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2019年高考数学一轮复习讲练测(江苏版):专题4.4 三角函数图像与性质(测)(解析版)

班级__________

姓名_____________

学号___________

得分__________

(满分 100 分,测试时间 50 分钟)

一、填空题:请把答案直接填写在答题卡相应的位置 上(共 10 题,每小题 6 分, ........ 共计 60 分).

? ? 1.【2019 高考新课标 1 卷】已知函数 f ( x) ? sin(? x+ ? )(? ? 0,
零点, x ?

? ? ), x ? ? 为 f ( x) 的 2 4

?
4

为 y ? f ( x) 图像的对称轴,且 f ( x) 在 ?

? ? 5? ? , ? 单调,则 ? 的最大值为_________ ? 18 36 ?

【答案】9 【解析】

2. 【2019 年高考四川理数】为了得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的 图象上所有的点向右平行移动______个单位长度

π 3

π 【答案】 6
【解析】 试题分析: 由题意, 为了得到函数 y ? sin(2 x ?

?

) ? sin[2( x ? )] , 只需把函数 y ? sin 2 x 的 3 6

?

图像上所有点向右移

?
6

个单位.

3. 【2019 高考新课标 2 理数】若将函数 y ? 2sin 2 x 的图像向左平移
后图象的对称轴为______ 【答案】 x ? 【解析】 试题分析:由题意,将函数 y ? 2sin 2 x 的图像向左平移

?
12

个单位长度,则平移

k? ? ? (k ? Z ) 2 6

?
12

个单位得

y ? 2sin 2( x ? x?

?
6

?

k? ,k ?Z . 2

) ? 2sin(2 x ? ) ,则平移后函数的对称轴为 2 x ? ? ? k? , k ? Z ,即 12 6 6 2

?

?

?

?

4. 【2019 高考浙江理数】设函数 f ( x) ? sin 2 x ? b sin x ? c ,则 f ( x) 的最小正周期与____
有关 【答案】b 【解析】 试题分析:

f ( x ) ? sin 2 x ? b sin x ? c ?

1 ? cos 2 x cos 2 x 1 ? b sin x ? c ? ? ? b sin x ? c ? ,其中当 2 2 2

b ? 0 时, f ( x ) ? ?
周期.

cos 2 x 1 ? c ? ,此时周期是 ? ;当 b ? 0 时,周期为 2? ,而 c 不影响 2 2

5. 【2019 年高考北京理数】将函数 y ? sin(2 x ? ) 图象上的点 P( , t ) 向左平移 s ( s ? 0 ) 3 4
个单位长度得到点 P ' ,若 P ' 位于函数 y ? sin 2 x 的图象上,则 s 的最小值为 .

?

?

【答案】 【解析】

?
6

6.
已知命题 p :函数 f ( x) ? sin x 的最小正周期为 2? ;命题 q :若函数 f ( x ? 1) 为偶函数,

则 f ( x) 关于 x ? 1 对称.则命题① p ? q ② p ? q ③ (?p) ? (?q) ④ p ? (?q ) 中真命题的 是 .

【答案】② 【解析】 函数 f ( x) ? sin x 的最小正周期为 ? ,知命题 p 为假命题; 若函数 f ( x ? 1) 为偶函数, 则 f ?? x ? 1? ? f ? x ? 1? ,所以 f ( x) 关于 x ? 1 对称,据此可知命题 q 为真命题,根据真值表 可得 p ? q 为真命题. 7.若函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ( 0 ? ? ? 【答案】 【解析】
π π )的图象关于直线 x ? 对称,则 θ ? 2 6





?
3

8.函数 f ( x) 是 R 上的增函数且 f (sin ? ) ? f (? cos ? ) ? f (? sin ? ) ? f (cos ? ) ,其中 ? 是锐 角,并且使得函数 g ( x) ? sin(?x ? 【答案】 (

?

? 5

) 在 ( , ? ) 上单调递减,则 ? 的取值范围是 4 2

?

.

, ] 4 4

【解析】因为函数 f ( x ) 是 R 上的增函数,构造函数 F ( x ) ? f ( x ) ? f ( ? x ) , 所以 F ( x ) 也是增函数.而 F (sin ? ) ? F (cos ? ) ,? sin ? ? cos ? , ? ? ? 另一方面,使得函数 g ( x) ? sin(?x ?

?? ? ? , ?. ?4 2?

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减,因 ? ? 0, 故 4 2

?

?x ?

?

? ? ? ? 3? ? [ ? ? , ?? ? ] ? [ ? 2k? , ? 2k? ]( k ? Z ), 4 2 4 4 2 2

? ? ?? ? ? ? ? 2 k? ? 1 5 ? 4 2 ?? 2 , ? +4k ? ? ? ? 4k (k ? Z ), 2 4 ??? ? ? ? 3? ? 2k? ? ? 4 2
因 ? 是锐角,故当 k ? 0 时,

1 5 ? ? 5? ? ? ? , 综合可知 ? ? ? , ? . 2 4 ? 4 4?

9.将函数 f ( x) ? sin x cos x 的图象向左平移 单调递增区间是 【答案】 (k? ? .

?
4

个长度单位, 得到函数 g ( x) 的图象, 则 g ( x) 的

?
2

, k? )(k ? Z )

1 ? sin 2 x ,将其图像向左平移 个长度单位, 2 4 1 ? 1 得到函数 g ( x) ? sin( 2 x ? ) ? cos 2 x 的图象, 2 2 2
【解析】因为 y ? sin x cos x ? 由于函数 y ? cos x 的增区间是 (2k? ? ? ,2k? )(k ? Z ) ,

? 函数 g ( x) ?

1 ? cos 2 x 的增区间满足 2k? ? ? ? 2 x ? 2k? ,即 k? ? ? x ? k? , 2 2

故 g ( x) 的增区间是 (k? ?

?

2

, k? )(k ? Z )

10.若函数 y ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a 在 ? 0, _________________. 【答案】 (?2,- 1]

? ?? 上有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围为 ? 2? ?

二、解答题:解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在 答题纸的指定区域内 。(共 4 题,每小题 10 分,共计 40 分). .....
11. 【2019 高考天津理数】已知函数 f(x)=4tanxsin( (Ⅰ)求 f(x)的定义域与最小正周期;

?
2

? x )cos( x ?

?
3

)- 3 .

(Ⅱ)讨论 f(x)在区间[ ? 【答案】 (Ⅰ) ? x x ?

? ?

, ]上的单调性. 4 4

? ?

?

? ? ? ?? ? k? , k ? Z ? , ? . (Ⅱ)在区间 ? ? , ? 上单调递增, 在区间 2 ? 12 4 ? ?

?? ? ? ? , ? ? 上单调递减. ? ? 4 12 ?
【解析】 试题分析: (Ⅰ)先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本 三角函数: f ( x)=2sin ? 2 x ? ? 研究三角函数在区间[ ?

?
3

,再根据正弦函数性质求定义域、周期 ? ?? ? 根据(1)的结论,

? ?

, ]上单调性 4 4

? ?? ? 解:令 z ? 2 x ?
由?

?

? ? ? ? , 函数 y ? 2sin z 的单调递增区间是 ? ? ? 2k? , ? 2k? ? , k ? Z . 3 2 ? 2 ?

? ? ? ? 5? ? 2 k ? ? 2 x ? ? ? 2 k ? ,得 ? ? k ? ? x ? ? k? , k ? Z . 2 3 2 12 12
? ? 5? ? ? ? ?? ? ? ?? , ? , B ? ? x ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z ? ,易知 A B ? ? ? , ? . 12 ? 12 4 ? ? 4 4? ? 12 ?

设 A ? ??

所以, 当 x ? ? ? 递减.

?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? , ? 时, f ? x ? 在区间 ? ? , ? 上单调递增, 在区间 ? ? , ? ? 上单调 ? 4 4? ? 12 4 ? ? 4 12 ?

12 设向量 a ? (sin x, cos x), b ? (sin x, 3 sin x), x ? R ,函数 f ( x) ? a ? (a ? 2b) .

(1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)求使不等式 f ?( x) ? 2 成立的 x 的取值集合. 【答案】 (1) [k? ? 【解析】 试题分析: (1)本题用向量给出条件,因此首先我们把 f ( x) 求出来,利用向量的数量积运算, 可得 f ( x) ? a ? 2a ? b ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2(sin 2 x ? 3 sin x cos x) ,然后我们三角函数化为 再利用正弦函数的性质解题, 在变形过程中, 注意使 ? ? 0 . 在 A, ? A sin(? x ? ? ) ? k 的形式, 都大于 0 的情况下, f ( x) ?
2

?

? ? ? ? ? (2) ? x k? ? ? x ? k? ? , k ? Z ? . , k? ? ] ( k ? Z ) ; 12 4 6 3 ? ?

A sin(? x ? ? ) ? k 的单调增区间只要解不等式 2k? ?

?
2

? ? x ? ? ? 2 k? ?

?
2

(2) , k ? Z 即得.

不等式 f ?( x) ? 2 是一个三角不等式,因 f '( x) ? 4 cos(2 x ? 质即可.

?
6

) ,同样只要利用余弦函数的性

试题解析:(1) f ( x) ? a ? (a ? 2b) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2(sin 2 x ? 3 sin x cos x)

? 1 ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2 ? 2(sin 2 x ?
? 2 ? 2(sin 2 x cos
由 2 k? ?

3 1 ? cos 2 x ? ) 2 2

?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

? cos 2 x sin ) ? 2 ? 2sin(2 x ? ) . 6 6 6
,得 k? ?

?

?

…………5′

?

∴ f ( x) 的单调递增区间为 [k? ?

?

, k? ? ] ( k ? Z ) . 6 3

?

6

? x ? k? ?

?

3

( k ? Z) ,

…………8′

13.已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin ? x ?

? ?

??

3 2 , x?R . ? ? 3 cos x ? 3? 4

(Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ? x ? 在闭区间 ? ? 【解析】由已知,有

? ? ?? , ? 上的最大值和最小值. ? 4 4?

骣 1 f ( x ) = cos x ?? ? ? 2 sin x ? 桫

3 ÷ cos x÷ ÷ ÷ 2

3 cos 2 x +

3 1 = sin x ?cos x 4 2

3 3 cos 2 x + 2 4

=

1 sin 2 x 4

3 3 1 = sin 2 x (1 + cos 2 x) + 4 4 4
2p = p. 2

3 1 骣 p÷ cos 2 x = sin ? 2x - ÷ , \ f ( x) 的最 ? 桫 2 ? 3÷ 4

小正周期 T =

(Ⅱ) ∵ f ( x ) 在区间 犏 - ,-

轾p 犏 臌4

轾p p 骣 p÷ p 1 上是减函数, 在区间 犏 , 上是增函数, f ? - ÷ =- , ? ÷ ? 犏 桫4 12 4 臌12 4

骣 p÷ 1 , f? = ÷ ? ? 桫 12 ÷ 2
1 . 2

骣 轾p p 1 p÷ 1 ,∴函数 f ( x ) 在闭区间 犏 上的最大值为 ,最小值为 f? = , ÷ ? ? 犏 桫 4 4÷ 4 臌4 4

14.设函数 f ( x) ? 6cos 2 x ? 2 3 sin x cos x . (1)求 f ( x) 的最小正周期和值域; (2)在锐角△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ( B) ? 0 且 b ? 2 , cos A ? 求 a 和 sin C . 【答案】(1) ? , [3 ? 2 3,3 ? 2 3] ;(2) a ? 【解析】
4 , 5

4 3 3? 4 3 . ,sin C ? 5 10

试题解析: (1) f ( x) ? 6 ?

1+ cos 2 x ? 3 sin 2 x = 3cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3 2

p = 2 3 cos(2 x ? ) ? 3 . 6

所以 f ( x) 的最小正周期为 T ? 值域为 [3 ? 2 3,3 ? 2 3] .

2p ?p, 2

π (2)由 f ( B) ? 0 ,得 cos(2 B ? ) ? ? 6 π π 7π , 2B ? B 为锐角,∴ ? 2 B ? ? 6 6 6

3 . 2 π 5π π ,∴ B ? . ? 6 6 3

∵ cos A ?

4 3 4 , A ? (0, p ) ,∴ sin A ? 1 ? ( ) 2 ? . 5 5 5

b sin A 在△ABC 中,由正弦定理得 a ? ? sin B

2?

3 5 ?4 3. 5 3 2

∴ sin C ? sin(p ? A ? B)= sin(

2p 3 1 3? 4 3 . ? A) ? cos A ? sin A ? 3 2 2 10


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