等比数列,令 b n =a n lg a n (n ? N * ),问是否存在实数 a,对任意正自然数 n,数列{ b n } 中的每一项总小于它后面的项?若存在,求出相应的 a 的范围;若不存 在,说明理由。 点拨:a n =a n ,b n = a n ? nlg a,而 b n 递增,可解得 a>1 或 0<a< 。 若 构 造 函 数 f ( x ) =a
x

1 2

x

? xlga

( x ? 1 ) 则 f / (x)=lga ?
1 。 10

a ? (lga ? x+1)>0 对 x ? 1 恒成立,得 a>1 或 0<a ?

两种解法的答案不相同,为什么出现这种情况?举一个例子, 先在 坐标系内取若干个整点(单调“增” )则数列为递增,然后用一些曲 线来连接这些点,记为 f(x) ,则 f(x)不一定递增。 总结:连续型函数的性质可以应用于相应的离散型函数(如例 2, 是用 f(x)=
x n 的最值推算数列{ }的最值) ;而离散型 x ? 10000 n ? 10000

函数的性质却不能推广到相应的连续型函数(如思考题,企图用数列 b n = a n ? nlg a 的单调性来规定相应函数的单调性,结果可想而知) 。 从最后答案中 a 的范围中也可体会到对连续函数的单调性要比离散 型函数的要求要严格。 例 3、设计意图:注意导数在社会发展中的运用 由于工业发展迅速,温瑞塘河受到一定的污染。设其湖水容积 为 v 立方米,每天流进和流出的水量都是 r 立方米。现假设下雨和蒸 发正好平衡,且污染物与河水能很好的混合,用 g(t)表示某一时 刻 t 每立方米河水所含污染物的克数, 我们称为在时刻 t 时的河水污 染质量分数。已知目前污染源以每天 p 克的污染物质污染河水,河水 污染质量分数满足关系式 g(t)=
? t p p ? [ g (0) ? ] ? e v (p ? 0) ,其中 g t r r

(0)是河水污染的初始质量分数。 (1) 当河水污染质量分数为常数时, 求河水污染的初始质量 分数。

(2) (3)

求证:当 g(0)< 时,河水的污染程度将越来越严重. 现在政府加大治污力度 ,使河水的所有污染停止 ,那么 需要多少天能使河水的污染水平下降到开始时污染水 平的 5%?
p v (2)求导,证导数>0(3) ln 20 天。 r r

p r

点拨:( 1)g(0)=

训练题: 1.已知直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x 3 ? ax ? b 切于点(1,3) ,则 b 的值为 ( ) A.3 B.-3 C.5 D.-5
x?0

3 设 f ( x) 在点 x ? x0 处可导 , 且 f (0) ? 0 及 f / (0) ? 3 , 则 lim ( ) A.2 B.1 C.3

f ( x) x

的值等于

D.不存在

4 若函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,在 R 上是增函数,则( ) A. b 2 ? 4ac ? 0 B. b ? 0, c ? 0 C. b ? 0, c ? 0 D. b 2 ? 3ac ? 0

5 若点 P 在曲线 y ? x3 ? x ? 2 上移动,经过点 P 的切线的倾斜角为 ? , 则 ? 的取值范围为( )
?? A. ? ?0, ?
? 2?

? ? ? 3? ? B. ? ?0, 2 ? ? ? 4 , ? ? ? ? ? ?

C. ? ?

3? ? ,? ? ?4 ?

? ? ? ? 3? ? D. ? ?0, ? ? ? , ?
? 2? ?2 4?

6.设正三棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时底面边长为 ( A. 3 V ) B. 3 2V C. 3 4V D. 23 V

7. 有一深为 20cm, 上底半径为 10cm 的圆锥形容器, 以每分钟 15cm3

的速度向容器内注水,则在水深为 8cm 时液面上升速度为 8.已知函数 f ( x) ? ax ? ? 3 ln x 在 x= 与 x=1 处都取得极值,若对
1 x ? [ ,4] , f ( x) ? c 恒成立,则 c 的取值范围是 2

b x

1 2

9.设 a ? 0 ,求函数 f ( x) ? x ? ln(x ? a)(x ? (0,??)) 的单调区间。

10、已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值. (1)讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f ( x) 的极大值还是极小值; (2)过点 A(0, 16) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线方程. 11、求证: (1) x a ? ax ? 1 ? a( x ? 0,0 ? a ? 1) (2)
b?a b ? ln b a ? b?a a ( 0 ? a ? b)

(3) a ? 0, b ? 0 ,证明 (

a ? b a ?b ) ? a abb 2

点拨:思考题(3) ,可取对数,变为求证: a ln a ? b ln b ? (a ? b) ln 令 f ( x) ? a ln a ? x ln x ? (a ? x) ln
a?x ( x ? a) 2

a?b 2


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