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高考数学一轮复习专题:2 三角函数、解三角形与平面向量的常见题型与解析


高考数学一轮复习专题:2 三角函数、解三角形与平面向量的常见题型与解析 1.已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(a-3b)=-18,则 a 与 b 夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:选 B.(a+2b)·(a-3b)=-18, 2 2 所以 a -6b -a·b=-18, 因为|a|=3,|b|=2, 所以 9-24-a·b=-18, 所以 a·b=3, a·b 3 1 所以 cos〈a,b〉= = = , |a||b| 6 2 所以〈a,b〉=60°. 2. (2016·郑州第一次质量预测)已知函数 f(x)=Asin(π x+φ )的部分图像如图所示, 点 B, → → → → C 是该图像与 x 轴的交点,过点 C 的直线与该图像交于 D,E 两点,则(BD+BE)·(BE-CE) 的值为( ) A.-1 1 C. 2 1 B.- 2 D.2 → → → 解析:选 D.注意到函数 f(x)的图像关于点 C 对称,因此 C 是线段 DE 的中点,BD+BE=2BC. → → → → → → 1 1 2π → → → → →2 又BE-CE=BE+EC=BC,且|BC|= T= × =1,因此(BD+BE)·(BE-CE)=2BC =2. 2 2 π 3.(2015·高考重庆卷)在△ABC 中,B=120°,AB= 2,A 的角平分线 AD= 3,则 AC= ________. 解析: 如图,在△ABD 中,由正弦定理,得 = , sin B sin∠ADB 所以 sin∠ADB= 2 .所以∠ADB=45°,所以∠BAD=180°-45°-120°=15°. 2 AD AB 所以∠BAC=30°,∠C=30°,所以 BC=AB= 2.在△ABC 中,由正弦定理,得 ,所以 AC= 6. sin ∠BAC AC sin B = BC 答案: 6 4. (2015·高考天津卷改编)已知函数 f(x)=sin ω x+cos ω x(ω >0), x∈R.若函数 f(x) 在区间 (-ω ,ω )内递增,且函数 y= f(x)的图像关于直线 x= ω 对称,则 ω 的值为 ________. 解析:f(x)=sin ω x+cos ω x π? ? = 2sin?ω x+ ?, 4? ? 因为 f(x)在区间(-ω ,ω )内单调递增,且函数图像关于直线 x=ω 对称, π π π 2 所以 f(ω )必为一个周期上的最大值, 所以有 ω ·ω + =2kπ + , k∈Z, 所以 ω = + 4 2 4 2kπ ,k∈Z. 2π ω π 2 又 ω -(-ω )≤ ,即ω ≤ , 2 2 π 2 所以 ω = , 4 所以 ω = 答案: 5. π 2 π . 2 已知函数 f(x)=Asin (ω x+φ ) ?A>0,ω >0,|φ |<π ,x∈R?的图像的一部分如图所示. ? ? 2 ? ? (1)求函数 f(x)的解析式; 2? ? (2)当 x∈?-6,- ?时, 求函数 y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的 x 的值. 3? ? 解:(1)由题图知 A=2,T=8, 2π 因为 T= =8, ω π 所以 ω = . 4 又图像经过点(-1,0), ? π ? 所以 2sin?- +φ ?=0. ? 4 ? π π 因为|φ |< ,所以 φ = . 2 4 π? ?π 所以 f(x)=2sin? x+ ?. 4? ?4 (2)y=f(x)+f

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