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帕斯卡定理及其应用


21 00年第 3期 

5  

















用 

沈 文 选 
( 湖南师范大学数学奥林匹克研究所 , 10 1  408)

中圈分类号 : 13 1 0 2.  

文献标识码 :   A

文章编 号: 0 5 6 1 (0 0 0 0 0 一 5 10 - 4 6 2 1 )3- 0 5 o 

( 本讲适 合 高中 )  
帕斯 卡 定 理  设 六 边 形 A C E 内接  BDF

当 六 边 形 变 为 
△ A 日) ( E F   ( C D) ( ) 时, 组 边 A C   三 B、 D、

于圆( 与顶 点 次序 无 关 , A C E 即 B D F无 需 为 
凸六边 形 ) 直 线 A 与 D 交 于 点  , 线  , B E 直 C D与 F A交 于 点 z, 线 E 直 F与 B C交 于 点  则  、 、 y z三点共线 .  

E F变 为点 , 图 3 结  如 ,
论仍成 立. 时 , 点  此 三

所 共 的线 称 为 勒穆 瓦 
纳 ( e ie 线 . L mo )   n 下 面从 四个方 面列 
例子 .   1 已知六 点共 圆 

将直线 X Z称做 帕斯 卡线. Y   在此 定 理 中 ,当 内 接 于 圆 的 六 边 形  ACE B D F的六 个顶 点 改 变 字 母 顺 序 , 两 取  两
对边 A B与 D B E、 C与 E C F、 D与 A F共有 6   0 种 不同 的情 形 , 应有 6 相 0条帕斯 卡线.  

当六边形 中有两个顶点重合 , 即对于内接  于圆的五边 形 , 亦有 结论 成 立. 圆 内接五 边  在 形  ( C E 中 , B) D F 点 

例 1 如 图 4, 过  △ A C的顶 点 A B、 B 、  

A 与 B重合) ( 处的切  线与 D E的交点 X、 C B  与F E的交 点 Y C 、 D与 
A F的 交 点 z 三 点 共 

c各作一直线使之交  于 一 点 P, 分 别 交  而 △ A C 的 外 接 圆 于  B
A 、   C . 在 外 接   B 、   又 圆 上任 取 _ 点 Q, 则  Q   Q  Q   B 、 A 、 B 、 c 与 C 

线, 图1 如 .   当六 边 形 变 为 四 

图l  

C A A、B对应 的交点  、 y三点 共线. z、  
证明

边形 A c D F) A( C(   等 时 , B( ) E( 或 B) D)   如图 2 结论 仍成立. ,  

三组 对 边 B C与 A Q、 A与 Q   A   曰 B   C B 、A 与     的交点分 别为  、 P  Z、 .
由帕斯卡定 理知 P、 Z三点共线 . X、  

一簿 
图4   在 圆内接六边 形 B A   B 中 , C A Q   其 

在 圆内接六 边形 C A   C 中 , 三组 对  BAQ   其 边C B与 A Q、A与 Q  A   C C的交 点    B C、A 与   分 别为  、 、. YP  由帕斯卡定 理知 P、 、 Y X三点 共线.  
故  、 、 Z y三点 共线.  
图 2  

例 2 已知 △ A C为确定 的三角 形 ,   B A、
,、

收稿 日期 :0 9—1 2  20 1— 3

C  分 别 为 边 B 、 A A 的 中 点 , 为  C C 、B P

6  

中 等 数 学 

△ A c 接 圆上 的动 点 ,A P   P  分 别   外 P  B 、c 与△ A C的外 接 圆交 于 另外 的点  、 、  B   c.   若 A、 C A 、 、  不 同的点 , B、 、   C是 则直线 A    A、
B  C   出一个 三 角形 . 明 : B 、C交 证 这个 三 角 形  的面积不 依赖 于点  l 】   ( 4 第 8届 I MO预选 题 )  

△ A C的 外 接 圆分  B
别 切 于 点 D、 F, E、  
设  、 分 别 为 弧  Ⅳ
^ ^  

A A B、 C的 中点 , ,为 
A B 的内心. AC  

C 

证明

如 图 5 设 A 、 、 是 直线  、 , 。 。   

此 时 , F为 圆  点 与 A A C的外 接  B

图6  

B  C   B 、C交出的三角形的三个顶点.  
下 面证 明 :  
s  
: , 一 … '   L  ’ .

圆的位似中心 , 且过  的切线平行于 B ,   A因 而 , 、 为一组对应点.     于是 , 、   三点  F D、 共线 ( 也可设 直 线 F 交 △ A C的外 接 圆于  D B
、  

点  , 证得 朋 为 弧B 中点 ) 则 A的 .  

由 此 可 得 

同理 , 、 』三点 共线 . F E、 v  
而 B C 分 别 为  A C、 N、 M B   的平 

△ A  c 的面积  。 0 不依赖 于点 P的 
选 取.   图5  

分线 , 则知 其 交点 为 
注 意到 圆 内接 六 边 形 A N MC 由帕 斯  BF , 理  卡定 理 知 D、、 ,E三点共 线.   一  ,
记 圆 C 的 圆心为 0 . 。 。  
司  

注 意到 图 中的圆 内接 六边 形 A C   BC

,  

由帕斯 卡定理 知 三 组 对边 A B与 C P、 C与    B


c   以 的交 点 C 、 B 三 点 共 线 , C与    A 、 0   同理 , A 、 分 别 在 直 线 B C 、 。, 点 。  。 AB 

由D E上 A , ,有 
r 。


即知点  在 △ A C的 中位线 A C 上。 B  。  
上.  

AO。 AO。 AD  AI — AD  AI 一  

1  
c0 



2 ‘r       A ~

上  
导t   .导 a n
C 
¨ a“ 

由4 /cA  △ B CA c z CB  c / 1l o 0l/ ̄A o 1  ?


风 C  A o o 1  C


’AC0 B 1 ‘   C0  

同理 , B ∥CB  A C 由 C :1 1  o
从 而 ,  o BC o
BCo

BC  o
. 

由 t

an 

A  
一  

t an

=  

t   an

. 

B 
an  

:  

考日 B L。 。 ∥/ . 4 



故s c s 。 寺I佃. △ 0: c s c 0 = △ 
2 构造 六点 共圆  例 3 设 与△ A C的外接 圆 内切并 与边  B
A A B、 C相 切的 圆为 C , r 为圆 C 的半径 , 。记 。 。  



害t譬 t詈 n + ? +   导  a a n n 导 岫 
r  r 

故  + +    
r 

.  ’=B+ 2  =2   = 。   =  。2   C = =  —  A+  
c0  c0   co 

类似 地定义 r、 r △ A C的内切 圆半径. ^ ,是 B  
证 明 : + + c  L r   r≥4 . 。 r 
=3 +t n   + tn   +tn   a 2A a 2B a 2C 

( 2 届伊朗数学奥林匹克( 第 0 第三轮 )  )
证 明  如 图 6, 圆  设 与 A A、 B、 C  

=3 +t n A a 

? an t

导 t . + + 导t   a a n n

2 1 第 3期  00年

7  

啪 -  ( — 罢 + 虿 吉【   J 导  +【 一 )  。 胁   舳  At   l导 t )l詈 t ) ( -  ( 一   协 n   锄J t a +a 一 拿】 a C t a J n n n  


凡 Ds孵D . 又 — 一FT R    ?   嚣= =     D
中点.  

③  

由式①、 ③知- 。 1 即 F是弧c 的 ②、 , u = 6  , ’  ̄ - F D  

≥ 4.  

因 此 , +r +     r 6 r≥4‘ 。 r  

显然 , B D 的 内心 ,为 C △ C E与 B 的  F
交点.  

例 4 凸 四边 形 A C 内接 于 圆 厂, BD 与边  B C相 交 的 一 个 圆 与 圆 J 切 , 分 另 与  r ’内 且 Ⅱ
B A D、C切 于点 P、 . 证 : A C的 内心 与  Q求 △ B

注意到 圆内接六 边形 E F D 由帕斯卡  T B C,
定理知 P ,尺三点共线. 、、   所 以, B C的内心 , J △ D 在 p Q上.   同理 , A C的内心 , 在 P △ B   也 Q上.  
3 证 明六点 共圆 

△ D C的内心 皆在直线 P B Q上.  
(0 7, 2 0 国家集训 队测试 )   证 明  如 图 7 设 圆 厂 的 圆 心 为 0, , 与 
B C相 交且 与 圆  厂相 内切 的 圆 

例 5 如 图 8 点  ,

A 

的圆心为 0 , ,切  点 为 
显 然 ,0、  

P在△ A C的内部 ,  B 尸
在边 B C A C、A、B上 的  射 影 分 别 为 D、 F,  、   过 点  分 别 作 直 线 


0 、 三 点 共  ,T 线.   设D B与 c   4

C P的垂 线 , 足  垂
图8  

分 别 为  、 求 证 :    
图7  

交 于点  , 直线 
交C D于 点 

ME N B 三 线 共  、 F、 C
点.  

尺, 直线 豫 交o0于点 F, T交 o0 C  于点  ,   直 线 T 交 o  于 点 E, T 与 o  ,交 于  P 0 D 0
M 

(0 5 国家集训 队测试 ) 20 ,  
证明 由题设有 
ANP =9 . 0。  
AEP =  AFP =  AM P  
=  

此时 , 在 一个 以点 7为位 似 中 心 的位  存 1 似变 换, 得 o0 使 。变 为 O 0 因 此 , — C, .    
? D, —E, 、 , P 一 直线 B D变 为过 点 E且平 行 于  B D的00的切线. 以 , 所 E为弧B D的中点.  
T M  T . C Dpz DN    D    DT

从而 , A N、 P、 M 都 在 以 A 为直  点 、 F、 E、 P
径 的圆上.  

于是 , 于圆 内接 六边形 A N ME, 的  对 FP 它
三组 对边 A F与 P 刖 与 M N M、 E、 P与 E A的交  点分 别为 B、 C  Q、 . 由帕斯卡定理知 B、 c三点共线. Q、  

由丽  
。Q T‘    C   C
:   .  



‘  
① 、  

则点 Q在 B C上.   故 ME、F、C三线共 点. Ⅳ B   例 6 已知 △ A C为锐 角三 角形 , A   B 以 B
为直 径的oK分 别 交 A 、 C于点 P、 . 别  CB Q分 过点 A、 o  的两条 切线 交于点 R, Q作 分别过 

对 △ C H 及截 线 尺 P应 用梅 涅 劳 斯定  D Q
理有 
C   P1 R D  1 , 0   R   H  c ‘ DP q  
一 ?一 = l  

j D R 
j  
。 n

CR

: 

’  
.  

② 

点 B、 OK的两 条切 线交 于点 S 证 明 : P作 . 点 
C在线段  上.  

8  

中 等 数 学 

(O2澳大利亚国家数学竞赛) 2O ,   证 明 如 图 9 设  ,
R 与 P 、C与 R 、 Q SA K  B C与 


对 △ AC B 

应 用 帕 斯 卡 定 
理知 S D、   、 E三 P  

分 别 交 于 点 

点 共 线. 而 , 从  
点  与 E 重 

lⅣ, , 联结 P W   、 K、 K、
Y KW  
=  

Q W 时 、 则  K、 N、  
A  

合.   因此 , 尺、 点  
Q的位置 如 图 l  0
所示.  
图9   图 l  0

Y Q一 W Q K   K 



÷(删 一 印     P )
÷  A P K 
ABP = 1 0。一 8  
Y PW.  

由切 割线定 理有 
T  =T r S   B? C A R? Q.A =S S  
s  




=  

APS  



s s B? C 


T r  R?Q



 

设  与 B C交 于点  对 △ T S及 截线  X R U P Q分别应 用 梅涅 劳斯定 理有  B 、C
XR


由此 , 、 、 、 四点共 圆. YP K W   又P S是 oK 的切线 , 则 
KYW =   WPK =9 . 0。 

. 



RT US B —l oT s cx一~     X ’  P    

塑 一  1

. . 一      1

同理 , K   NW = K W = 0 .   Q 9。   因此 , P、 、 Q在 以 K 为直 径 的 圆  点 Y N、 W

由上述 三式 及相交 弦 定理得 
X X X X. R? Q= B? C  
蚁s   P U S  X   B X   C R S  Q S  

上, 即  、 、 K Q、 Y P、 、 N六点共 圆.  
在 圆内接 六边形 K P Q 中 , 用 帕斯  YW N 应 卡定 理 知 , 组 对 边 K 三 Y与 QW、 】 与 Q   P, N、

而’  

而‘ 。 ‘ 丽    

:  

PW与 K 的交 点 R、 S共线. N C、   故点 C在 线段 R S上.  
4 其他特 殊情 形  例 7 在 R △ A C 中 , A= 0 , B t B   9。    

x x .一 2 R.Q:S   A T r   B? C T  。 R? Q X X   A  


练 习 题 
1 在△ A C中 , 一 圆内切 于△ A C的  . B 有 B

外接 圆 , 与 A A 且 B、C分别 切 于点 P、 . 明 : Q证   P Q的 中点是△ A C的 内切 圆 圆心. B   ( 根据第 2 0届 I MO试 题改 编 )  
提 示 : D 为两 圆公 切 点 , 设 直线 D D   P、 Q

> C,   0是 △ A C 的外 接 圆 的 圆 心 , 、 B     是 o0的两 条 切 线 , 点 分 别 为 A、 . B   切 曰设 C

与  交 于 点 S A ,C与  交 于 点 D,B与 D   A S 交 于点 E,E与  交 于 点  又设 P是 2 C  上 

分 别交 外 接 圆 于 点  、 对 圆 内 接 六 边 形  H
A H K 应 用 帕斯卡 定理 知 , BD C 三组 对 边 A B与 

的点 , 且使得 E P上  , Q≠c 是 c Q( ) P与 
o0 的交 点 , R是 Q  与 o0 的 交 点 , B   令 R
与 Z 交 于点  证 明 :    
一  

D B K、 H与 K 、 H与 A CD C的 交 点 P、、 IQ三 点  共线. 再证 , 为其 内心.  
2 设 凸 四边 形 A C . B D的外 接 圆 和 内切 圆 

[] 3 

TU? P —T   ’ T A  

的圆心分 别为 0、, 角线 A 、D交 于点  ,对 CB
证 明 : IP三点共 线. 0、、  

( 1 韩 国数 学奥林 匹 克 ) 第 8届   证明 如 图 1 , B 的延 长 线 与 过 点  0设 A
C的 o0的切 线交 于点 E .    

( o, 2 5捷克一波兰一斯洛伐克数学竞赛) o   提示: 设 , 、 、 的 延 长 线 分 别 交  、      

21 0 0年第 3期 

9  

00 于点 E、 C、 设 E 与 C ,、 M B H交 于点  对 圆 内接 六 边 形 A H B G H B C D E、 C F E分 别 应  用 帕斯 卡定 理 知 P、 , 0、 , 别 三点   、 及 X、 分
共线.  

设  c  与 A 交 于点 O’ D’ .  
对 圆 内接 六边 形 A   ’ E’ 应用  , C’ D’ 帕斯 卡定理 知三组 对边 A 与 C E’ F’   F。   、 曰’ 与 D E’ ‘  与 A 的交 点    、 C D‘ 三点共 线.   、  、   Ⅳ O’

3 凸 四边 形 A c 的 外 接 圆 的 圆 心 为  . 曰D

0, 已知 A #B A C D,C与 B D交 于点  若 P为  四边形 A C 内部 一点 , 得  BD 使
/ P B+ A   =   配 十   ) c=9   o

又 P‘ M  与 A 的交 点 , P’= 是 Ⅳ‘ D‘ 则   0 即点 P  ,  在直线 B’ 上. C’  
由反演性 质可 导 出 


求 证 : 、 E三点 共线. 0 P、  

曰、 C四点 共 圆  P、

( 9届香 港数 学奥林 匹克 ) 第  
提示: 长 A B C D 延 P、 P、 P、 P分 别交 外 接 

= AD ?   DP = BD ? DC  j AD =肋 : DC :   =  
Z 

.  

圆于点 A 、 C 、    B 、  D .  
由 9 。   P B+ P B 0 = A   C 
1  


故A √ . P= l   2
1  

1  

÷ A0 ÷ c伽 :   十   ÷ AD    c


参考文献 :  
[ ] 李建泉译. 铝 届 I O预选题 ( ) J . 1 第 M 三 [ ] 中等 数学 ,  
20 ( O . 08 1)  

知 A C 是外 接 圆的直 径.      同理 ,     是其 直径. BD也   对 圆 内接六 边形 B   C   B A CD应 用 帕斯 卡  定 理知 三组对 边 B   C  B A 与 C D、 C B 与 C、    A  与 B 的交点 P、 E三 点共 线 ; D Q、 又对 圆内接 
六 边 形 A     D B 应 用 帕 斯 卡 定 理知 三 组  A CD    

[ ] 20 - 2 0 国内外数学竞赛套题及精解 [ ] 中等数  2 02 0 3 J.
学 ,0 4 增 刊 ) 20 ( .  

[ ] 20 - 20 3 0 4 05国内外数学竞赛套题及精解 [ ] 中等数  J.
学 ,0 6 增 刊 ) 20 ( .  

[ ] 20 - 20 国内外数学竞赛套题及精解 [ ] 中等数  4 06 07 J.
学 ,0 8 增 刊 ) 20 ( .  

对 边 A   D  A C 与 D 、   与 曰A的  A 与 D 、      CD  
交 点 P、 Q三点 共线. 0、  







者  

4 在 等腰 R △ A 。 t BC中 , A= 0 ,B=   9 。A   1 D为 B , C的 中点 , F为 B E、 C上 另 两 点 ,   为 △ A E的外 接 圆 和A A F的外 接 圆 的另  D B


1 编辑 部现 正发 售 《 . 中等 数学》合订 
本 20 ( )20 ( )2 0 ( ) 05 下 、0 8 上 、0 8 下 每册 2  7 元 ;0 8 全一册 ) 20 ( 每册 5 O元 ;   热售 2 0 ( ) 0 9 下 每册 3 6元 ,09 全一  20 ( 册) 每册 7 0元。均含 邮挂费 。   2 由 我 编 辑 部 编 辑 出 版 的 《 06   . 2o— 20 07国 内 外 数 学 竞 赛 套 题 及 精 解 》   ( O7- O 8国 内外 数 学 竞 赛 套 题 及 精  2 O - 2O

个 交点 , 为 直 线 A Ⅳ F与 A A E的 外 接 圆  C

的另一个 交 点 , P为 直线 A 与△ A D MN 的外 

接 圆 的另 一个交 点. A 求 P的长 度.  
提示: 以点 A为 反 演 中心 、 =1为反 演  r 变换 基 圆的半径. 用  ’ 点  的像. 表 则  点 B、 D、 C在 一条直 线上  F、 E、 铮点 A、 、 、  、 、   同一圆上 , B F’ D E‘ C 在  

解 》 在 发售 。每本 定 价 :O元 , 本 订  正 3 单
阅 :6元( 3 含邮挂费) 1 本 以上不收邮费 , ,1  

4 本 以上请直接与编辑部联系。 l  
3 编辑 部 目前 还 有 部 分 2 0 . 0 2—2 O  O8 年过刊 , 每本 3 , 元 邮寄另加 3 % 邮费。 0   地址: 天津市河西 区卫津路 2 1号《 4 中  等数学 》 编辑部 
电 话 :2 2 5 23  0 2— 34 2 3

M 为△ A E 的外接 圆与 △ A F的外 接  D B
圆的一个 交点甘D E 与  ,’ 于点 肘 ,     交   A F与△ A E外 接 圆 的另 一 交点 为 |   C I v 甘 A   G E 交于点  , F与      A D与  A N外 接圆 的另 一交 点 为 P   M 甘
A  与  D ,’ 于点 P . v交   

邮 编 :00 4 30 7 

本刊 编辑部 


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