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数学竞赛讲义——三角函数


第六章

三角函数

一、基础知识 定义 1 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向,则 角为正角, 若旋转方向为顺时针方向, 则角为负角, 若不旋转则为零角。 角的大小是任意的。 定义 2 角度制,把一周角 360 等分,每一等价为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧所对 的圆心角叫做一弧度。 360 度=2π 弧度。 若圆心角的弧长为 L, 则其弧度数的绝对值|α |=

L , r

其中 r 是圆的半径。 定义 3 三角函数, 在直角坐标平面内, 把角α 的顶点放在原点, 始边与 x 轴的正半轴重合, 在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P,设它的坐标为(x,y) ,到原点的距离为 r,则正 弦函数 sinα =

y x y x ,余弦函数 cosα = ,正切函数 tanα = ,余切函数 cotα = ,正割函数 sec r r x y

α =

r r ,余割函数 cscα = . x y

定理 1 同角三角函数的基本关系式, 倒数关系: tanα = 商数关系:tanα =

sin ? cos ? , cot ? ? ;乘积关系:tanα ×cosα =sinα ,cotα ×sinα =cos cos ? sin ?

1 1 1 ,sinα = , cosα = ; cot ? csc ? sec ?

α ;平方关系:sin2α +cos2α =1, tan2α +1=sec2α , cot2α +1=csc2α . 定理 2 诱导公式(Ⅰ)sin(α +π)=-sinα , cos(π+α )=-cosα , tan(π+α )=tanα , cot(π+α )=cotα ; (Ⅱ)sin(-α )=-sinα , cos(-α )=cosα , tan(-α )=-tanα , cot(-α )=cotα ; (Ⅲ)sin(π-α )=sinα , cos(π-α )=-cosα , tan=(π-α )=-tanα , cot(π-α )=-cotα ; (Ⅳ)sin ?

?? ? ? ? ? =cosα , ?2 ?

cos ?

?? ? ?? ? 。 ? ? ? =sinα , tan ? ? ? ? =cotα (奇变偶不变,符号看象限) ?2 ? ?2 ?

定理 3 正弦函数的性质,根据图象可得 y=sinx(x∈ R)的性质如下。单调区间:在区间

? 3 ? ? ?? ? ? ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ? 上为增函数,在区间 ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ? ? 上为减函数,最小正周期 ? ? ? ?
为 2 ? . 奇偶数. 有界性:当且仅当 x=2kx+ 取最小值-1。对称性:直线 x=k ? +

? 均为其对称轴,点(k ? , 0)均为其对称中心,值域为 2

? ? 时,y 取最大值 1,当且仅当 x=3k ? - 时, y 2 2

[-1,1]。这里 k∈ Z. 定理 4 余弦函数的性质,根据图象可得 y=cosx(x∈ R)的性质。单调区间:在区间[2kπ, 2kπ+π] 上单调递减,在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为 2π。奇偶性:偶函数。对称性: 直线 x=kπ 均为其对称轴,点 ? k? ?

? ?

?

? ,0 ? 均为其对称中心。有界性:当且仅当 x=2kπ 时,y 2 ?

取最大值 1;当且仅当 x=2kπ-π 时,y 取最小值-1。值域为[-1,1]。这里 k∈ Z.

? ? ? )在开区间(kπ- , kπ+ )上为增 2 2 2 ? 函数, 最小正周期为 π,值域为(-∞,+∞) ,点(kπ,0)(kπ+ ,0)均为其对称中心。 , 2 定理 6 两角和与差的基本关系式: cos(α ? β )=cosα cosβ ? sinα sinβ ,sin(α ? β )=sinα cos
定理 5 正切函数的性质:由图象知奇函数 y=tanx(x ? kπ+ β ? cosα sinβ ; tan(α ? β )=

(t an? ? tan ? ) . (1 ? tan? tan ? )

定理 7 和差化积与积化和差公式: sinα +sinβ =2sin ?

?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? cos ? ? ,sinα -sinβ =2sin ? ? cos ? ?, ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? cos ? ? , cosα -cosβ =-2sin ? ? sin ? ?, ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?

cosα +cosβ =2cos ?

1 1 [sin(α +β )+sin(α -β )],cosα sinβ = [sin(α +β )-sin(α -β )], 2 2 1 1 cosα cosβ = [cos(α +β )+cos(α -β )],sinα sinβ =- [cos(α +β )-cos(α -β )]. 2 2
sinα cosβ = 定理 8 倍角公式:sin2α =2sinα cosα , cos2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α ,

tan2α =

2 tan? . (1 ? tan2 ? )

定理 9 半角公式:sin ?

(1 ? cos? ) (1 ? cos? ) ?? ? ?? ? ,cos ? ? = ? , ?=? 2 2 ?2? ?2?

tan ?

sin ? (1 ? cos? ) (1 ? cos? ) ?? ? ? . = ?=? sin ? (1 ? cos? ) (1 ? cos? ) ?2?

?? ? ?? ? 1 ? tan2 ? ? 2 tan? ? ?2?, ? 2 ? , cos? ? 定理 10 万能公式: sin ? ? ?? ? ?? ? 1 ? tan2 ? ? 1 ? tan2 ? ? ?2? ?2? ?? ? 2 tan? ? ?2? . tan? ? ?? ? 1 ? tan2 ? ? ?2?
定理 11 辅助角公式: 如果 a, b 是实数且 a2+b2 ? 0, 则取始边在 x 轴正半轴, 终边经过点(a, b)的一个角为β ,则 sinβ =

b a ?b
2 2

,cosβ =

a a ? b2
2

,对任意的角α .

2 2 asinα +bcosα = ( a ? b ) sin(α +β ).

定理 12 正弦定理:在任意△ABC 中有

a b c ? ? ? 2 R ,其中 a, b, c 分别是角 sin A sin B sin C

A,B,C 的对边,R 为△ABC 外接圆半径。 定理 13 余弦定理:在任意△ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA,其中 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对 边。 定理 14 图象之间的关系:y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象;经左右平移得 y=sin(x+ ? )的图象(相位变换) ;纵坐标不变,横坐标变为原来的

1

?

,得到 y=sin ?x ( ? ? 0 )

的图象(周期变换) ;横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,得到 y=Asinx 的图象(振幅变 换) ;y=Asin( ? x+ ? )( ? >0)的图象(周期变换) ;横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,得 到 y=Asinx 的图象 (振幅变换) y=Asin( ? x+ ? )( ? , ? >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移 ; 单位得到 y=Asin ? x 的图象。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 定义 4 函数 y=sinx ? x ? ?? ?

? 个 ?

? ?

? ? ? ?? [-1, , ? 的反函数叫反正弦函数,记作 y=arcsinx(x∈ 1]),函数 ? ? 2 2 ?? ?

y=cosx(x∈ π]) 的反函数叫反余弦函数,记作 y=arccosx(x∈ 1]). 函数 [0, [-1, y=tanx ? x ? ?? ?

? ?

? ? ? ?? [-∞, [0, , ? 的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x∈ +∞]). y=cosx(x∈ π]) ? ? 2 2 ?? ?

的反函数称为反余切函数,记作 y=arccotx(x∈ [-∞, +∞]). 定理 15 三角方程的解集,如果 a∈ (-1,1),方程 sinx=a 的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈ Z}。 方程 cosx=a 的解集是{x|x=2kx ? arccosa, k∈ 如果 a∈ Z}. R,方程 tanx=a 的解集是 {x|x=kπ+arctana, k∈ Z}。恒等式:arcsina+arccosa= 定理 16 若 x ? ? 0,

? ? ;arctana+arccota= . 2 2

? ?? ? ,则 sinx<x<tanx. ? 2?

二、方法与例题 1.结合图象解题。 例 1 求方程 sinx=lg|x|的解的个数。

2 三角函数性质的应用。 例 2 设 x∈ π), 试比较 cos(sinx)与 sin(cosx)的大小。 (0,

? cos ? ? ? cos ? ? ? 例 3 已知α ,β 为锐角,且 x· +β - )>0,求证: ? (α ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? 2. ? 2 ? ? ? ?
x

x

注:以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式,值得注意的是角的讨论。 3.最小正周期的确定。 例 4 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。

4.三角最值问题。 例 5 已知函数 y=sinx+ 1? cos2 x ,求函数的最大值与最小值。

例 6 设 0< ? <π,求 sin

?
2

(1 ? cos ? ) 的最大值。

例 7 若 A,B,C 为△ABC 三个内角,试求 sinA+sinB+sinC 的最大值。

注:三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、 柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 5.换元法的使用。 例8 求y?

sin x cos x 的值域。 1 ? sin x ? cos x

例 9 已知 a0=1, an=

1 ? a n ?1 2 ? 1 a n ?1

(n∈ +),求证:an> N

? . 2 n?2

注:换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。 另外当 x∈ 0, ?

? ?? ? 时,有 tanx>x>sinx,这是个熟知的结论,暂时不证明,学完导数后,证明 ? 2?

是很容易的。

6.图象变换:y=sinx(x∈ R)与 y=Asin( ? x+ ? )(A, ? , ? >0). 由 y=sinx 的图象向左平移 ? 个单位,然后保持横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,然后 再保持纵坐标不变,横坐标变为原来的

1

?

,得到 y=Asin( ? x+ ? )的图象;也可以由 y=sinx

的图象先保持横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,再保持纵坐标不变,横坐标变为原来

? 个单位,得到 y=Asin( ? x+ ? )的图象。 ? ? 例 10 例 10 已知 f(x)=sin( ? x+ ? )( ? >0, 0≤ ? ≤π)是 R 上的偶函数,其图象关于点


1

,最后向左平移

? 3? ? ? ?? M ? ,0 ? 对称,且在区间 ?0, ? 上是单调函数,求 ? 和 ? 的值。 ? 4 ? ? 2?

7.三角公式的应用。 例 11 已知 sin(α-β)= 的值。

5 5 ?? ? ? 3? ? , sin(α+β)=, α-β∈ ? , ? ? , 且 α+β∈ ? 求 ,2? ? , sin2α,cos2β 13 13 ?2 ? ? 2 ?

例 12 已知△ ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且

1 1 2 ,试求 ? ?? cos A cosC cos B

cos

A?C 的值。 2

例 13 求证:tan20 +4cos70 .

?

?

三、基础训练题 1.已知锐角 x 的终边上一点 A 的坐标为(2sin3, -2cos3),则 x 的弧度数为___________。

2.适合

1 ? cos x 1 ? cos x ? ? -2cscx 的角的集合为___________。 1 ? cos x 1 ? cos x

3.给出下列命题: (1)若 α ? β,则 sinα ? sinβ; (2)若 sinα ? sinβ,则 α ? β; (3)若 sinα>0, 则 α 为第一或第二象限角; (4)若 α 为第一或第二象限角,则 sinα>0. 上述四个命题中,正 确的命题有__________个。 4.已知 sinx+cosx=

1 (x∈(0, π)),则 cotx=___________。 5

5.简谐振动 x1=Asin ? ?t ?

? ?

??

?? ? ? 和 x2=Bsin ? ?t ? ? 叠加后得到的合振动是 x=___________。 3? 6? ?

6.已知 3sinx-4cosx=5sin(x+ ? 1)=5sin(x- ? 2)=5cos(x+ ? 3)=5cos(x- ? 4),则 ? 1, ? 2, ? 3, ? 4 分 别是第________象限角。 7.满足 sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角 x 共有________个。 8.已知 ? ? x ? 2? ,则

3 2

1 1 1 1 ? ? cos x =___________。 2 2 2 2
=___________。

9.

cos 40? ? sin 50? (1 ? 3 tan10? ) sin 70 1 ? cos 40
? ? ?

?

?

10.cot15 cos25 cot35 cot85 =___________。 11.已知 α,β∈(0, π), tan

?

?
2

?

1 5 , sin(α+β)= ,求 cosβ 的值。 2 13

12.已知函数 f(x)=

m ? 2 sin x ? ?? 在区间 ? 0, ? 上单调递减,试求实数 m 的取值范围。 cos x ? 2?

四、高考水平训练题 1.已知一扇形中心角是 a,所在圆半径为 R,若其周长为定值 c(c>0),当扇形面积最大时, a=__________. 2. 函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________. 3. 函数 y ?

2 ? sin x 的值域为__________. 2 ? cos x

4. 方程 2 sin? 2 x ?

? ?

??

? ? lg x =0 的实根个数为__________. 6?

5. 若 sina+cosa=tana, a ? ? 0,
? ?

? ? ?? ? ,则 __________a(填大小关系). 3 ? 2?
? ?

6. (1+tan1 )(1+tan2 )…(1+tan44 )(1+tan45 )=__________. 7. 若 0<y≤x<

? 且 tanx=3tany,则 x-y 的最大值为__________. 2

8.

sin 7 ? ? cos15? ? sin 8? =__________. cos7 ? ? sin 15? sin 8?

9. cos

?
11

·cos
?

2 3 4 5 ? ·cos ? ·cos ? ·cos ? =__________. 11 11 11 11
? ? ?

10. cos271 +cos71 cos49 +cos249 =__________. 11. 解方程:sinx+2sin2x=3+sin3x. 12. 求满足 sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有锐角 x.

?1? 13. 已知 f(x)= ? ? ?2?

?k ? ? A sin ? x ? ? ?5 3?

(kA ? 0, k∈Z, 且 A∈R), (1)试求 f(x)的最大值和最小值; (2)

若 A>0, k=-1,求 f(x)的单调区间; (3)试求最小正整数 k,使得当 x 在任意两个整数(包括 整数本身)间变化时,函数 f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。 五、联赛一试水平训练题(一) 1.若 x, y∈R,则 z=cosx2+cosy2-cosxy 的取值范围是____________. 2.已知圆 x2+y2=k2 至少盖住函数 f(x)= 3 sin

?x
k

的一个最大值点与一个最小值点,则实数 k

的取值范围是____________. 3.f( ? )=5+8cos ? +4cos2 ? +cos3 ? 的最小值为____________. 4.方程 sinx+ 3 cosx+a=0 在(0,2π)内有相异两实根 α,β,则 α+β=____________. 5.函数 f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是____________. 6.设 sina>0>cosa, 且 sin

a a a >cos ,则 的取值范围是____________. 3 3 3

7.方程 tan5x+tan3x=0 在[0,π]中有__________个解. 8.若 x, y∈R, 则 M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为____________. 9.若 0< ? <
?

? , m∈N+, 比较大小:(2m+1)sinm ? (1-sin ? )__________1-sin2m+1 ? . 2
?

10.cot70 +4cos70 =____________.

?sin x ? sin y ? a ? 11. 在方程组 ?cos x ? cos y ? b 中消去 x, y,求出关于 a, b, c 的关系式。 ?cot x ? cot y ? c ?
12.已知 α,β,γ ? ? 0,

? ?? 2 2 2 ? ,且 cos α+cos β+cos γ=1,求 tanαtanβtanγ 的最小值。 ? 2?

? x sin 3? ? y sin ? ? a ? 13.关于 x, y 的方程组 ? x sin 3? ? y sin ? ? a 有唯一一组解,且 sinα, sinβ, sinγ 互不相等, ? x sin 3? ? y sin ? ? a ?
求 sinα+sinβ+sinγ 的值。

14.求满足等式 sinxy=sinx+siny 的所有实数对(x, y), x, y? ? 0,

? ?? ?. ? 2?

联赛一试水平训练题(二) 1. 在平面直角坐标系中, 函数 f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图象与 函数 g(x)= a 2 ? 1 的图象所围成的封闭图形的面积是__________. 2.若 x ? ?? __________. 3.在△ ABC 中,记 BC=a, CA=b, AB=c, 若 9a2+9b2-19c2=0,则 4. f(x)=x2-πx, α=arcsin 设

2? ? ?? ?? ? 5? ? ? ? ? ? ,? ? ,则 y=tan ? x ? ? -tan ? x ? ? +cos ? x ? ? 的最大值是 3 ? 6? 6? ? 12 3 ? ? ? ?
cot C =__________. cot A ? cot B

1 5 ? 1? ? 5? , β=arctan , γ=arccos ? ? ? , δ=arccot ? ? ? , 将 f(α), f(β), f(γ), f(δ) 3 4 ? 3? ? 4?

从小到大排列为__________. 5.logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。将 a, b, c, d 从小到大排列为 __________. 6.在锐角△ ABC 中,cosA=cosαsinβ, cosB=cosβsinγ, cosC=cosγsinα,则 tanα·tanβ·tanγ=__________. 7.已知矩形的两边长分别为 tan

? 和 1+cos ? (0< ? <π),且对任何 x∈R, 2

f(x)=sin ? ·x2+ 4 3 ·x+cos ? ≥0,则此矩形面积的取值范围是__________. 8.在锐角△ ABC 中,sinA+sinB+sinC 的取值范围是__________. 9. 已知当 x∈[0, 1], 不等式 x2cos ? -x(1-x)+(1-x)2sin ? >0 恒成立, ? 的取值范围是__________. 则 2 2 10.已知 sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0,则 cos x+ cos y+ cos2z=__________. 11.已知 a1, a2, …,an 是 n 个实常数,考虑关于 x 的函数:f(x)=cos(a1+x)+ +

1 cos(a2+x) +… 2

1 2 n ?1

cos(an+x)。求证:若实数 x1, x2 满足 f(x1)=f(x2)=0,则存在整数 m,使得 x2-x1=mπ.

sin A ? sin B ? sin C ? ? 3 ,求证:此三角形中有一个内角为 。 cos A ? cos B ? cos C 3 8n 13.求证:对任意自然数 n, 均有|sin1|+|sin2|+…+|sin(3n-1)|+|sin3n|> . 5
12.在△ ABC 中,已知 六、联赛二试水平训练题 1.已知 x>0, y>0, 且 x+y<π,求证:w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+siny>0①(w∈R). 2. 已知 a 为锐角,n≥2, n∈N+,求证: ?
?1 ? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1? ≥2n-2 2 +1. n n ? sin a ?? cos a ? n

3. 设 x1, x2,…, xn,…, y1, y2,…, yn,…满足 x1=y1= 3 , xn+1=xn+ 1 ? x n , yn+1=
2

yn
2 1 ? 1 ? yn

, 求证:

2<xnyn<3(n≥2). 4.已知 α,β,γ 为锐角,且 cos2α+cos2β+cos2γ=1,求证;

3 π<α+β+γ<π. 4

5.求实数 a 的取值范围,使得对任意实数 x 和任意 ? ? ?0, ? ,恒有 ? 2? (x+3+2sin ? cos ? )2+(x+asin ? +asin ? )2≥ . 6. 设 n, m 都是正整数, 并且 n>m, 求证: 对一切 x ? ? 0,

? ??

1 8

? ?? n n n n ? 都有 2|sin x-cos x|≤3|sin x-cos x|. 2? ?

7.在△ ABC 中,求 sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC 的最大值。 8.求的有的实数 a, 使 cosa, cos2a, cos4a, …, cos2na, …中的每一项均为负数。

? ?? 9.已知 ? i ? ? 0, ? ,tan ? 1tan ? 2…tan ? n=2 2 , n∈N+, 若对任意一组满足上述条件的 ? 2?
n

? 1, ? 2,…, ? n 都有 cos ? 1+cos ? 2+…+cos ? n≤λ,求 λ 的最小值。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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