高考数学一轮复习专题：2 三角函数、解三角形与平面向量的常见题型与解析

高考数学一轮复习专题：2 三角函数、解三角形与平面向量的常见题型与解析 1．已知|a|＝3，|b|＝2，(a＋2b)·(a－3b)＝－18，则 a 与 b 夹角为( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选 B.(a＋2b)·(a－3b)＝－18， 2 2 所以 a －6b －a·b＝－18， 因为|a|＝3，|b|＝2， 所以 9－24－a·b＝－18， 所以 a·b＝3， a·b 3 1 所以 cos〈a，b〉＝ ＝ ＝ ， |a||b| 6 2 所以〈a，b〉＝60°. 2． (2016·郑州第一次质量预测)已知函数 f(x)＝Asin(π x＋φ )的部分图像如图所示， 点 B， → → → → C 是该图像与 x 轴的交点，过点 C 的直线与该图像交于 D，E 两点，则(BD＋BE)·(BE－CE) 的值为( ) A．－1 1 C. 2 1 B．－ 2 D．2 → → → 解析：选 D.注意到函数 f(x)的图像关于点 C 对称，因此 C 是线段 DE 的中点，BD＋BE＝2BC. → → → → → → 1 1 2π → → → → →2 又BE－CE＝BE＋EC＝BC，且|BC|＝ T＝ × ＝1，因此(BD＋BE)·(BE－CE)＝2BC ＝2. 2 2 π 3．(2015·高考重庆卷)在△ABC 中，B＝120°，AB＝ 2，A 的角平分线 AD＝ 3，则 AC＝ ________． 解析： 如图，在△ABD 中，由正弦定理，得 ＝ ， sin B sin∠ADB 所以 sin∠ADB＝ 2 .所以∠ADB＝45°，所以∠BAD＝180°－45°－120°＝15°. 2 AD AB 所以∠BAC＝30°，∠C＝30°，所以 BC＝AB＝ 2.在△ABC 中，由正弦定理，得 ，所以 AC＝ 6. sin ∠BAC AC sin B ＝ BC 答案： 6 4． (2015·高考天津卷改编)已知函数 f(x)＝sin ω x＋cos ω x(ω ＞0)， x∈R.若函数 f(x) 在区间 (－ω ，ω )内递增，且函数 y＝ f(x)的图像关于直线 x＝ ω 对称，则 ω 的值为 ________． 解析：f(x)＝sin ω x＋cos ω x π? ? ＝ 2sin?ω x＋ ?， 4? ? 因为 f(x)在区间(－ω ，ω )内单调递增，且函数图像关于直线 x＝ω 对称， π π π 2 所以 f(ω )必为一个周期上的最大值， 所以有 ω ·ω ＋ ＝2kπ ＋ ， k∈Z， 所以 ω ＝ ＋ 4 2 4 2kπ ，k∈Z. 2π ω π 2 又 ω －(－ω )≤ ，即ω ≤ ， 2 2 π 2 所以 ω ＝ ， 4 所以 ω ＝ 答案： 5. π 2 π . 2 已知函数 f(x)＝Asin (ω x＋φ ) ?A>0，ω >0，|φ |<π ，x∈R?的图像的一部分如图所示． ? ? 2 ? ? (1)求函数 f(x)的解析式； 2? ? (2)当 x∈?－6，－ ?时， 求函数 y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的 x 的值． 3? ? 解：(1)由题图知 A＝2，T＝8， 2π 因为 T＝ ＝8， ω π 所以 ω ＝ . 4 又图像经过点(－1，0)， ? π ? 所以 2sin?－ ＋φ ?＝0. ? 4 ? π π 因为|φ |< ，所以 φ ＝ . 2 4 π? ?π 所以 f(x)＝2sin? x＋ ?. 4? ?4 (2)y＝f(x)＋f(x＋2) π? π π? ?π ?π ＝2sin? x＋ ?＋2sin? x＋ ＋ ? 4? 2 4? ?4 ?4 π π π ? ? ＝2 2sin? x＋ ?＝2 2cos x. 2? 4 ?4 2 ? ? 因为 x∈?－6，－ ?， 3? ? 3π π π 所以－ ≤ x≤－ . 2 4 6 π π 2 所以当 x＝－ ，即 x＝－ 时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值 6； 4 6 3 π 当 x＝－π ，即 x＝－4 时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－2 2. 4 6．(2015·高考陕西卷)△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.向量 m＝(a， 3b) 与 n＝(cos A，sin B)平行． (1)求 A； (2)若 a＝ 7，b＝2，求△ABC 的面积． 解：(1)因为 m∥n，所以 asin B－ 3bcos A＝0， 由正弦定理，得 sin Asin B－ 3sin Bcos A＝0， 又 sin B≠0，从而 tan A＝ 3. π 由于 0＜A＜π ，所以 A＝ . 3 2 2 2 (2)法一：由余弦定理，得 a ＝b ＋c －2bccos A， π 而 a＝ 7，b＝2，A＝ ， 3 2 2 得 7＝4＋c －2c，即 c －2c－3＝0. 因为 c＞0，所以 c＝3. 1 3 3 故△ABC 的面积为 bcsin A＝ . 2 2 7 2 法二：由正弦定理，得 ＝ ， π sin B sin 3 从而 sin B＝ 21 . 7 2 7 又由 a＞b，知 A＞B，所以 cos B＝ . 7 ? π? 故 sin C＝sin(A＋B)＝sin?B＋ ? 3? ? π π 3 21 ＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝ . 3 3 14 1 3 3 所以△ABC 的面积为 absin C＝ . 2 2 1．已知函数 f(x)＝2cos x＋2 3sin xcos x(x∈R)． ? π? (1)当 x∈?0， ?时，求函数 f(x)的递增区间； 2? ? (2)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 c＝3，f(C)＝2，若向量 m＝(1，sin A)与向量 n＝(2，sin B)共线，求 a，b 的值． π? π ? 2 解：(1)f(x)＝2cos x＋ 3sin 2x＝