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数学2.3.1离散型随机变量的均值与方差[2]


复习巩固 1.若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则随机变量X的均值如何计算? E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 复习巩固 2.离散型随机变量的均值有哪几条基本 性质? (1)E(aX+b)=aE(X)+b; (2)若随机变量X服从两点分布,则 E(X)=p; (3)若随机变量X~B(n,p),则 E(X)=np. 问题探究: 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环 数x1、x2的分布列如下: 9 10 x1 8 P 0.2 0.6 0.2 9 10 x2 8 P 0.4 0.2 0.4 试比较两名射手的射击水平. 如果其他对手的射击成 如果其他对手 绩都在8环左右,应派哪一名选手参赛? 的射击成绩都在9环左右,应派哪一名选手参赛? 下面的分析对吗? 显然两名选 ∵ E (x? ) ? 8 ? 0.2 ? 9 ? 0.6 ? 10 ? 0.2 ? 9 手的水平是不同 E (x 2 ) ? 8 ? 0.4 ? 9 ? 0.2 ? 10 ? 0.4 ? 9 的,这里要进一步 ∴甲、乙两射手的射击水平相同. 去分析他们的成 绩的稳定性. (你赞成吗?为什么?) 对于一组数据的稳定性的描述,我们是用方差 或标准差来刻画的. 一组数据的方差: 在一组数:x1,x2 ,…,xn 中,各数据的平均数为 则这组数据的方差为: x , 1 S ? [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? n 2 ? ( x n ? x )2 ] 方差反映了这组 数据的波动情况 类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.. 离散型随机变量取值的方差和标准差: 一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为: x P x1 p1 p2 x2 · · · xi · · · pi ? ( xi ? E (x ))2 pi ? · · · xn · · · pn ? ( xn ? E (x ))2 pn ? x () ?()x D ? ? ( xi ? E (x )) pi为随机变量x的方差. 称 2 2 D ( x ) ? ( x ? E ( x )) p1 ? 则称 1 n 为随机变量x的标准差. 它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程 度的量,它们的值越小,则随机变量偏离于均值的平均 程度越小,即越集中于均值。 i ?1 即E (x ) ?[?(x )] ? D(x ) 2 2 练习1.已知随机变量x的分布列 0 1 2 3 4 x P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求D(x)和σ(x). E(x ) ? 0 ? 0.1 ? 1 ? 0.2 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.2 ? 4 ? 0.1 ? 2 解: D(x ) ? (0 ? 2) ? 0.1 ? (1 ? 2) ? 0.2 ? (2 ? 2) ? 0.4 2 2 2 ?(3 ? 2) ? 0.2 ? (4 ? 2) ? 0.1 ? 1.2 2 2 ? (x ) ? D(x ) ? 1.2 ? 1.095 2.若随机变量x满足P(x=c)=1,其中c为常 数,求E(x)和D(x). E(x)=c×1=c D(x)=(c-c)2×1=0 新知探究 4、一般地,若离散型随机变量X的分布 列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称 D (X ) = s (x ) = 方差, ? n (

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