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浙江省五校2014届高三第一次联考数学理试题 Word版含答案


2013 学年浙江省第一次五校联考

数学(理科)试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。

选择题部分(共 50 分)
参考公式: 如果事件 A, B 互斥, 那么 P(A+B)=P(A)+ P(B) 如果事件 A, B 相互 独立, 那么 P(A· B )=P(A)· P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn(k)=C n pk (1-p)n-k (k = 0,1,2,…, n) 棱台的体积公式
V ? 1 3 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 )
k

棱柱的体积公式 V=Sh 其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式 V=
1 3

Sh

其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 球的表面积公式 S = 4πR2 球的体积公式 V=
4 3

其中 S1, S2 分别表示棱台的上、下底面积, h 表示棱台的高

πR 3

其中 R 表示球的半径

一、选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的。 1. 已知集合 P ? ? y y ? ( ) , x ? 0 ? , Q ? x y ? 1g (2 x ? x ) , 则 (CR P ) ? Q 为(
x 2

? ?

1 2

? ?

?

?



A. [1, 2)

B. (1,??)

C. [2,??) )

D. [1,??)

2. “ a ? 2 ”是“对任意实数 x , x ? 1 ? x ? 1 ? a 成立”的( A.充要条件 B.必要不充分条件 3. 函数 y= 2sin( A. x ? ? C.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件 ) D. x ?

?
?

x ? x ? )sin( ? ) 的图象的一条对称轴为( 4 2 4 2
2
B. x ?

?

2

C. x ? ?

3? 2

4. 在 ΔABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2ccos2 形状是( )

A =b+c , 则 ΔABC 的 2

A.正三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等腰直角三角形

5.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1a5 a 9 ? 15 ,且 ( ) A. 27 B. 24

1 1 1 3 ? ? ? ,则 S9 ? a1a5 a5a9 a9a1 5
D. 18

C. 21

6. 用 0,1,2,3,4 这五个数字组成无重复数字的五位数,并且两个奇数数字之间恰有一 个偶数数字,这样的五位数有( A.12 个 ) B.28 个 C.36 个 D.48 个

?x ? 1 a?b?c ? ?( 7. 已知 x , y 满足 ? x ? y ? 4 ,且 2 x ? y 的取值范围是 [1, 7] ,则 a ?ax ? by ? c ? 0 ?
A.1 B.2 C.-1
0



D. -2
学科



8. 已知 A、B 是单位圆上的两点, O 为圆心,且 ?AOB ? 120 , MN 是圆 O 的一条直径,

???? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? 点 C 在圆内,且满足 OC ? ? OA ? (1 ? ? )OB (0 ? ? ? 1) ,则 CM ? CN 的取值范围是(
A. [? ,1)



1 2

B. [?1,1)

C. [ ?

3 , 0) 4

D. [?1,0)

1 1 m?n 9.已知函数 f ( x) ? x3 ? mx 2 ? x 的两个极值点分别为 x1 , x2 ,且 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,点 3 2 2

P(m, n) 表示的平面区域内存在点 ( x0 , y0 ) 满足 y0 ? log a ( x0 ? 4) ,则实数 a 的取值范围是
( ) A. (0, ) ? (1,3)
1 (0, ) 2

1 2

B. (0,1) ? (1,3)

C. ( ,1) ? (1,3]

1 2

D. (0,1) ? [3, ??)

10. 对任意实数 x ? 1 , y ? 值为( )

1 x2 4 y2 ,不等式 2 ? 2 ? 1 恒成立,则实数 a 的最大 a (2 y ? 1) a ( x ? 1) 2

A. 2

B. 4

C.

14 2

D. 2 2

非选择题部分 (共 100 分)
二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分。 11.若复数 z ? ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1)i( x ? R, i 为虚数单位)为 纯虚数, 则 x?i
2013

开始

S=0

的值为___▲____


k=1

12.执行右图程序,其结果是____▲____ 13. 若对任意的实数 x ,有

k<2013? 是 S=1+1/[k(k+1)]

x 4 ? ao ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2) 2 ? a3 ( x ? 2)3 ? a4 ( x ? 2) 4
,则 a3 的值为____▲____ 14 . 在 等 比 数 列 {an } 中 , 若 a5 ? a 6 ? a 7 ? a 8?

输出 S 结束

15 , 8

k=k+1

1 1 1 1 9 a6 a7 ? ? ,则 ? ? ? ? ▲ a5 a6 a7 a 8 8
15. 已 知 O(0,0) , A(cos ? ,sin ? ) , B(cos ? ,sin ? ) , C (cos ? ,sin ? ) ,

??? ? ??? ? kOA ? (2 ? k )OB ???? ? ?OC ? 0 (0 ? k ? 2) ,则 cos(? ? ? ) 的最大值是




2 2

16. 设平面点集 M ? {( x, y ) ( y ? x)( y ? ) ? 0}, 其中 k ? 0 , N ? {( x, y ) x ? y ? 4}, 则 M ? N 所表示的平面图形的面积为____▲____ 17. 若实数 x, y 满足 2x + 2 y = 4x + 4 y ,则 8x + 8 y 的取值范围是____▲____

k x

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( 3 sin? x ? cos? x ) cos? x ? 为 4? . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; ( Ⅱ ) 在 ?ABC 中 ,

1 ,其中 ? ? 0 , f ( x) 的最小正周期 2

、B、C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c , 且 满 足 角 A

(2 a ? c ) c oB ? s

b c ,求函数 o Cs f ( A) 的取值范 围.

19. (本小题满分 14 分) 设向量 p ? ( x,1), q ? ( x ? a, 2), ( x ? R), 函数 f ( x) ? p ? q . (Ⅰ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 [1, 2] ,求不等式 f ( x) ? 1 ? x 2 的解集; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? 1 在区间 (1, 2) 上有两个不同的零点, 求实数 a 的取值
2

? ?

?

? ? ?

范围.

20. (本小题满分 14 分) 甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛: 第一局由甲、乙参加而丙轮空,以后每 一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛, 而前一局的失败者轮空. 比赛按这种规则一直进 行到其中一人连胜两局或打满 6 局时停止. 设在每局中参赛者胜负的概率均为 胜负相互独立. 求: (Ⅰ)打满 4 局比赛还未停止的概率; (Ⅱ)比赛停止时已打局数 ? 的分布列与期望 E? .

1 , 且各局 2

21. (本小题满分 14 分)
2 正项数列 an ? 中, a1 ? 4 ,其前 n 项和 S n 满足: Sn ? (an ?1 ? n ? 1) Sn ? (an ?1 ? n) ? 0 .

?

(Ⅰ)求 an 与 S n ; (Ⅱ)令 bn ?

2n ?1 ? 1 2 * , 数列{ bn }的前 n 项和为 Tn . 证明: 对于任意的 n ? N ,都有 (3n ? 2)an

Tn ?

5 . 12

22. (本小题满分 16 分)

对 于 定 义 在 D 上 的 函 数 y ? f ? x ? , 若 存 在 x0 ? D , 对 任 意 的 x ? D , 都 有

f ? x ? ? f ? x0 ? 或者 f ? x ? ? f ? x0 ? ,则称 f ( x0 ) 为函数 f ( x) 在区间 D 上的“下确界”或“ 上
确界”. (Ⅰ)求函数 f ( x) ? ln(2 ? x) ? x 在 [0,1] 上的“下确界”;
2

(Ⅱ)若把“上确界”减去“下确界”的差称为函数 f ( x) 在 D 上的“极差 M ”, 试 求函数

F ( x) ? x x ? 2 a ? ( 3 a ? 0) 在 [1 , 2] 上的“极差 M ”;
( Ⅲ ) 类 比 函 数 F ( x) 的 “ 极 差 M ” 的 概 念 , 请 求 出

G ( x, y ) ? (1 ? x)(1 ? y ) ?

x y 在 D ? ?( x, y ) x, y ? [0,1]? 上的“极差 M ”. ? 1? y 1? x

2013 学年浙江省第一次五校联考 数学(理科)参考答案
一、选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的。 1. A 2.C 3. C 4.B 5 .A 6. B 7. D 14 . ? 8. C 15. ? 9.B 10. D 16. 3? 二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分。 11 . ?1 ? i 17. (1, 2 ] 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 18. (本小题满分 14 分) 解: f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x ? cos 2 ? x ? 12 . 1+

1 2012 ? 2013

13. -8

5 3

1 2

1 2
…………………………

?
…3 分

? 3 1 sin 2? x ? cos 2? x ? sin(2? x ? ) 6 2 2

2? 1 x ? ? 4? ?? ? , f ( x ) ? sin( ? .) 2? 4 2 6 ? x ? ? 4? 2? 由 2 k? ? ? ? ? 2 k ? ? ( k ? Z ) 得: 4k? ? ? x ? 4k? ? 2 2 6 2 3 3 .
(Ⅰ) ?

? f ( x)

















[4k? ?

(Ⅱ)由正弦定理: (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B ? cos C

4? 2? , 4k? ? ](k ? Z ) 3 3

……………………………7 分

2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? s i nB (?C ) ? si ?n ( ? A ?) s A in ? 0 1 ? ,B ? , ? cos B ? 2 3 ? A ? ? 2? 1 , ? ? ? , ? f ( A) ? ( ,1) . ? 0? A? 6 2 6 2 3 2
19. (本小题满分 14 分)

…………………………11 分 ………………………… 14 分

解: (Ⅰ) f ( x) ? p ? q ? x( x ? a) ? 2 ? x ? ax ? 2 ,不等式 f ( x) ? 0 的解集为 [1, 2] ,
2

? ? ?
2

得 a ? ?3 ,于是 f ( x) ? x ? 3x ? 2 . 由 f ( x) ? 1 ? x 得,1-x2≤x2-3x+2,解得 x≤
2

………………… …………3 分

1 或 x≥1, 2
……… ……………………7 分

所以,不等式 f ( x) ? 1 ? x 的解集为{x|x≤
2

1 或 x≥1}. 2

(Ⅱ) g ( x) ? 2 x ? ax ? 3 在区间 (1, 2) 上有两个不同的零点,则
2

? g (1) ? 0, ? g (2) ? 0, ? ? a ? ?1 ? ? 4 ? 2, ? 2 ? ? a ? 24 ? 0,

……………10 分

?a ? 5 ? 0, ?2a ? 11 ? 0, ? 即 ? 得: ??8 ? a ? ?4, ?a ? ?2 6或a ? 2 6, ?

?5 ?a ? 2 ? 6 .


a 的取值范围是 (?5, ?2 6) .

……………………………14 分

20. (本小题满分 14 分) 解:令 Ak , Bk , Ck 分别表示甲、乙、丙在第 k 局中获胜. (Ⅰ )由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知,打满 4 局比赛还 未停止的概率为

P( A1C 2B A ? P( B C 1A B 3 )4 2 )3?

1 1 1 ? ? . 2 24 8
44

……………………6 分

(各 3 分) (Ⅱ) ? 的所有可能值为 2,3,4,5,6,且

P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( B1B2 ) ?

1 1 1 ? ? , 22 22 2 1 1 1 P(? ? 3) ? P( A1C2C3 ) ? P( B1C2C3 ) ? 3 ? 3 ? . 2 2 4 1 1 1 P (? ? 4) ? P ( A1C2 B3 B4 ) ? P ( B1C2 A3 A4 ) ? 4 ? 4 ? . 2 2 8 1 1 1 P(? ? 5) ? P( AC , 1 2 B3 A4 A 5 ) ? P( B 1C2 A 3 B4 B5 ) ? 5 ? 5 ? 2 2 16

P(? ? 6) ? P( AC 1 2 B3 A4C5 ) ? P( B 1C2 A 3 B4C5 ) ?
故分布列为

1 1 1 ? 5? , 5 2 2 16
4 5

……………………11 分

?
. P

2

3

6

1 2

1 4

1 8

1 16

1 16

1 1 ? E? ?2 ? ? 3 ? 2 4

1 1 1 47 ? 4 ? 5 ? ? 6? ? ?. 8 16 16 16

……………………………14

分 21. (本小题满分 14 分)
2 解: (Ⅰ)由 Sn ? (an ?1 ? n ? 1) Sn ? (an ?1 ? n) ? 0 ,得 ? Sn ? (an ?1 ? n) ? ( S n ? 1) ? 0 .

由于 ?an ? 是正项数列,所以 Sn ? 0, Sn ? an ?1 ? n . 于是,当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? an ?1 ? n ? an ? (n ? 1) .

所以 an?1 ? 2an ? 1, an ?1 ? 1 ? 2(an ? 1), ( n ? 2 ) 又 a1 ? S1 ? a2 ? 1, a1 ? 4 ,? a2 ? 3 ? an ? 1 ? (a2 ? 1)2 综上,数列 ?an ? 的通项 an ? ? (Ⅱ)证明:由于 b1 ?
n?2

……………………………4 分

,? an ? 2n?1 ? 1, (n ? 2)

? n ?1 ? 4, n . S n ? 2 ? n ? 1 ……………………7 分 n ?1 ? ? 2 ? 1, n ? 2
……………………………9 分

1 1 , bn ? (n ? 2) , 2 3n ? 2
2

则当 k ? 2 时,有 bk ? 所以,当 n ? 2 时,有

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), 2 (3k ? 2) (3k ? 4)(3k ? 1) 3 3k ? 4 3k ? 1

Tn ?

1 n 2 1 1 ? 1 1 ? ? bk ? ? ?( ? )? ( 4 k ?2 4 3 ? 2 5 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? )? ? ? ? 4 3 2 n 3? 1 4 3 2
又 n ? 1 时, T1 ? b1 ?
2
*

1 1 ? ? ) …? 5 8 5 . 12

1 1 ? ( ? ) n ?3 4 n? 3? ? 1

1 5 ? , 4 12
5 . 12
?1 ? 2x ? 0 2? x
…………………………14 分

所以,对于任意的 n ? N ,都有 Tn ? 22. (本小题满分 16 分) 解 : ( Ⅰ ) 令

f ?( x) ?





2 x2 ? x4 ? ? 1 ,0

? x1 ? 1 ?

2 2 ? 1 ? x2 ? 1 ? 2 2 显然, x1 ? ?0,1?,列表有:
x 0

f ( x) f ( x)

/

(0, x1) ↘

x1 0 极小值

(x1, 1) + ↗

1 1

ln 2

所以, f ( x) 在 [0,1] 上的“下确界”为 f ( x1 ) ? ln(1 ? (Ⅱ)①当 0 ? a ?

2 3 ) ? ? 2 . ………………4 分 2 2

1 时, F ( x)max ? F (2) , F ( x) min ? F (1) , 2

极差 M ? F (2) ? F (1) ? 3 ? 2a ; ②当

1 5 ? a ? 时, F ( x)max ? F (2) , F ( x)min ? F (2a) , 2 6

极差 M ? F (a) ? F (2a) ? 4 ? 4a ; ③ 当

5 ? a ?1 时 , 6

F ( x) max ? F (1) ,

F ( x)min ? F (2a)

, 极 差

M ? F (a) ? F (2) ? 2a ? 1 ;
④当 1 ? a ?

3 时, F ( x)max ? F (a) 2

m

F ( x)m i n? F ( 2 ) ,

极差 M ? F (a) ? F (2) ? (a ? 2) 2 ⑤ 当

3 ?a?2 2





F(

x) ? a

x

F ( ,a) F ( x) min ? F (1)







M ? F ( a) ?

; F( 1 ? 2 )a ?(

1 ) F ( x) min ? F (1) ,

⑥当 a ? 2 时, F ( x)max ? F (2) , 极差 M ? F (2) ? F (1) ? 2a ? 3 .

1 ? ?3 ? 2a, 0<a ? 2 ? ? 4 ? 4a, 1 ? a ? 5 ? 2 6 ? 5 ? ? a ?1 ?2a ? 1, 综上所述: M ? ? 6 ? 3 2 ?(a ? 2) , 1 ? a ? 2 ? ? 3 2 ?(a ? 1) , 2 ? a ? 2 ? ? ?2a ? 3, a ? 2

………………10 分(每一项得 1 分)

1 ? x ? y ? x2 y 2 xy (1 ? xy ) ? 1? ?1, (Ⅲ) 因为 G ( x, y ) ? (1 ? x)(1 ? y ) (1 ? x)(1 ? y)
当 xy ? 0 或 xy ? 1 时等号成立,所以 G ( x, y ) 的最大值为 1. 令T ? ………………12 分

xy (1 ? xy ) , t ? xy ,则 (1 ? x)(1 ? y )

xy (1 ? xy ) xy (1 ? xy ) t 2 (1 ? t 2 ) t 2 (1 ? t ) T? ? ? ? , t ? [0,1]. 1 ? x ? y ? xy 1 ? 2 xy ? xy (1 ? t ) 2 1? t
令 g (t ) ?

t 2 (1 ? t ) ,则 1? t

(2t ? 3t 2 )(1 ? t ) ? (t 2 ? t 3 ) g ?(t ) ? ? (1 ? t ) 2

?2t (t ?

?1 ? 5 ?1 ? 5 )(t ? ) , 2 2 2 (1 ? t )

令 g ?(t ) ? 0 ,得 t ?

?1 ? 5 g (t ) 是 的极大值点,也是 g (t ) 的最大值点, 2

? g (t ) ? g (

?1 ? 5 5 5 ? 11 5 5 ? 11 ,从而 T ? , )? 2 2 2 5 5? 1 1 ? 2 1 ?3 2 5 5
………………14 分

所以

G ( x ,y ) ? ? 1

当x? y ?

?1 ? 5 13 ? 5 5 时等号成立,所以 G ( x, y ) 的最小值为 .………15 分 2 2 5 5 ? 11 2
…… …………………………16 分

由此 M ?


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