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2.1.2指数函数及其性质(一)练习题


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2.2.1 指数函数及其性质(一)

一、选择题

1) 的定义域是( 1.函数 f(x)= log 1 ( x-
2



A. (1,+∞) C. (-∞,2)

B. (2,+∞) D. (1 , 2]

解析:要保证真数大于 0,还要保证偶次根式下的式子大于等于 0,

? x-1>0 ? 所以 ?log ( x- 1) ? 0 解得 1<x≤2. 1 ? ? 2
答案:D 2.函数 y= log 1 (x2-3x+2)的单调递减区间是(
2



A. (-∞,1) C. (-∞,

B. (2,+∞) D. (

3 ) 2

3 ,+∞) 2

解析:先求函数定义域为(-o,1)∪(2,+∞) ,令 t(x)=x2+3x+2,函数 t(x) 在(-∞,1)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,根据复合函数同增异减的原则,函 数 y= log 1 (x2-3x+2)在(2,+∞)上单调递减.
2

答案:B 3.若 2 lg (x-2y)= lg x+ lg y,则 A.4 C.1 或 4

y 的值为( x 1 B .1 或 4 1 D. 4



错解:由 2 lg (x-2y)= lg x+ lg y,得(x-2y)2=xy,解得 x=4y 或 x=y,则有 =

y x

1 x 或 =1. 4 y
答案:选 B 正解:上述解法忽略了真数大于 0 这个条件,即 x-2y>0,所以 x>2y.所以 x=y 舍

掉.只有 x=4y.
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答案:D 4.若定义在区间(-1,0)内的函数 f(x)= log 2 a (x+1)满足 f(x)>0,则 a 的 取值范围为( A. (0, C. ( )

1 ) 2

B. (0,

1 ) 2

1 ,+∞) 2

D. (0,+∞)

解析:因为 x∈(-1,0) ,所以 x+1∈(0,1) .当 f(x)>0 时,根据图象只有 0< 2a<l,解得 0<a< 答案:A 5.函数 y= lg ( A.y 轴对称 C.原点对称 解析:y= lg (

1 (根据本节思维过程中第四条提到的性质) . 2 2 -1)的图象关于( 1- x



B.x 轴对称 D.直线 y=x 对称

2 1+ x 1+ x 1+ x -1)= lg ,所以为奇函数.形如 y= lg 或 y= lg 1- x 1- x 1- x 1- x

的函数都为奇函数. 答案:C 二、填空题 已知 y= loga (2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是__________. 解析:a>0 且 a≠1 ? ? (x)=2-ax 是减函数,要使 y= loga (2-ax)是减函数, 则 a>1,又 2-ax>0 ? a< 答案:a∈(1,2) 7.函数 f(x)的图象与 g(x)=( 的单调递减区间为______. 解析:因为 f(x)与 g(x)互为反函数,所以 f(x)= log1 x
3

2 (0<x<1) ? a<2,所以 a∈(1,2) . 3 1 x ) 的图象关于直线 y=x 对称,则 f(2x-x2) 3

则 f(2x-x )= log1 (2x-x ) ,令 ? (x)=2x-x >0,解得 0<x<2.
2 2 2

3

? (x)=2x-x2 在(0,1)上单调递增,则 f[ ? (x) ]在(0,1)上单调递减; ? (x)=2x-x2 在(1,2)上单调递减,则 f[ ? (x) ]在[1,2)上单调递增.
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所以 f(2x-x2)的单调递减区间为(0,1) . 答案: (0,1) 8.已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在[0,+∞]上是增函数,且 f( 则不等式 f(log4x)的解集是______.

1 )=0, 2

1 1 )=f( )=0.又 f(x)在[0,+∞] 2 2 1 上是增函数, 所以 f (x) 在 (-∞, 0) 上是减函数. 所以 f (log4x) >0 ? log4x> 或 log4x 2 1 <- . 2 1 解得 x>2 或 0<x< . 2 1 答案:x>2 或 0<x< 2
解析:因为 f(x)是偶函数,所以 f(- 三、解答题 9.求函数 y= log1 (x2-5x+4)的定义域、值域和单调区间.
3

解:由 ? (x)=x2-5x+4>0,解得 x>4 或 x<1,所以 x∈(-∞,1)∪(4,+ ∞) ,当 x∈(-∞,1)∪(4,+∞) , { ? | ? =x2-5x+4}=R ,所以函数的值域是 R
+ +

.因为函数 y= log1 (x2-5x+4)是由 y= log1 ? (x)与 ? (x)=x2-5x+4 复合而成,
3 3

函数 y= log1 ? (x)在其定义域上是单调递减的,函数 ? (x)=x2-5x+4 在(-∞, )
3

5 2

上为减函数, 在 [

5 , +∞] 上为增函数. 考虑到函数的定义域及复合函数单调性, y= log1 2 3
3

(x2-5x+4)的增区间是定义域内使 y= log1 ? (x)为减函数、 ? (x)=x2-5x+4 也 为减函数的区间,即(-∞,1) ;y= log1 (x -5x+4)的减区间是定义域内使 y= log1 ?
2

3

3

(x)为减函数、 ? (x)=x2-5x+4 为增函数的区间,即(4,+∞) . 10.设函数 f(x)=

2 3-2 x + lg , 3 x+5 3+2 x

(1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的单调性,并给出证明; (3)已知函数 f(x)的反函数 f 1(x) ,问函数 y=f 1(x)的图象与 x 轴有交点吗?
- -

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若有,求出交点坐标;若无交点,说明理由. 解: (1)由 3x+5≠0 且 <

3-2 x 5 3 3 3 >0,解得 x≠- 且- <x< .取交集得- <x 3+2 x 3 2 2 2

3 . 2
(2)令 ? (x)=3x+5,随着 x 增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数;

3-2 x 6 =-1+ 随着 x 增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数. 3+2 x 3+2 x 3-2 x 又 y=lgx 在定义域内是增函数,根据复合单调性可知,y= lg 是减函数,所以 f 3+2 x 2 3-2 x (x)= + lg 是减函数. 3 x+5 3+2 x
(3)因为直接求 f(x)的反函数非常复杂且不易求出,于是利用函数与其反函数之间 定义域与值域的关系求解. 设函数 f(x)的反函数 f 1(x)与工轴的交点为(x0,0) .根据函数与反函数之间定义


域与值域的关系可知,f(x)与 y 轴的交点是(0,x0) ,将(0,x0)代入 f(x) ,解得 x0=

2 2 - .所以函数 y=f 1(x)的图象与 x 轴有交点,交点为( ,0) 。 5 5

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