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线面、面面垂直复习


1.面面垂直的判定定理:
b ??? ? ?? ? ? b? ??
线面垂直 面面垂直
?

一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直。
?

b

l

2.面面垂直的性质定理:
两个平面垂直,则一个 平面内垂直于交线的直 线与另一个平面垂直.

? ?? b ??
? ?? ?l
b?l

b??

4.对于不重合的两个平面α与β,给定下列条件: ①存在平面γ,使得α,β都垂直于γ; ②存在平面γ,使得α,β都平行于γ; ③存在直线 l?α,直线 m?β,使得 l∥m;

④存在异面直线 l,m,使得 l∥α,l∥β,m∥α,m∥β.
②④ 其中,可以判定α与β平行的条件有______( 写出符合题意的序 号 ).

4.对于不重合的两个平面α与β,给定下列条件: ①存在平面γ,使得α,β都垂直于γ; ②存在平面γ,使得α,β都平行于γ; ③存在直线 l?α,直线 m?β,使得 l∥m;

④存在异面直线 l,m,使得 l∥α,l∥β,m∥α,m∥β.
②④ 其中,可以判定α与β平行的条件有______( 写出符合题意的序 号 ).

考点4

立体几何中的探索性问题

例 4:(2011 年广东茂名一模)如图 13-5-7,在四棱锥 P-

ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60°,Q 为 AD 的中点.
(1)若 PA =PD,求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (2)点 M 在线段 PC 上,PM=tPC,试确定 t 的值,使 PA ∥平 面 MQB.

图 13-5-7

1 (2)当 t=3时,PA∥平面 MQB.连接 AC 交 BQ 于点 N. AQ AN 1 由 AQ∥BC 可得,△ ANQ∽△CNB,∴BC =NC=2. ∵PA∥平面 MQB,PA? 平面 PAC,平面 PAC∩平面 MQB= MN,∴PA∥MN. 1 1 PM AN 1 ∴ PC =AC=3.即 PM=3PC.∴t=3.

四棱锥P-ABCD的底面是矩形,侧面PAD 是正三角形,且侧面PAD⊥底面ABCD, E 为侧棱PD的中点
P

⑴求证:AE⊥平面PCD;
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AD (2)当 为何值时, PB ? AC ? AB

E D B C

A

10.如图,A、B、C、D为空间四点,在△ABC中, AB=2,AC=BC= 2 ,等边三角形ADB以AB为 轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,则CD= ________. 解析 取AB的中点E,连接DE,CE, 因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB. 当平面ADB⊥平面ABC时, 因为平面ADB ∩平面ABC=AB, 所以DE⊥平面ABC. 可知DE⊥CE. 由已知可得DE= 3,EC=1, 2 2 DE ? CE 在Rt△DEC中,CD= =2. 答案 2

例1:在三棱锥P—ABC中,PA=PC, ∠APC=∠ACB=900 , ∠BAC=300 ,面PAC⊥面ABC (1)求证:面PAB⊥面PBC (2)求PB与面ABC所成角的正弦值 (3)求CA与面PAB所成角的正弦值 (4)若PA=2,求三棱锥P—ABC的体积
P

A

C

B

练习:如图,面ABCD⊥面ABEF,ABCD是正方形, ABEF是矩形,且AD=2AF=2a,G是EF的中点
(1)求证:面AGC⊥面BGC (2)求AB与面AGC所成角的正弦值

GC与面ABC所成角呢?
D C

A

B

F

G

E

例2:四棱锥P-ABCD的底面是矩形,侧面PAD 是正三角形,且侧面PAD⊥底面ABCD, E 为侧棱PD的中点
P

⑴求证:面ACE⊥面PCD;
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AD (2)当 为何值时, PB ? AC ? AB

E D
o

C B

A

11.(创新拓展)在△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1, AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的
AE AF 动点,且 = =λ(0<λ<1). AC AD

(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC; (2)求证:当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD;

垂面法 已知P为二面角 ? ? ? ? ? 内一点,且P到两个半平 面的距离都等于 P 到棱的距离的一半,则这个二面 角的度数是多少? 变式:已知P为600 的二面角 ? ? ? ? ? 内一点, P 到两个半平面的距离分别为4,2,求P到棱的距离
P

?
B
? ?
l

O

A

例3.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角 ABDC,有如下四个结论: ①AC⊥BD;②△ACD是等边三角形;③AB与平面 BCD成60°的角;④AB与CD所成的角为60°. 其中真命题的编号是________(写出所有真命题的 编号).

答案 ①②④


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