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数学2.3.1离散型随机变量的均值与方差[2]_图文

复习巩固 1.若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则随机变量X的均值如何计算? E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 复习巩固 2.离散型随机变量的均值有哪几条基本 性质? (1)E(aX+b)=aE(X)+b; (2)若随机变量X服从两点分布,则 E(X)=p; (3)若随机变量X~B(n,p),则 E(X)=np. 问题探究: 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环 数x1、x2的分布列如下: 9 10 x1 8 P 0.2 0.6 0.2 9 10 x2 8 P 0.4 0.2 0.4 试比较两名射手的射击水平. 如果其他对手的射击成 如果其他对手 绩都在8环左右,应派哪一名选手参赛? 的射击成绩都在9环左右,应派哪一名选手参赛? 下面的分析对吗? 显然两名选 ∵ E (x? ) ? 8 ? 0.2 ? 9 ? 0.6 ? 10 ? 0.2 ? 9 手的水平是不同 E (x 2 ) ? 8 ? 0.4 ? 9 ? 0.2 ? 10 ? 0.4 ? 9 的,这里要进一步 ∴甲、乙两射手的射击水平相同. 去分析他们的成 绩的稳定性. (你赞成吗?为什么?) 对于一组数据的稳定性的描述,我们是用方差 或标准差来刻画的. 一组数据的方差: 在一组数:x1,x2 ,…,xn 中,各数据的平均数为 则这组数据的方差为: x , 1 S ? [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? n 2 ? ( x n ? x )2 ] 方差反映了这组 数据的波动情况 类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.. 离散型随机变量取值的方差和标准差: 一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为: x P x1 p1 p2 x2 · · · xi · · · pi ? ( xi ? E (x ))2 pi ? · · · xn · · · pn ? ( xn ? E (x ))2 pn ? x () ?()x D ? ? ( xi ? E (x )) pi为随机变量x的方差. 称 2 2 D ( x ) ? ( x ? E ( x )) p1 ? 则称 1 n 为随机变量x的标准差. 它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程 度的量,它们的值越小,则随机变量偏离于均值的平均 程度越小,即越集中于均值。 i ?1 即E (x ) ?[?(x )] ? D(x ) 2 2 练习1.已知随机变量x的分布列 0 1 2 3 4 x P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求D(x)和σ(x). E(x ) ? 0 ? 0.1 ? 1 ? 0.2 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.2 ? 4 ? 0.1 ? 2 解: D(x ) ? (0 ? 2) ? 0.1 ? (1 ? 2) ? 0.2 ? (2 ? 2) ? 0.4 2 2 2 ?(3 ? 2) ? 0.2 ? (4 ? 2) ? 0.1 ? 1.2 2 2 ? (x ) ? D(x ) ? 1.2 ? 1.095 2.若随机变量x满足P(x=c)=1,其中c为常 数,求E(x)和D(x). E(x)=c×1=c D(x)=(c-c)2×1=0 新知探究 4、一般地,若离散型随机变量X的分布 列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称 D (X ) = s (x ) = 方差, ? n (x i - E (X ))2 pi 为随机变量X的 i= 1 D (X )为随机变量X的标准差. 新知探究 方差或标准差的大小变化,对随 机变量偏离于均值的平均程度产生什 么影响? 方差或标准差越小(大),随机 变量偏离于均值的平均程度越 小(大). 新知探究 5、随机变量的方差与样本数据的方差 有何联系和区别? 联系:都是反映离散程度和稳定性的定 量指标. 区别:随机变量的方差是常数,样本的 方差是随机变量,随着样本容量的增加, 样本方差愈接近总体方差. 刚才问题再思考 : 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环 数x1、x2的分布列如下: 9 10 x1 8 P 0.2 0.6 0.2 9 10 x2 8 P 0.4 0.2 0.4 试比较两名射手的射击水平. 如果其他对手的射击成 如果其他对手 绩都在8环左右,应派哪一名选手参赛? 的射击成绩都在9环左右,应派哪一名选手参赛? 解: ∵ E (x? ) ? 8 ? 0.2 ? 9 ? 0.6 ? 10 ? 0.2 ? 9 如果对手在 ∴甲、乙两射手的射击平均水平相同. 8环左右,派甲. 又∵ D (x? ) ? 0.4, D (x 2 ) ? 0.8, 如果对手在9 ∴甲射击水平更稳定. E (x 2 ) ? 8 ? 0.4 ? 9 ? 0.2 ? 10 ? 0.4 ? 9 环左右,派乙. 新知探究 6、若随机变量X服从两点分布 B(1, p),则D(X)等于什么? D(X)=p(1-p) 7、若随机变量X服从二项分布 B(2, p),则D(X)等于什么? D(X)=2p(1-p) 新知探究 8、据归纳推理,若随机变量X服从 二项分布B(n,p),则D(X)等于什 么? D(X)=np(1-p)=(1-p)E(X) 练习 E(x)=6, D( x)=4,则此二项分布 是 。 设二项分布为x ~B(n,p) ,则 若随机变量x服从二项分布,且 E(x)=np=6 D(x)=np(1-p)=4 n=18 p=1/3 新知探究 9、若Y=aX+b,其中a,b为常数,则 D(Y)与D(X)有什么关系?由此可得什 么结论? D(Y)=a2D(X) D(aX+b)=a2D(X) 练习: 1.已知随机变量x的分布列为则E(x)与D(x)的值为( (A)

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