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2013年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析


2013 年湖北省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2013?湖北)在复平面内,复数 于( ) A.第一象限 (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 将复数 z= 的分母实数化,求得 z=1+i,即可求得 ,从而可知答案.
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解答: 解:∵z=

=

=

=1+i,

∴ =1﹣i. ∴ 对应的点(1,﹣1)位于第四象限, 故选 D. 点评: 本题考查复数的代数表示法及其几何意义,将复数 z= 基础题.

的分母实数化是关键,属于

2. (5 分) (2013?湖北) 已知全集为 R, 集合 则 A∩?RB=( A.{x|x≤0} ) B.{x|2≤x≤4}



C.{x|0≤x<2 或 x>4}D.{x|0<x≤2 或 x≥4}

考点: 其他不等式的解法;交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 利用指数函数的性质可求得集合 A,通过解一元二次不等式可求得集合 B,从而可求 得 A∩CRB. 解答: 解:∵ ≤1= ,
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∴x≥0, ∴A={x|x≥0}; 2 又 x ﹣6x+8≤0?(x﹣2) (x﹣4)≤0, ∴2≤x≤4. ∴B={x|2≤x≤4}, ∴?RB={x|x<2 或 x>4}, ∴A∩?RB={x|0≤x<2 或 x>4}, 故选 C. 点评: 本题考查指数函数的性质与元二次不等式,考查交、并、补集的混合运算,属于中档
1

题. 3. (5 分) (2013?湖北)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题 p 是“甲降 落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围” 可表示为( ) A.(¬p)∨(¬q) B.p∨(¬q) C.(¬p)∧(¬q) D.p∨q 考点: 四种命题间的逆否关系. 专题: 简易逻辑. 分析: 由命题 P 和命题 q 写出对应的¬p 和¬q,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范 围”即可得到表示. 解答: 解:命题 p 是“甲降落在指定范围”,则¬p 是“甲没降落在指定范围”, q 是“乙降落在指定范围”,则¬q 是“乙没降落在指定范围”, 命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括 “甲降落在指定范围,乙没降落在指定范围” 或“甲没降落在指定范围,乙降落在指定范围” 或“甲没降落在指定范围,乙没降落在指定范围”三种情况. 所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬p)V(¬q) . 故选 A. 点评: 本题考查了复合命题的真假,解答的关键是熟记复合命题的真值表,是基础题.
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4. (5 分) (2013?湖北)将函数 的图象向左平移 m(m>0)个 单位长度后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( ) A. B. C. D.

考点: 两角和与差的正弦函数;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 函数解析式提取 2 变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数, 利用平移规律得到平移后的解析式, 根据所得的图象关于 y 轴对称, 即可求出 m 的最 小值. 解答: 解:y= cosx+sinx=2( cosx+ sinx)=2sin(x+ ) ,
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∴图象向左平移 m(m>0)个单位长度得到 y=2sin[(x+m)+ ∵所得的图象关于 y 轴对称, ∴m+ =kπ+ (k∈Z) , .

]=2sin(x+m+

) ,

则 m 的最小值为

故选 B 点评: 此题考查了两角和与差的正弦函数公式,以及函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,熟 练掌握公式是解本题的关键.

2

5. (5 分) (2013?湖北) 已知 0<θ<

, 则双曲线

与 C2:

﹣ A.实轴长相等

=1 的(

) C.焦距相等 D.离心率相等

B.虚轴长相等

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同,即可得出正确答案. 解答: 解:双曲线 的实轴长为 2cosθ,虚轴长 2sinθ,焦距 2,
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离心率



双曲线

的实轴长为 2sinθ,虚轴长 2sinθtanθ,焦

距 2tanθ,离心率



故它们的离心率相同. 故选 D. 点评: 本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等,属于基础题. 6. (5 分) (2013?湖北)已知点 A(﹣1,1) ,B(1,2) ,C(﹣2,﹣1) ,D(3,4) ,则向 量 A. 在 方向上的投影为( B. ) C. D.

考点: 平面向量数量积的含义与物理意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 先求出向量 、 ,根据投影定义即可求得答案.
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解答: 解: 则向量

, 方向上的投影为:

, ?cos< >

=

?

=

=

=



故选 A. 点评: 本题考查平面向量数量积的含义与物理意义,考查向量投影定义,属基础题,正确理
3

解相关概念是解决问题的关键. 7. (5 分) (2013?湖北)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止,在此期间汽车继续行驶 的距离(单位:m)是( ) A.1+25ln5 B. 8+25ln

C.4+25ln5

D.4+50ln2

考点: 定积分. 专题: 导数的综合应用. 分析: 令 v(t)=0,解得 t=4,则所求的距离 S=
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,解出即可.

解答: 解:令 v(t)=7﹣3t+

,化为 3t ﹣4t﹣32=0,又 t>0,解得 t=4.

2

∴由刹车行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离 s= = =4+25ln5.

故选 C. 点评: 熟练掌握导数的运算法则和定积分的几何意义是解题的关键. 8. (5 分) (2013?湖北)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何 体组成,其体积分别记为 V1,V2,V3,V4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简 单几何体均为多面体,则有( )

A.V1<V2<V4<V3 B.V1<V3<V2<V4 C.V2<V1<V3<V4 D.V2<V3<V1<V4 考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 利用三视图与已知条件判断组合体的形状,分别求出几何体的体积,即可判断出正确 选项. 解答: 解:由题意以及三视图可知,该几何体从上到下由:圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱 台组成,
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体积分别记为 V1= V2=1 ×π×2=2π, V3=2×2×2=8 V4= ∵ , = ;
2

=



∴V2<V1<V3<V4 故选 C. 点评: 本题考查简单组合体的三视图与几何体的体积的求法, 正确判断几何体的形状与准确 利用公式求解体积是解题的关键. 9. (5 分) (2013?湖北)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的 小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X,则 X 的均值 E (X)=( )

A.

B.

C.

D.

考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 压轴题;概率与统计. 分析: 由题意可知:X 所有可能取值为 0,1,2,3.①8 个顶点处的 8 个小正方体涂有 3 面,②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体,还剩下 3 个,一共有 3×12=36 个小 正方体涂有 2 面, ③每个表面去掉四条棱上的 16 个小正方形, 还剩下 9 个小正方形, 因此一共有 9×6=54 个小正方体涂有一面,④由以上可知:还剩下 125﹣(8+36+54)=27 个内部的小正 方体的 6 个面都没有涂油漆, 根据上面的分析即可得出其概率及 X 的分布列, 利用数 学期望的计算公式即可得出. 解答: 解:由题意可知:X 所有可能取值为 0,1,2,3.
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①8 个顶点处的 8 个小正方体涂有 3 面,∴P(X=3)=



②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体,还剩下 3 个,一共有 3×12=36 个小正方 体涂有 2 面,∴P(X=2)= ;

③每个表面去掉四条棱上的 16 个小正方形, 还剩下 9 个小正方形, 因此一共有 9×6=54
5

个小正方体涂有一面,∴P(X=1)=



④由以上可知:还剩下 125﹣(8+36+54)=27 个内部的小正方体的 6 个面都没有涂 油漆,∴P(X=0)= X P 0 1 . 2 3

故 X 的分布列为 因此 E(X)= = .

故选 B. 点评: 正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、 分布列与数学 期望是解题的关键. 10. (5 分) (2013?湖北)已知 a 为常数,函数 f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点 x1,x2(x1 <x2) ( ) A. B. C. D.

考点: 利用导数研究函数的极值;函数在某点取得极值的条件. 专题: 压轴题;导数的综合应用. 分析: 先求出 f′(x) ,令 f′(x)=0,由题意可得 lnx=2ax﹣1 有两个解 x1,x2?函数 g(x) =lnx+1﹣2ax 有且只有两个零点?g′(x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于 0.利 用导数与函数极值的关系即可得出. 解答: 解:∵ =lnx+1﹣2ax, (x>0)
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令 f′(x)=0,由题意可得 lnx=2ax﹣1 有两个解 x1,x2?函数 g(x)=lnx+1﹣2ax 有 且只有两个零点?g′(x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于 0. . ①当 a≤0 时,g′(x)>0,f′(x)单调递增,因此 g(x)=f′(x)至多有一个零点, 不符合题意,应舍去. ②当 a>0 时,令 g′(x)=0,解得 x= ∵x , 时,g′

,g′(x)>0,函数 g(x)单调递增;

(x)<0,函数 g(x)单调递减. ∴x= 0, 是函数 g(x)的极大值点,则 >0,即 >

6

∴ln(2a)<0,∴0<2a<1,即 ∵



,f′(x1)=lnx1+1﹣2ax1=0,f′(x2)=lnx2+1﹣2ax2=0.

且 f(x1)=x1(lnx1﹣ax1)=x1(2ax1﹣1﹣ax1)=x1(ax1﹣1)<x1(﹣ax1)= <0, f(x2)> , . . , =lnx+ >0,函

令 h(x)=x(lnx﹣ ) , (x>1) 数 h(x)>h(1)= ,∴

故选:D. 点评: 本题考查了利用导数研究函数极值的方法,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理 能力与计算能力,属于难题. 二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填 在答题卡对应题号的位置上. 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分. (一) 必考题 (11-14 题) (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你 所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分. ) 11. (5 分) (2013?湖北)从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 至 350 度之间,频率分布直方图如图所示: (Ⅰ)直方图中 x 的值为 0.0044 ; (Ⅱ)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为 70 .

考点: 频率分布直方图. 专题: 图表型. 分析: (I)根据频率分布直方图中,各组的频率之和为 1,我们易得到一个关于 x 的方程, 解方程即可得到答案. (II)由已知中的频率分布直方图,利用[100,250)之间各小组的纵坐标(矩形的高) 乘以组距得到[100,250)的频率,利用频率乘以样本容量即可求出频数. 解答: 解: (Ⅰ)依题意及频率分布直方图知, 0.0024×50+0.0036×50+0.0060×50+x×50+0.0024×50+0.0012×50=1, 解得 x=0.0044.
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(II)样本数据落在[100,150)内的频率为 0.0036×50=0.18, 样本数据落在[150,200)内的频率为 0.006×50=0.3. 样本数据落在[200,250)内的频率为 0.0044×50=0.22, 故在这些用户中, 用电量落在区间[100, 250) 内的户数为 (0.18+0.30+0.22)×100=70. 故答案为:0.0044;70. 点评: 根据新高考服务于新教材的原则, 作为新教材的新增内容﹣﹣频率分布直方图是新高 考的重要考点.对于“频率分布直方图学习的关键是学会画图、看图和用图. 12. (5 分) (2013?湖北)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 i= 5 .

考点: 程序框图. 分析: 框图首先给变量 a 和变量 i 赋值,然后对 a 是否等于 4 进行判断,不等于 4,继续判
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断 a 是否为奇数,是执行路径 a=3a+1,否执行路径 行,当 a 等于 4 时跳出循环,输出 i 的值. 解答: 解:框图首先给变量 a 和变量 i 赋值,a=4,i=1. 判断 10=4 不成立,判断 10 是奇数不成立,执行

,再执行 i=i+1,依次循环执

,i=1+1=2;

判断 5=4 不成立,判断 5 是奇数成立,执行 a=3×5+1=16,i=2+1=3; 判断 16=4 不成立,判断 16 是奇数不成立,执行 判断 8=4 不成立,判断 8 是奇数不成立,执行 ,i=3+1=4; ,i=4+1=5;

判断 4=4 成立,跳出循环,输出 i 的值为 5. 故答案是 5. 点评: 本题考查了程序框图,循环结构中含有条件结构,外面的循环结构为直到型,即不满 足条件执行循环,直到条件满足跳出循环.是基础题.

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13. (5 分) (2013?湖北) 设 x, y, z∈R, 且满足: .

, 则 x+y+z=

考点: 一般形式的柯西不等式;进行简单的合情推理. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 2 2 2 2 分析: 根据柯西不等式,算出(x+2y+3z) ≤14(x +y +z )=14,从而得到 x+2y+3z 恰好取
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到最大值

,由不等式的等号成立的条件解出 x=

、y=

且 z=

,由此

即可得到 x+y+z 的值. 解答: 解:根据柯西不等式,得 (x+2y+3z) ≤(1 +2 +3 ) (x +y +z )=14(x +y +z ) 当且仅当
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

时,上式的等号成立
2

∵x +y +z =1,∴(x+2y+3z) ≤14, 结合 ∴ = ,可得 x+2y+3z 恰好取到最大值 ,可得 x= + + ,y= = ,z=

因此,x+y+z= 故答案为:

点评: 本题给出 x、 y、 z 的平方和等于 1, 在 x+2y+3z 恰好取到最大值 的情况下求 x+y+z 的值.着重考查了运用柯西不等式求最值的方法,属于中档题.抓住柯西不等式的等 号成立的条件,是本题得以解决的关键. 14. (5 分) (2013?湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形 数 1,3,6,10,…,第 n 个三角形数为 k) (k≥3) ,以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 N(n,4)=n , 五边形数
2 2

.记第 n 个 k 边形数为 N(n,





六边形数 N(n,6)=2n ﹣n, … 可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)= 1000 . 考点: 归纳推理. 专题: 计算题. 分析: 观察已知式子的规律, 并改写形式, 归纳可得
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, 把 n=10,

9

k=24 代入可得答案. 解答: 解:原已知式子可化为: , , 由归纳推理可得 故 , =1100﹣100=1000

, ,

故答案为:1000 点评: 本题考查归纳推理,观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键,属基础题. 15. (5 分) (2013?湖北) (选修 4﹣1:几何证明选讲) 如图, 圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D, 点 D 在半径 OC 上的射影为 E. 若 AB=3AD, 则 的值为 8 .

考点: 与圆有关的比例线段;直角三角形的射影定理. 专题: 压轴题;选作题. 2 2 2 2 分析: 设圆 O 的半径为 3x,根据射影定理,可以求出 OD =OE?OC=x ,CD =CE?OC=8x ,
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进而得到

的值.

解答: 解:设圆 O 的半径 OA=OB=OC=3x, ∵AB=3AD, ∴AD=2x,BD=4x,OD=x 又∵点 C 在直径 AB 上的射影为 D, 2 2 在△ ABC 中,由射影定理得:CD =AD?BD=8x , 2 2 2 2 在△ ODC 中,由射影定理得:OD =OE?OC=x ,CD =CE?OC=8x , 故 = =8

故答案为:8 点评: 本题考查的知识点是直角三角形射影定理,射影定理在使用时一定要注意其使用范 围…“双垂直”. 16. (2013?湖北) (选修 4﹣4:坐标系与参数方程)
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在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为

为参数,a>b>0) .在极坐

标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴) 中, 直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为 直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆 C 的离心率为 为非零常数) 与 ρ=b. 若 .

考点: 参数方程化成普通方程;椭圆的简单性质;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先根据极坐标与直角坐标的转换关系将直线 l 的极坐标方程分别为

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为非零常数)化成直角坐标方程,再利用直线 l 经过椭 圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,从而得到 c= c 的等式,即可求出椭圆 C 的离心率. 解答: 解:直线 l 的极坐标方程分别为 b,又 b =a ﹣c ,消去 b 后得到关于 a,
2 2 2

为非零常数)化成直角

坐标方程为 x+y﹣m=0, 它与 x 轴的交点坐标为(m,0) ,由题意知, (m,0)为椭圆的焦点,故|m|=c, 又直线 l 与圆 O:ρ=b 相切,∴ 从而 c= b,又 b =a ﹣c , 2 2 2 ∴c =2(a ﹣c ) , ∴3c =2a ,∴ =
2 2 2 2 2



. .

则椭圆 C 的离心率为 故答案为: .

点评: 本题考查了椭圆的离心率,考查了参数方程化成普通方程,点的极坐标和直角坐标的 互化,考查提高学生分析问题的能力. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2013?湖北)在△ ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c,已知 cos2A ﹣3cos(B+C)=1. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若△ ABC 的面积 S=5 ,b=5,求 sinBsinC 的值. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (I)利用倍角公式和诱导公式即可得出;
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(II)由三角形的面积公式
2 2 2

即可得到 bc=20.又 b=5,解得 c=4.由余弦

定理得 a =b +c ﹣2bccosA=25+16﹣20=21,即可得出 a.又由正弦定理得即可得到
11

即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)由 cos2A﹣3cos(B+C)=1,得 2cos A+3cosA﹣2=0, 即(2cosA﹣1) (cosA+2)=0,解得 因为 0<A<π,所以 (Ⅱ)由 S=
2 2 2

(舍去) .

. =
2

=

,得到 bc=20.又 b=5,解得 c=4. . .

由余弦定理得 a =b +c ﹣2bccosA=25+16﹣20=21,故 又由正弦定理得

点评: 熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定 理是解题的关键. 18. (12 分) (2013?湖北)已知等比数列{an}满足:|a2﹣a3|=10,a1a2a3=125. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)是否存在正整数 m,使得 说明理由. 考点: 数列的求和;等比数列的通项公式;数列与不等式的综合. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (I)设等比数列{an}的公比为 q,结合等比数列的通项公式表示已知条件,解方程可
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?若存在,求 m 的最小值;若不存在,

求 a1,q,进而可求通项公式 (Ⅱ) 结合 (I) 可知 是等比数列, 结合等比数列的求和公式可求 ,

即可判断 解答: 解: (Ⅰ)设等比数列{an}的公比为 q,则由已知可得

解得

故 (Ⅱ)若 故 ,则 ,



是首项为 ,公比为 的等比数列,

从而



12



,则 ,公比为﹣1 的等比数列,

是首项为

从而





综上,对任何正整数 m,总有 故不存在正整数 m,使得

. 成立.

点评: 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的综合应用, 还考查了一定的逻辑推 理与运算的能力 19. (12 分) (2013?湖北)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A,B 的点,直线 PC⊥平面 ABC,E,F 分别是 PA,PC 的中点. (Ⅰ)记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l,试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系,并加以 证明; (Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D,且点 Q 满足 .记直线 PQ 与

平面 ABC 所成的角为 θ, 异面直线 PQ 与 EF 所成的角为 α, 二面角 E﹣l﹣C 的大小为 β. 求 证:sinθ=sinαsinβ.

考 点 : 专 题 : 分 析 :

用空间向量求平面间的夹角;空间中直线与平面之间的位置关系;直线与平面平行的判 定;二面角的平面角及求法.
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空间位置关系与距离;空间角.

(I)直线 l∥平面 PAC.连接 EF,利用三角形的中位线定理可得,EF∥AC;利用线面 平行的判定定理即可得到 EF∥平面 ABC.由线面平行的性质定理可得 EF∥l.再利用线 面平行的判定定理即可证明直线 l∥平面 PAC. (II)综合法:利用线面垂直的判定定理可证明 l⊥平面 PBC.连接 BE,BF,因为 BF? 平面 PBC,所以 l⊥BC.故∠CBF 就是二面角 E﹣l﹣C 的平面角,即∠CBF=β. 已知 PC⊥平面 ABC,可知 CD 是 FD 在平面 ABC 内的射影,故∠CDF 就是直线 PQ 与 平面 ABC 所成的角,即∠CDF=θ.由 BD⊥平面 PBC,有 BD⊥BF,知∠BDF=α,分别
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利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论; 向量法:以点 C 为原点,向量 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立如图所示

的空间直角坐标系,利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角. 解 解: (Ⅰ)直线 l∥平面 PAC,证明如下: 答 连接 EF,因为 E,F 分别是 PA,PC 的中点,所以 EF∥AC, : 又 EF?平面 ABC,且 AC?平面 ABC,所以 EF∥平面 ABC. 而 EF?平面 BEF,且平面 BEF∩平面 ABC=l,所以 EF∥l. 因为 l?平面 PAC,EF?平面 PAC,所以直线 l∥平面 PAC. (Ⅱ) (综合法)如图 1,连接 BD,由(Ⅰ)可知交线 l 即为直线 BD,且 l∥AC. 因为 AB 是⊙O 的直径,所以 AC⊥BC,于是 l⊥BC. 已知 PC⊥平面 ABC,而 l?平面 ABC,所以 PC⊥l. 而 PC∩BC=C,所以 l⊥平面 PBC. 连接 BE,BF,因为 BF?平面 PBC,所以 l⊥BF. 故∠CBF 就是二面角 E﹣l﹣C 的平面角,即∠CBF=β. 由 ,作 DQ∥CP,且 .

连接 PQ,DF,因为 F 是 CP 的中点,CP=2PF,所以 DQ=PF, 从而四边形 DQPF 是平行四边形,PQ∥FD. 连接 CD,因为 PC⊥平面 ABC,所以 CD 是 FD 在平面 ABC 内的射影, 故∠CDF 就是直线 PQ 与平面 ABC 所成的角,即∠CDF=θ. 又 BD⊥平面 PBC,有 BD⊥BF,知∠BDF=α, 于是在 Rt△ DCF,Rt△ FBD,Rt△ BCF 中,分别可得 , 从而 (Ⅱ) (向量法)如图 2,由 ,作 DQ∥CP,且 . .

连接 PQ,EF,BE,BF,BD,由(Ⅰ)可知交线 l 即为直线 BD. 以点 C 为原点,向量 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直

角坐标系,设 CA=a,CB=b,CP=2c,则有

. 于是 ,



=

,从而



又取平面 ABC 的一个法向量为

,可得

14



设平面 BEF 的一个法向量为



所以由

可得

取 =(0,c,b) ,

于是

,从而





,即 sinθ=sinαsinβ.

点 本题综合考查了线面平行的判定定理和性质定理、线面垂直的判定与性质定理、平行四 评 边形的判定与性质定理、线面角、二面角、异面直线所成的角、通过建立空间直角坐标 : 系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法,需要较强的空间想象能力、推理能力 和计算能力. 20. (12 分) (2013?湖北)假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N(800, 2 50 )的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0. (Ⅰ)求 p0 的值; 2 (参考数据: 若 X~N (μ, σ) , 有P (μ﹣σ<X≤μ+σ) =0.6826, P (μ﹣2σ<X≤μ+2σ) =0.9544, P(μ﹣3σ<X≤μ+3σ)=0.9974. ) (Ⅱ)某客运公司用 A,B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往 返一次, A, B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人, 从甲地去乙地的营运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆.公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队, 并要求 B 型车不多于 A 型 车 7 辆.若每天要以不小于 p0 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的 营运成本最小,那么应配备 A 型车、B 型车各多少辆? 考点: 简单线性规划;正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 不等式的解法及应用;概率与统计. 2 分析: (I)变量服从正态分布 N(800,50 ) ,即服从均值为 800,标准差为 50 的正态分布, 适合 700<X≤900 范围内取值即在(μ﹣2σ,μ+2σ)内取值,其概率为:95.44%,从 而由正态分布的对称性得出不超过 900 的概率为 p0. (II)设每天应派出 A 型 x 辆、B 型车 y 辆,根据条件列出不等式组,即得线性约束
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15

条件,列出目标函数,画出可行域求解. 2 解答: 解: (Ⅰ)由于随机变量 X 服从正态分布 N(800,50 ) ,故有 μ=800,σ=50,P(700 <X≤900)=0.9544. 由正态分布的对称性,可得 p0=(P(X≤900)=P(X≤800)+P(800<X≤900) = (Ⅱ)设 A 型、B 型车辆的数量分别为 x,y 辆,则相应的营运成本为 1600x+2400y. 依题意,x,y 还需满足:x+y≤21,y≤x+7,P(X≤36x+60y)≥p0. 由(Ⅰ)知,p0=P(X≤900) ,故 P(X≤36x+60y)≥p0 等价于 36x+60y≥900.

于是问题等价于求满足约束条件

且使目标函数 z=1600x+2400y 达到最小值的 x,y. 作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为 P(5,12) ,Q(7,14) ,R(15, 6) . 由图可知,当直线 z=1600x+2400y 经过可行域的点 P 时,直线 z=1600x+2400y 在 y 轴上截距 最小,即 z 取得最小值.

故应配备 A 型车 5 辆,B 型车 12 辆. 点评: 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查简单线性规划.本题解题的 关键是列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数,将可行 域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解. 21. (13 分) (2013?湖北)如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O,长轴均为 MN 且 在 x 轴上,短轴长分别为 2m,2n(m>n) ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1,C2 的四

16

个交点按纵坐标从大到小依次为 A,B,C,D,记

,△ BDM 和△ ABN 的面积分别为

S1 和 S2. (Ⅰ)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1=λS2,求 λ 的值; (Ⅱ)当 λ 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λS2?并说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;三角形的面积公式;点到直线的距离公式. 专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)设出两个椭圆的方程,当直线 l 与 y 轴重合时,求出△ BDM 和△ ABN 的面积
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S1 和 S2,直接由面积比=λ 列式求 λ 的值; (Ⅱ)假设存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λS2,设出直线方程,由点到直线 的距离公式求出 M 和 N 到直线 l 的距离,利用数学转化思想把两个三角形的面积比 转化为线段长度比,由弦长公式得到线段长度比的另一表达式,两式相等得到 ,换元后利用非零的 k 值存在讨论 λ 的取值范围. 解答: 解:以题意可设椭圆 C1 和 C2 的方程分别为 , .其中 a>m>n>0,

>1. (Ⅰ)如图 1,若直线 l 与 y 轴重合,即直线 l 的方程为 x=0,则 , ,

所以



在 C1 和 C2 的方程中分别令 x=0,可得 yA=m,yB=n,yD=﹣m, 于是 .



,则

,化简得 λ ﹣2λ﹣1=0,由 λ>1,解得 .

2



故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1=λS2,则
17

(Ⅱ)如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λS2,根据对称性, 不妨设直线 l:y=kx(k>0) , 点 M(﹣a,0) ,N(a,0)到直线 l 的距离分别为 d1,d2,则 ,所以 d1=d2.



,所以

,即|BD|=λ|AB|.

由对称性可知|AB|=|CD|,所以|BC|=|BD|﹣|AB|=(λ﹣1)|AB|, |AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|,于是 将 l 的方程分别与 C1 和 C2 的方程联立,可求得 .

根据对称性可知 xC=﹣xB,xD=﹣xA,于是 ② 从而由①和②可得 ③



, 则由 m>n, 可得 t≠1, 于是由③可得



因为 k≠0,所以 k >0.于是③关于 k 有解,当且仅当 等价于 即 当 当 ,由 λ>1,解得 ,由 λ>1,解得 ,所以 ,

2



时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λS2; 时,存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λS2.

18

点评: 本题考查了三角形的面积公式,考查了点到直线的距离公式,考查了直线与圆锥曲线 的关系,该题重点考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法, (Ⅱ)中判 断 λ 的存在性是该题的难题,考查了灵活运用函数和不等式的思想方法. 22. (14 分) (2013?湖北)设 n 是正整数,r 为正有理数. r+1 (Ⅰ)求函数 f(x)=(1+x) ﹣(r+1)x﹣1(x>﹣1)的最小值; (Ⅱ)证明: (Ⅲ)设 x∈R,记[x]为不小于 x 的最小整数,例如 的值. ; .令

(参考数据:



考 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;数列的求和;不等 点: 式的证明. 专 压轴题;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 题: 分 (Ⅰ)先求出函数 f(x)的导函数 f′(x) ,令 f'(x)=0,解得 x=0,再求出函数的单调 析: 区间,进而求出最小值为 f(0)=0;
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(Ⅱ)根据(Ⅰ)知,即(1+x)

r+1

≥1+(r+1)x,令

代入并化简得

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,再令 证明; (Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,令

得,

,即结论得到

,n 分别取值 81,82,83,…,125,分别列出不等式,

再将各式相加得,

,再由参考数据和条

件进行求解. r r 解 解; (Ⅰ)由题意得 f'(x)=(r+1) (1+x) ﹣(r+1)=(r+1)[(1+x) ﹣1], 答: 令 f'(x)=0,解得 x=0. 当﹣1<x<0 时,f'(x)<0,∴f(x)在(﹣1,0)内是减函数; 当 x>0 时,f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)内是增函数. 故函数 f(x)在 x=0 处,取得最小值为 f(0)=0. (Ⅱ)由(Ⅰ) ,当 x∈(﹣1,+∞)时,有 f(x)≥f(0)=0, r+1 即(1+x) ≥1+(r+1)x,且等号当且仅当 x=0 时成立, r+1 故当 x>﹣1 且 x≠0,有(1+x) >1+(r+1)x,① 在①中,令 上式两边同乘 n 即 当 n>1 时,在①中令 (这时 x>﹣1 且 x≠0) ,得
r+1



,得(n+1)

r+1

>n

r+1

+n (r+1) ,

r

,② (这时 x>﹣1 且 x≠0) ,

类似可得 且当 n=1 时,③也成立. 综合②,③得 (Ⅲ)在④中,令

,③

,④ ,n 分别取值 81,82,83,…,125,







,…

20



将以上各式相加,并整理得



代入数据计算,可得 由[S]的定义,得[S]=211. 点 本题考查了利用导数研究函数的单调性和求最值,以及学生的创新精神,是否会观察, 评: 会抽象概括,会用类比的方法得出其它结论,难度较大,注意利用上一问的结论.

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