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椭圆标准方程学案

§ 2.1.1
学习目标

椭圆及其标准方程(1)

⑤证明略 4.椭圆的标准方程: 定 义

(1)从具体情境中抽象出椭圆的模型; (2)掌握椭圆的定义,能用坐标法求椭圆的标准方程; (3)掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程的形式。

M F1 ? M F 2 ? 2 a , ( 2 a ? 2 c ? 0 )

知识链接
复习 1:求过两点 (0,1) , ( 2 , 0 ) 的直线方程 复习 2:方程 ( x ? 3) 2
? ( y ? 1) ? 4
2

. 为圆心, 为半径的 .

图 形
F1 O

y
M F2

y

表示以

F2

x

O F1 M

x

学习过程
一、课前自主学习 1.教材助读,预习课本 P 3 2 ~ P 3 4 的内容,记录下疑惑之处,并思考下列问题: (1)我们知道,到一个定点的距离等于定长的动点的轨迹是圆,那么到两个定点的距离之和等于 定长的动点的轨迹是什么?动动手,做教材 P 3 2 中的演示. (2)椭圆的定义:把平面内与两个定点 F1 , F 2 的距离之和等于常数(大于 )的点的轨迹叫 做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的 ,两焦点的距离( 2 c )叫做
? F1 F 2

方 程

. ?

焦 点

反思②:若将距离之和(| P F1|+| P F2|)记为 2 a ,为什么 2 a 当 2a 当 2a
? F1 F 2

时,其轨迹为 时,其轨迹为

; .
? F1 F 2

? F1 F 2

a,b,c 之间的关系

小结:理解椭圆的定义注意两点:①分清动点和定点;②看是否满足常数 2 a 2.如何建立适当的直角坐标系求动点轨迹?有几种建立坐标系的方式? 3.推导椭圆标准方程(根据提示完成以下推导过程)

5.椭圆一般方程: 6.椭圆的参数方程:

二、探究·合作·展示
①建系设点:以 F1 和 F2 所在直线为 x 轴,线段 F1 F2 的中点为原点建立直角坐标系;设 M ( x , y ) 是

※ 典型例题
椭圆上任意一点,设|F1F2|=2 c ,则;F1 ( ? c , 0 ) ,F2 (c , 0 ) ②列式:由题知{M∣| MF1|+| MF2|=2 a } ③代换:即_____________________________________________________________; ④化简:移项平方后得___________________________________________________________, 整理得,__________________________________________________________, 两边平方后整理得,___________________________________________________________ 由椭圆的定义知, 2 a ? 2 c ,即 a ? c ,∴ a
b x
2 2
2

例1 (1) a=

已知椭圆的方程为: x ? y
25

2

2

? 1 ,请填空:

16

,b=

,c=

,焦点坐标为___________,焦距等于__________.

(2)若 C 为椭圆上一点, F1、 F 2 分别为椭圆的左、右焦点,并且 CF 1 ? 2 ,则 CF 2 =________.
2

? c ,令 a
2

2

?c

? b ,其中 b ? 0 ,代入上式,得
2

? a y
2

2

? a b ,两边除以 a b ,得:______________________________( a ? b ? 0 )
2 2
2 2

例 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a =4,b=1,焦点在 x 轴上; (2) a =4,b=1,焦点在坐标轴上;

(3) 两焦点坐标分别是 ( ? 4 , 0 ) 、 ( 4 , 0 ) ,椭圆上一点 P 到两焦点的距离的和等于 1 0 ;

10.动点 P 到两定点 F1 (-4,0), F 2 (4,0)的距离之和为 8,则动点 P 的轨迹是 11.椭圆 m x +n y =-mn(m<n<0)的焦点是 12.椭圆 13.方程
x
2



例 3 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ? ? 2 , 0 ? , ( 2 , 0 ) ,并且经过点 ?

?5 ?2

,?

3? ? 2?

2

2

,求它的标准方程 .



?
2

y

2

?1

的焦距为 2 ,求则 n 的值为_______. .

4

n

x

?

y

2

? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 m 的范围是

※ 动手试试 练:写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1) a ? 4 , b ? 2 ,焦点在 x 轴上; (2) a ? 4 , c ?
1 5 ,焦点在 y 轴上

9

m

14.已知

y

2

10 ? m

?

x
2

2

m ?2

? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 m 的范围是________.

15.如果方程 x 2

? ky ? 2

表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是_______.

三、我的收获

学习评价
※ 当堂检测: 1. 若动点 P 到两定点 F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和为 8,则动点 P 的轨迹为( A.椭圆 B.线段 F1F2 C.直线 F1F2 D.不存在


16.若关于 x , y 的方程 x 2 sin ? ? y 2 co s ? ? 1 所表示的曲线是椭圆,则 ? 在第_______象限. 17.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)椭圆的两焦点分别为 F1(-3,0)、F2(3.,0),且椭圆上的点到两焦点的距离之和等于 8; (2)求经过两点(1,0),(0,2),且焦点在 y 轴上; (3)求经过两点(2,0),(0,1),且焦点在坐标轴上.

2.已知 a
A.

? 6, b ? 5 ,焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是


2 2

) D.
2 y x ? ?1 25 36 2

y x ? ?1 36 35
2

2

2

B.

y x ? ?1 36 25

2

2

C.

y x ? ?1 35 36

3.如果椭圆
A. 8 4.椭圆 周长为

2 y x ? ? 1 上一点到焦点 F1 的距离等于 6 ,那么点 P 到另一个焦点 F 2 的距离是 100 36 B. 1 4 C. 1 6 D. 2 0 2

四、回顾小结

2 y x ? ? 1 的左、右焦点为 F1 、 F 2 ,一直线过 F1 交椭圆于 A 、 B ,则 ? A B F 2 的 16 9

.

5.椭圆的方程 的周长是

x
2

2

?

y
9

2

?1

,焦点是

. 若 CD 为过左焦点 F1 的弦,则△ F 2 CD 五、作业布置 .

16

.
2

6. 以椭圆 9 x ? 5 y
2 2

? 45 的焦点为焦点, 且经过点 (2, 6 ) 的椭圆的标准方程是________________.

7. 椭圆 x ? y ? 1
25 9 x
2

上一点 P 到一个焦点的距离为 5, P 到另一个焦点的距离为___________. 则

? 1的焦点坐标是___________. 169 2 9.方程 4 x 2 +k y =1 的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆,则 k 的范围是

8.椭圆

?

y

2

25

.


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