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高考数学一轮复习专题:2 三角函数、解三角形与平面向量的常见题型与解析

高考数学一轮复习专题:2 三角函数、解三角形与平面向量的常见题型与解析 1.已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(a-3b)=-18,则 a 与 b 夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:选 B.(a+2b)·(a-3b)=-18, 2 2 所以 a -6b -a·b=-18, 因为|a|=3,|b|=2, 所以 9-24-a·b=-18, 所以 a·b=3, a·b 3 1 所以 cos〈a,b〉= = = , |a||b| 6 2 所以〈a,b〉=60°. 2. (2016·郑州第一次质量预测)已知函数 f(x)=Asin(π x+φ )的部分图像如图所示, 点 B, → → → → C 是该图像与 x 轴的交点,过点 C 的直线与该图像交于 D,E 两点,则(BD+BE)·(BE-CE) 的值为( ) A.-1 1 C. 2 1 B.- 2 D.2 → → → 解析:选 D.注意到函数 f(x)的图像关于点 C 对称,因此 C 是线段 DE 的中点,BD+BE=2BC. → → → → → → 1 1 2π → → → → →2 又BE-CE=BE+EC=BC,且|BC|= T= × =1,因此(BD+BE)·(BE-CE)=2BC =2. 2 2 π 3.(2015·高考重庆卷)在△ABC 中,B=120°,AB= 2,A 的角平分线 AD= 3,则 AC= ________. 解析: 如图,在△ABD 中,由正弦定理,得 = , sin B sin∠ADB 所以 sin∠ADB= 2 .所以∠ADB=45°,所以∠BAD=180°-45°-120°=15°. 2 AD AB 所以∠BAC=30°,∠C=30°,所以 BC=AB= 2.在△ABC 中,由正弦定理,得 ,所以 AC= 6. sin ∠BAC AC sin B = BC 答案: 6 4. (2015·高考天津卷改编)已知函数 f(x)=sin ω x+cos ω x(ω >0), x∈R.若函数 f(x) 在区间 (-ω ,ω )内递增,且函数 y= f(x)的图像关于直线 x= ω 对称,则 ω 的值为 ________. 解析:f(x)=sin ω x+cos ω x π? ? = 2sin?ω x+ ?, 4? ? 因为 f(x)在区间(-ω ,ω )内单调递增,且函数图像关于直线 x=ω 对称, π π π 2 所以 f(ω )必为一个周期上的最大值, 所以有 ω ·ω + =2kπ + , k∈Z, 所以 ω = + 4 2 4 2kπ ,k∈Z. 2π ω π 2 又 ω -(-ω )≤ ,即ω ≤ , 2 2 π 2 所以 ω = , 4 所以 ω = 答案: 5. π 2 π . 2 已知函数 f(x)=Asin (ω x+φ ) ?A>0,ω >0,|φ |<π ,x∈R?的图像的一部分如图所示. ? ? 2 ? ? (1)求函数 f(x)的解析式; 2? ? (2)当 x∈?-6,- ?时, 求函数 y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的 x 的值. 3? ? 解:(1)由题图知 A=2,T=8, 2π 因为 T= =8, ω π 所以 ω = . 4 又图像经过点(-1,0), ? π ? 所以 2sin?- +φ ?=0. ? 4 ? π π 因为|φ |< ,所以 φ = . 2 4 π? ?π 所以 f(x)=2sin? x+ ?. 4? ?4 (2)y=f(x)+f(x+2) π? π π? ?π ?π =2sin? x+ ?+2sin? x+ + ? 4? 2 4? ?4 ?4 π π π ? ? =2 2sin? x+ ?=2 2cos x. 2? 4 ?4 2 ? ? 因为 x∈?-6,- ?, 3? ? 3π π π 所以- ≤ x≤- . 2 4 6 π π 2 所以当 x=- ,即 x=- 时,y=f(x)+f(x+2)取得最大值 6; 4 6 3 π 当 x=-π ,即 x=-4 时,y=f(x)+f(x+2)取得最小值-2 2. 4 6.(2015·高考陕西卷)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.向量 m=(a, 3b) 与 n=(cos A,sin B)平行. (1)求 A; (2)若 a= 7,b=2,求△ABC 的面积. 解:(1)因为 m∥n,所以 asin B- 3bcos A=0, 由正弦定理,得 sin Asin B- 3sin Bcos A=0, 又 sin B≠0,从而 tan A= 3. π 由于 0<A<π ,所以 A= . 3 2 2 2 (2)法一:由余弦定理,得 a =b +c -2bccos A, π 而 a= 7,b=2,A= , 3 2 2 得 7=4+c -2c,即 c -2c-3=0. 因为 c>0,所以 c=3. 1 3 3 故△ABC 的面积为 bcsin A= . 2 2 7 2 法二:由正弦定理,得 = , π sin B sin 3 从而 sin B= 21 . 7 2 7 又由 a>b,知 A>B,所以 cos B= . 7 ? π? 故 sin C=sin(A+B)=sin?B+ ? 3? ? π π 3 21 =sin Bcos +cos Bsin = . 3 3 14 1 3 3 所以△ABC 的面积为 absin C= . 2 2 1.已知函数 f(x)=2cos x+2 3sin xcos x(x∈R). ? π? (1)当 x∈?0, ?时,求函数 f(x)的递增区间; 2? ? (2)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 c=3,f(C)=2,若向量 m=(1,sin A)与向量 n=(2,sin B)共线,求 a,b 的值. π? π ? 2 解:(1)f(x)=2cos x+ 3sin 2x=

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