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湖南省长沙市长郡中学2016届高三下学期第六次月考数学(理)试卷


炎德·英才大联考长郡中学 2016 届高三月考卷(六) 理科数学 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项 是符合题目要求的. 1.设复数 ? ? ( A. ?

3 2

a?i 2 ) ,其中 a 为实数,若 ? 的实部为 2,则 ? 的虚部为( 1? i 1 1 3 B. ? C. D. 2 2 2 1 2
) D. b ? c ? a



2.设 a ? log 1 2 , b ? log 2 3 , c ? ( )0.3 ,则(
3

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. c ? b ? a

4.一盒中有白、黑、红三种颜色的小球各一个,每次从中取出一个,记下颜色后放回,当三 种颜色的球全部取出时停止取球,则恰好取 5 次球时停止取球的概率为 A.

14 81

B.

20 81

C.

22 81

D.

25 81


5.执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为( A. 3 B.

3 2

C.0

D. ? 3

1

6.某几何体三视图如图所示,该几何体的体积为( A. 8 ? 2? B. 8 ? ? C. 8 ?



?
2

D. 8 ?

?
4

7.已知 sin ? ? cos ? ? A. 7 B. ? 7
2

1 1 ? tan ? , ? ? (0, ? ) ,则 ?( 2 1 ? tan ?
D. ? 3



C. 3

8.抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,已知点 A, B 为抛物线上的两个动点,且满足

?AFB ? 1200 . 过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ,垂足为 N ,则
大值为( A. ) B.1
2 2

| MN | 的最 | AB |

3 3

C.

2 3 3
2

D.2
2 2 2

9.两圆 x ? y ? 2ax ? a ? 4 ? 0 和 x ? y ? 4by ? 1 ? 4b ? 0 恰有三条公切线,若

2

a ? R, b ? R 且 ab ? 0 ,则
A.1 B.3 C.

1 9

1 1 ? 2 的最小值为( 2 a b 4 D. 9



10.已知 y ? f ( x) 为 R 上的可导函数,当 x ? 0 时, f ' ( x) ?

f ( x) ? 0 ,则关于 x 的函数 x

g ( x) ? f ( x) ?
A.1 B.2

1 的零点个数为( x
C.0 D.0 或 2



11.如图,已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 棱长为 4,点 H 在棱 AA1 上,且 HA1 ? 1 ,在侧面

BCC1 B1 内作边长为 1 的正方形 EFGC1 , P 是侧面 BCC1 B1 内一动点,且点 P 到平面 CDD1C1 距离等于线段 PF 的长,则当点 P 运动时, | HP |2 的最小值是(
A.21 B.22 C.23 D. 25 )

12.函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x ? 1) 为偶函数,当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x , 若 g ( x) ? f ( x) ? x ? b 有三个零点,则实数 b 的取值集合是( )

1 2

1 1 , 2k ? ), k ? Z 4 4 1 1 C. (4k ? , 4k ? ), k ? Z 4 4
A. (2k ?

1 5 , 2k ? ), k ? Z 2 2 1 9 D. (4k ? , 4k ? ), k ? Z 2 2
B. (2k ?

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知集合 P ? { y | y ? y ? 2 ? 0} , Q ? {x | x ? ax ? b ? 0} ,若 P ? Q ? R ,
2 2

P ? Q ? (2,3] ,则 a ? b ?
. 14.若直线 l1 : y ? x ? a 和直线 l2 : y ? x ? b 将圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 8 分成长度相等的四
2 2

段弧,则 a 2 ? b 2 ?
3

. 15.数列 {an } 中, a1 ? 1 , S n 为数列 {an } 的前 n 项和,且对 ?n ? 2 ,都有 则数列 {an } 的通项公式 an ?

2an ? 1, 2 an S n ? S n

.

16.已知函数 f ( x) 是 R 上的奇函数,当 x ? 0 时,

f ( x) ?

1 1 3 ? ? ,若对实数 (| x ? tan ? | ? | x ? tan ? | ? tan ? ) ( ? 为常数,且 ? ? ? ? ) 2 2 2 2 2
.

x ? R ,都有 f ( x ? 3) ? f ( x) 恒成立,则实数 a 的取值范围是

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)

?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? c ?
(1)求 cos A 的值; (2)求 cos(2 A ?

6 b , sin B ? 6 sin C . 6

?
6

) 的值.

18. (本小题满分 12 分) 为调查某社区年轻人的周末生活状况,研究这一社区年轻人在周末的休闲方式与性别的关 系,随机调查了该社区年轻人 80 人,得到下面的数据表:

(1)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查 3 名在该社区的年轻男性,设调查的 3 人在这一时间段以上网为休闲方式的人数为随机变量 X ,求 X 的分布列和数学期望; (2)根据以上数据,能否有 99% 的把握认为“周末年轻人的休闲方式与性别有关系”? 参考公式: k ?
2

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

参考数据:

4

P ( K 2 ? k0 )

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

k0

19. (本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形,平面 AEC ? 平面 ABCD ,

?ACB ? 900 , EF / / BC , EF ?
(1)求证: AF ? CF ;

1 BC , AC ? BC ? 2 , AE ? EC . 2

(2)当二面角 A ? EC ? D 的平面角的余弦值为

3 时,求三棱锥 A ? EFC 的体积. 3

20. (本小题满分 12 分)

x2 已知椭圆 C : ? y 2 ? 1 的短轴的端点分别为 A, B ,直线 AM , BM 分别与椭圆 C 交于 4
1 E , F 两点,其中点 M (m, ) 满足 m ? 0 ,且 m ? ? 3 . 2
(1)求椭圆 C 的离心率 e ; (2)用 m 表示点 E , F 的坐标; (3)若 ?BME 面积是 ?AMF 面积的 5 倍,求 m 的值.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? px ?

p ? 2 ln x . x

(1)若 p ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线;
5

(2)若函数 f ( x) 在其定义域内为增函数,求正实数 p 的取值范围; (3) 设函数 g ( x) ? 的取值范围. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,圆 O 的半径为 6,线段 AB 与圆 O 相交于点 C , D , AC ? 4 ,?BOD ? ?A ,OB 与 圆 O 相交于点 E . (1)求 BD 长; (2)当 CE ? OD 时,求证: AO ? AD .

2e , 若在 [1, e] 上至少存在一点 x0 , 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, 求实数 p x

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐 标方程为 ? ?

?
4

,曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 cos ? .( ? 为参数) ? ? y ? sin ?
8 , 求点 M 3

(1)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程; (2) 过点 M 且平行于直线 l 的直线与曲线 C 交于 A, B 两点, 若 | MA | ? | MB |? 轨迹的直角坐标方程. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 4 | . (1)解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)若 f ( x) ? 3 | x ? 4 |? m 对一切实数 x 均成立,求 m 的取值范围.

参考答案
6

一、选择题 ADCAA BBAAC BC

12.C【解析】由 f ( x) 为奇函数,且 f ( x ? 1) 为偶函数知 f (? x ? 1) ? f ( x ? 1) ,令 x ? x ? 1 , 则 f ( x) ? f ( ? x ? 2) ? ? f ( x ? 2) ? f ( x ? 4) ,所以 f ( x) 是周期为 4 的周期函数,又

x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ,画出 f ( x) 的函数图象如图所示,由 g ( x) ? f ( x) ? x ? b 有三个
零点,即 f ( x) 的图象与 y ? x ? b 的图象有三个交点,由图易得当 b ? (?

1 2

1 1 , ) 时, f ( x) 与 4 4

y ? x ? b 在 [?2, 2] 内有三个交点,又 f ( x) 是以 4 为周期的周期函数,故当

1 1 b ? (4k ? , 4k ? ) , k ? Z 时, g ( x) ? f ( x) ? x ? b 有三个零点,故选 C . 4 4

二、填空题 13. -5 14. 18

15.

?1, n ? 1 ? an ? ? 2 ?? n(n ? 1) , n ? 2 ?
2an 2 ? ? S n S n ?1 , ? 1 ,得 2( S n ? S n ?1 ) ? an S n ? S n 2 an S n ? S n

【解析】当 n ? 2 时,由

所以

2 2 2 2 2 又 所以 { } 是以 2 为首项, 1 为公差的等差数列, ? n ? 1 , ? ? 1, ?2, S n S n ?1 S1 Sn Sn
2 , n ?1

所以 S n ?

所以 2an ? ?

2 2 2 , ? , an ? ? n ?1 n n(n ? 1)

又 a1 ? 1 不满足上式,

7

?1, n ? 1 ? 所以 an ? ? . 2 ?? n(n ? 1) , n ? 2 ?
16. ?

?
4

?? ?

?
2

【解析】当 0 ? ? ?

?
2

时, tan ? ? 0 ,所以当 x ? 0 时, f ( x) ? x ?

3 tan ? 为增函数, 2

三、解答题 17.【解析】 (1)在三角形 ABC 中,由 可得 b ?

b c 及 sin B ? 6 sin C , ? sin B sin C

6c ,又 a ? c ?

6 b ,有 a ? 2c , 6

b 2 ? c 2 ? a 2 6c 2 ? c 2 ? 4c 2 6 所以 cos A ? . ? ? 2 2bc 4 2 6c
(2)在三角形 ABC 中,由 cos A ?

6 10 ,可得 sin A ? ,于是 4 4

1 cos 2 A ? 2 cos 2 A ? 1 ? ? , 4

sin 2 A ? 2sin A cos A ?

15 ,所以 4

cos(2 A ? ) ? cos 2 A cos ? sin 2 A sin ? 6 6 6

?

?

?

15 ? 3 . 8
5 , 6

18.【解析】 (1)由已知,每个男性周末上网的概率为

8

k 故 X ~ B (3, ) , P ( x ? k ) ? C3 ( )3? k ( ) k , k ? 0,1, 2,3 ,

5 6 5 EX ? np ? . 2

1 6

5 6

(2)因为 k 2 ?

80 ? 8.9 ? 6.635 ,故有 99%把握认为年轻人的休闲方式与性别有关系. 9

19.【解析】 (1)因为 ?ACB ? 900 ,平面 AEC ? 平面 ABCD ,所以 BC ? 平面 AEC , 又 EF / / BC ,所以 EF ? 平面 AEC ,所以 EF ? AE , EF ? CE ,又 AE ? EC ,所以

?CEF ∽ ?AEF ,∴ AF ? CF .
(2)取 AC 的中点 O ,因为 AE ? EC ,所以 EO ? AC ,又平面 AEC ? 平面 ABCD , 所以 EO ? 平面 ABCD . 如图,建立空间直角坐标系,则 C (1, 0, 0), A( ?1, 0, 0), D( ?1, 2, 0) ,设 E (0, 0, m) ,∴

??? ? EC ? (1, 0, ?m) , ??? ? ED ? (?1, 2, ?m) ,
设平面 ECD 的法向量为 n1 ? ( x, y,1) ,

??

?? ??? ? ? ?x ? m ? 0 ? n1 ? EC ? 0 则由 ? ?? ??? ,即 ? , ? ? x ? 2 y ? m ? 0 n ? ED ? 0 ? ? ? 1 ?? 得 x ? m, y ? m ,∴ n1 ? (m, m,1) .
由(1)知 EF ? 平面 AEC ,所以平面 AEC 的法向量为 n2 ? FE ? (0,1, 0) ,

?? ?

??? ?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 m 3 ? ? ? ∴ cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ,∴ m ? 1 . | n1 || n2 | 2m 2 ? 1 3
所以 VA? EFC ? VF ? AEC ?

1 1 1 1 EF ? S ?ACE ? ? 1? ? 1? 2 ? . 3 3 2 3

20.【解析】 (1)依题意知: a ? 2, c ? 3 ,∴ e ?

3 , 2
9

(2)∵ A(0,1), B(0, ?1), M ( m, ) ,且 m ? 0 ,

1 2

1 3 ,直线 BM 的斜率为 k2 ? , 2m 2m 1 3 ∴直线 AM 的方程为 y ? ? x ? 1 ,直线 BM 的方程为 y ? x ? 1, 2m 2m
∴直线 AM 的斜率为 k1 ? ?

? x2 ? y2 ? 1 ? 4m m 2 ? 1 4m ?4 由? , 得 (m 2 ? 1) x 2 ? 4mx ? 0 , ∴ x ? 0, x ? 2 , ∴ E( 2 , 2 ), m ? 1 m ?1 m ? 1 1 ?y ? ? x ?1 ? 2m ? ? x2 ? y2 ? 1 ? 12m 9 ? m 2 12m ?4 2 2 由? , 得 (9 ? m ) x ? 12mx ? 0 , ∴ x ? 0, x ? 2 , ∴ F( 2 , ). m ? 9 m2 ? 9 m ?9 ? y ? 3 x ?1 ? 2m ?
(3)∵ S ?AMF ?

1 1 | MA || MF | sin ?AMF , S ?BME ? | MB || ME | sin ?BME , 2 2

?AMF ? ?BME ,

5S ?AMF ? S ?BME ,∴ 5 | MA || MF |?| MB || ME | ,∴


5 | MA | | MB | , ? | ME | | MF |

5m m , ? 4m 12m ?m ?m m2 ? 1 9 ? m2 1 15 ∵ m ? 0 ,∴ 2 ? 2 ? 1 ,即 (m 2 ? 3)(m 2 ? 1) ? 0 , m ?1 m ? 9
又∵ m ? ? 3 ,∴ m 2 ? 3 ? 0 ,∴ m 2 ? 1 ,∴ m ? ?1 为所求. 21. 【解析】已知函数 f ( x) ? px ? (1) f ( x) ? 2 x ?

p ? 2 ln x . x

2 ? 2 ln x , f (1) ? 0 , x

f ' ( x) ? 2 ?

2 2 ? , f ' (1) ? 2 , x2 x

则切线为: y ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 .

p 2 px 2 ? 2 x ? p (2) f ( x) ? p ? 2 ? ? , x x x2
'

由 f ( x) 在定义域 (0, ??) 内为增函数,所以 f ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,
'

∴ px ? 2 x ? p ? 0 即 p ?
2

2x ,对 ?x ? 0 恒成立, x ?1
2

10

设 h( x ) ?

2x2 ? 2 ? 4 x2 2 ? 2 x2 2x ' h ( x ) ? ? 2 , , ( x ? 0) ( x 2 ? 1) 2 ( x ? 1) 2 x2 ? 1

易知, h( x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减,则 h( x) max ? h(1) ? 1 , ∴ p ? h(1) ? 1 ,即 p ? [1, ??) . (3)设函数 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? px ?

p ? 2e ? 2 ln x , x ? [1, e] , x

则原问题 ? 在 [1, e] 上至少存在一点 x0 ,使得 ? ( x0 ) ? 0 ? g ( x) max ? 0 .

? ' ( x) ? p ?

p ? 2e 2 px 2 ? 2 x ? ( p ? 2e) , ? ? x2 x x2
?2 x ? 2e ? 0 ,则 ? ( x) 在 x ? [1, e] 上单调递增, x2

10 当 p ? 0 时, ? ' ( x) ?

? ( x) max ? ? (e) ? ?4 ? 0 ,舍;
1 2e 20 当 p ? 0 时, ? ( x) ? p( x ? ) ? ? 2 ln x , x x 1 2e ∵ x ? [1, e] ,∴ x ? ? 0 , ? 0 , ln x ? 0 ,则 ? ( x) ? 0 ,舍; x x
30 当 p ? 0 时, ? ' ( x) ?

p ( x 2 ? 1) ? 2(e ? x) ? 0, x2
p 4e , ? 4 ? 0 ,整理得 p ? 2 e e ?1

则 ? ( x) 在 x ? [1, e] 上单调递增, ? ( x) max ? ? (e) ? pe ? 综上, p ? (

4e , ??) . e ?1
2

22. 【解析】 (1)∵ OC ? OD ,∴ ?OCD ? ?ODC ,∴ ?OCA ? ?ODB . ∵ ?BOD ? ?A ,∴ ?OBD ∽ ?AOC ,∴ ∵ OC ? OD ? 6, AC ? 4 ,∴

BD OD , ? OC AC

BD 6 ? ,∴ BD ? 9 . 6 4

(2)∵ OC ? OE , CE ? OD ,∴ ?COD ? ?BOD ? ?A . ∴ ?AOD ? 1800 ? ?A ? ?ODC ? 1800 ? ?COD ? ?OCD ? ?ADO . ∴ AD ? AO . 23. 【解析】 (1)直线 l : y ? x ,曲线 C :

x2 ? y2 ? 1 . 2

11

? ? x ? x0 ? ? (2)设点 M ( x0 , y0 ) 及过点 M 的直线为 l1 : ? ?y ? y ? 0 ? ?
由直线 l1 与曲线 C 相交可得:

2 t 2 ( t 为参数). 2 t 2

3t 2 2 2 ? 2tx0 ? 2 2ty0 ? x0 ? 2 y0 ?2 ? 0, 2

| MA | ? | MB |?

2 x 2 ? 2 y0 ?2 8 8 2 2 ?| 0 |? ,即: x0 ? 2 y0 ?6, 3 3 3 2

x 2 ? 2 y 2 ? 6 表示一椭圆,
取 y ? x ? m 代入

x2 ? y 2 ? 1 ,得: 3 x 2 ? 4mx ? 2m 2 ? 2 ? 0 , 2

由? ? 0得? 3 ? m ? 3 , 故点 M 的轨迹是椭圆 x ? 2 y ? 6 夹在平行直线 y ? x ? 3 之间的两段弧.
2 2

24. 【解析】 (1)当 x ? 4 时, f ( x) ? 2 x ? 1 ? ( x ? 4) ? x ? 5 ? 0 , 得 x ? ?5 ,所以 x ? 4 成立; 当?

1 ? x ? 4 时, f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 4 ? 3 x ? 3 ? 0 , 2 1 时, f ( x) ? ? x ? 5 ? 0 ,得 x ? ?5 ,所以 x ? ?5 成立. 2

得 x ? 1 ,所以 1 ? x ? 4 成立; 当x??

综上,原不等式的解集为 {x | x ? 1或x ? ?5} . (2)令 F ( x) ? f ( x) ? 3 | x ? 4 |?| 2 x ? 1| ?2 | x ? 4 |?| 2 x ? 1 ? (2 x ? 8) |? 9 , 当?

1 ? x ? 4 时等号成立. 2

即有 F ( x) 的最小值为 9, 所以 m ? 9 . 即 m 的取值范围为 (??,9] .

12


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