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2017_2018学年高中数学第二章直平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系学案新人教A版必修2

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面 预习课本 P40~43,思考并完成以下问题 1.平面的表示方法有哪些? 2.公理 1、公理 2、公理 3 的内容是什么? 3.公理 1、公理 2、公理 3 各自的作用是什么? 4.点、线、面之间的位置关系用符号怎样表示? [新知初探] 1.平面的概念 几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几 何里的平面是无限延展的. 2.平面的画法 (1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形,它的锐角通常画成 45°,且横边长等于其 邻边长的 2 倍.如图①. (2)如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出 来.如图②. -1- 3.平面的表示法 图①的平面可表示为平面 α 、平面 ABCD、平面 AC 或平面 BD. [点睛] (1)平面和点、直线一样,是只描述而不加定义的原始概念,不能进行度量; (2)平面无厚薄、无大小,是无限延展的. 4.平面的基本性质 公理 内容 如果一条直线上的 公理 1 两点在一个平面 内,那么这条直线 在此平面内 过不在一条直线上 公理 2 的三点,有且只有 一个平面 如果两个不重合的 平面有一个公共 公理 3 点,那么它们有且 只有一条过该点的 公共直线 图形 符号 作用 A∈l,B∈l,且 A ∈α ,B∈α ? l? α 用来证明直线在平 面内 A,B,C 三点不共 线? 存在唯一的 α 使 A,B,C∈α 用来确定一个平面 P∈α ,P∈β ? α ∩β =l,且 P∈ 用来证明空间的点 共线和线共点 l [点睛] 对公理 2 必须强调是不共线的三点. [尝试应用] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)空间不同三点确定一个平面( ) ) ) (2)空间两两相交的三条直线确定一个平面( (3)和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内( 答案:(1)× (2)× (3)√ 2.有以下命题: (1)8 个平面重叠起来要比 6 个平面重叠起来厚; (2)有一个平面的长是 50 m,宽是 20 m; (3)平面是无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念. 其中正确命题的个数为( A.0 C.2 ) B.1 D.3 解析:选 B 平面是无厚度的,故(1)错;平面是无限延展的,不可度量,故(2)错;平面 -2- 是无厚度、无限延展的,故(3)正确.正确命题的个数为 1. 3.根据右图,填入相应的符号:A__________平面 ABC,A________平面 BCD,BD________ 平面 ABC,平面 ABC∩平面 ACD=________. 答案:∈ ? ? AC 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化 [典例] 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系. (1)点 P 与直线 AB; (2)点 C 与直线 AB; (3)点 M 与平面 AC; (4)点 A1 与平面 AC; (5)直线 AB 与直线 BC; (6)直线 AB 与平面 AC; (7)平面 A1B 与平面 AC. [解] (1)点 P∈直线 AB. (2)点 C ?直线 AB. (3)点 M∈平面 AC. (4)点 A1?平面 AC. (5)直线 AB∩直线 BC=点 B. (6)直线 AB? 平面 AC. (7)平面 A1B∩平面 AC=直线 AB. 三种语言的转换方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且 相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示. (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别. -3- [活学活用] 1.若点 M 在直线 a 上,a 在平面 α 内,则 M,a,α 间的关系可记为( A.M∈a,a∈α C.M? a,a? α B.M∈a,a? α D.M? a,a∈α ) 解析:选 B 根据点与线、线与面之间位置关系的符号表示可知 B 正确. 2.用符号语言表示下列语句,并画出图形: (1)三个平面 α ,β ,γ 相交于一点 P,且平面 α 与平面 β 相交于 PA,平面 α 与平面 γ 相交于 PB,平面 β 与平面 γ 相交于 PC; (2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD,平面 ABC 与平面 ADC 相交于 AC. 解:(1)符号语言表示:α ∩β ∩γ =P,α ∩β =PA,α ∩γ =PB,β ∩γ =PC,图形 表示:如图(1). (2)符号语言表示:平面 ABD∩平面 BDC=BD,平面 ABC∩平面 ADC=AC,图形表示:如图 (2). 平面的基本性质的应用 题点一:点线共面问题 1.如图,已知直线 a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:a,b, c,l 共面. 证明:∵a∥b,∴a,b 确定一个平面 α . ∵l∩a=A,l∩b=B, ∴A∈α ,B∈α . 又∵A∈l,B∈l,∴l? α . ∵b∥c,∴b,c 确定一个平面 β . 同理可证 l? β . 于是 b? α ,l? α ,b? β ,l? β ,即 α ∩β =b,α ∩β =l. 又∵b 与 l 不重合, ∴α 与 β 重合, ∴a,b,c,l 共面. -4- 点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题, 主要依据是公理 1、 公理 2. 解 决该类问题通常有三种方法:(1)纳入平面法,先由部分元素确定一个平面,再证其他元素也 在该平面内;(2)辅助平面法(平面重合法),先由有关的点、线确定平面 α ,再由其余元素确 定平面 β ,最后证明平面 α ,β 重合;(3)反证法.通常情况下采用第一种方法. 题点二:点共线问题 2.如图,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,设线段 A1C 与平面 ABC1D1 交于点 Q,求 证:B,Q,D1 三点共线. 证明:如

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