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湖南省长沙市长郡中学2015届高三上学期第三次月考数学试卷(文科

湖南省长沙市长郡中学 2015 届高三上学期第三次月考数学试卷 (文科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)设集合 A={x|log2x+1>0},B={y|y=3 ,x∈R},则(?RA)∩B=() A. B. C.(0,1) D.(0,1]
x

2. (5 分)复数 A.

(i 是虚数单位)的虚部是() B. C. D.

3. (5 分)下列命题错误的是() A.命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” B. 若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题 2 2 C. 命题 p:存在 x0∈R,使得 x0 +x0+1<0,则?p:任意 x∈R,都有 x +x+1≥0 2 D.“x>2”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件 4. (5 分)如图给出的是计算 和判断框中的②处应填的语句是( 的值的一个程序框图,则图中执行框内①处
2 2

A.n=n+2,i=15

B.n=n+2,i>15

C.n=n+1,i=15

D.n=n+1,i>15

5. (5 分)两个相关变量满足如表:两变量的回归直线方程为() k 10 15 20 25 y 1003 1005 1010 1011

30 1014

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A. =0.56x+997.4

B. =0.63x﹣231.2

C. =50.2x+501.4

D. =60.4x+400.7

6. (5 分)已知函数 f(x)= 小到大的顺序排成一个数列,则该数列的前 n 项和为() A.Sn=2 ﹣1(n∈N+)B.Sn= D.Sn=2
n﹣1 n

,把方程 f(x)﹣x=0 的根按从

(n∈N+)

C. Sn=n﹣1(n∈N+)

(n∈N+)

7. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于()

A.12

B. 4

C.

D.

8. (5 分)已知点 F1、F2 分别是椭圆

的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线

与椭圆交于 A、B 两点,若△ ABF2 为正三角形,则该椭圆的离心率 e 是() A. B.
x

C.

D.

9. (5 分)已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣b,若 f(x)≥0 恒成立,则 ab 的最大值为() A. B. e
2

C. e

D.

10. (5 分)A,B,C 是平面内不共线的三点,点 P 在该平面内且有 一粒芝麻随机撒在△ ABC 内,则这粒芝麻落在△ PBC 内的概率为()

+2

+3

= ,现将

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A.

B.

C.

D.

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

11. (5 分)已知 x,y 满足约束条件

,且 z=2x+4y 最小值为﹣6,则常数 k=.

12. (5 分)在极坐标系中,直线 ρsin(θ+

)=2 被圆 ρ=4 截得的弦长为.

13. (5 分)过原点作曲线 y=1nx 的切线,则切线方程为.

14. (5 分)已知不等式 范围是.

对任意 x∈R 恒成立,则实数 m 的取值

15. (5 分)设△ AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,n=1,2,3…,若 b1>c1,b1+c1=2a1, an+1=an,bn+1= ,cn+1= ,则∠An 的最大值是.

三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16. (12 分)某城市要建成宜商、宜居的国际化新城,该城市的东城区、西城区分别引进 8 个厂家,现对两个区域的 16 个厂家进行评估,综合得分情况如茎叶图所示. (1)根据茎叶图判断哪个区域厂家的平均分较高; (2)规定综合得分 85 分以上(含 85 分)为优秀厂家,若从该两个区域各选一个优秀厂家, 求得分差距不超过 5 分的概率.

17. (12 分) 如图, 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, △ ABE 为等腰三角形, AE=BE= 平面 ABCD⊥平面 ABE, (Ⅰ)求证:平面 ADE⊥平面 BCE; (Ⅱ)求三棱锥 D﹣ACE 的体积.



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18. (12 分)设 (1)写出函数 f(x)的最小正周期;



,记



(2)试用“五点法”画出函数 f(x)在区间

的简图,并指出该函数的图象可

由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? (3)若 时,函数 g(x)=f(x)+m 的最小值为 2,试求出函数 g(x)的

最大值并指出 x 取何值时,函数 g(x)取得最大值.

19. (13 分)已知等差数列{an}满足 a3=7,a5+a7=26. (1)求{an}的通项公式; (2)若 m=
n

,数列{bn}满足关系式 bn=

,求证:数列{bn}的通项公式

为 bn=2 ﹣1; (3) 设 (2) 中的数列{bn}的前 n 项和为 Sn, 对任意的正整数 n, (1﹣n) ? (Sn+n+2) + (n+p) n+1 ?2 <2 恒成立,求实数 p 的取值范围. 20. (13 分)已知椭圆以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,且椭圆以抛物线 y =16x 的焦 点为其一个焦点,以双曲线 的焦点为顶点.
2

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(1)求椭圆的标准方程; (2)已知点 A(﹣1,0) ,B(1,0) ,且 C,D 分别为椭圆的上顶点和右顶点,点 P 是线 段 CD 上的动点,求
2 2 2

的取值范围.
2

(3)试问在圆 x +y =a 上,是否存在一点 M,使△ F1MF2 的面积 S=b (其中 a 为椭圆的半 长轴长,b 为椭圆的半短轴长,F1,F2 为椭圆的两个焦点) ,若存在,求 tan∠F1MF2 的值, 若不存在,请说明理由. 21. (13 分)已知函数 f(x)=(2﹣a)lnx+ +2ax(a∈R) . (Ⅰ)当 a=0 时,求 f(x)的极值; (Ⅱ)当 a<0 时,求 f(x)单调区间; (Ⅲ)若对任意 a∈(﹣3,﹣2)及 x1,x2∈,恒有(m+ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2)|成 立,求实数 m 的取值范围.

湖南省长沙市长郡中学 2015 届高三上学期第三次月考数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)设集合 A={x|log2x+1>0},B={y|y=3 ,x∈R},则(?RA)∩B=() A. B. C.(0,1) D.(0,1]
x

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 先计算集合 A,B,再计算集合(CRA)∩B 即可. 解答: 解:∵A={x|log2x+1>0}=( ,+∞) ,B={y|y=3 ,x∈R}=(0,+∞) , ∴?RA=(﹣∞, ], ∴(CRA)∩B= 故选 B. 点评: 本题主要考查了集合的交,补混合运算,关键是弄清楚各集合的元素.
x

2. (5 分)复数 A.

(i 是虚数单位)的虚部是() B. C. D.

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考点: 复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: 复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,化简复数为 a+bi(a,b∈R)的形式,可 得虚部. 解答: 解:因为 = = = .

所以复数的虚部为: . 故选 D. 点评: 本题是基础题, 考查复数的代数形式的基本运算, 复数的基本概念, 考查计算能力, 注意虚部是实数. 3. (5 分)下列命题错误的是() 2 2 A.命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” B. 若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题 C. 命题 p:存在 x0∈R,使得 x0 +x0+1<0,则?p:任意 x∈R,都有 x +x+1≥0 2 D.“x>2”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件 考点: 复合命题的真假. 专题: 常规题型. 分析: 由逆否命题的定义,我们易判断 A 的正误,根据复合命题的真值表, 我们易判断 B 的真假;根据特称命题的否定方法,我们易判断 C 的对错;根据充要条件的定义,我们易 判断 D 的正误. 解答: 解:根据逆否命题的定义,命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1, 2 则 x ﹣3x+2≠0”故 A 正确; 若 p∧q 为假命题,则 p、q 至少存在一个假命题,但 p、q 不一定均为假命题,故 B 错误; 命题 p:存在 x0∈R,使得 x0 +x0+1<0 的否定为:任意 x∈R,都有 x +x+1≥0,故 C 正确; 2 2 ∵x>2?x ﹣3x+2>0 为真命题,x ﹣3x+2>0?x<1 或 x>2?x>2 为假命题, 2 故“x>2”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件,故 D 正确. 故选 B 点评: 本题考查的知识点是四种命题,复合命题,特称命题的否定及充要条件,熟练掌握 四种命题的定义, 复合命题的真值表, 特称命题的否定的方法及充要条件的定义是解答本题 的关键.
2 2 2 2 2

4. (5 分)如图给出的是计算 和判断框中的②处应填的语句是(

的值的一个程序框图,则图中执行框内①处

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A.n=n+2,i=15 考点: 程序框图. 专题: 计算题.

B.n=n+2,i>15

C.n=n+1,i=15

D.n=n+1,i>15

分析: 首先分析,要计算

需要用到直到型循环结构,按照程序执行运算.

解答: 解:①的意图为表示各项的分母, 而分母来看相差 2 ∴n=n+2 ②的意图是为直到型循环结构构造满足跳出循环的条件 而分母从 1 到 29 共 15 项 ∴i>15 故选 B. 点评: 本题考查程序框图应用,重在解决实际问题,通过把实际问题分析,经判断写出需 要填入的内容,属于基础题. 5. (5 分)两个相关变量满足如表:两变量的回归直线方程为() k 10 15 20 25 y 1003 1005 1010 1011

30 1014

A. =0.56x+997.4

B. =0.63x﹣231.2

C. =50.2x+501.4

D. =60.4x+400.7

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题. 分析: 先求出横标和纵标的平均数,利用最小二乘法求出线性回归方程的系数 ,再求出 ,代入直线方程,写出线性回归方程,得到结果.

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解答: 解: =1008.6 利用公式可得 = 又 = ﹣ =997.4. ≈0.56,

∴回归方程是 =0.56x+997.4 故选 A. 点评: 本题考查可线性化的回归方程,是一个基础题,这种题目考查的知识点比较简单, 只是运算量比较大,需要细心解答.

6. (5 分)已知函数 f(x)= 小到大的顺序排成一个数列,则该数列的前 n 项和为() A.Sn=2 ﹣1(n∈N+)B.Sn= D.Sn=2
n﹣1 n

,把方程 f(x)﹣x=0 的根按从

(n∈N+)

C. Sn=n﹣1(n∈N+)

(n∈N+)

考点: 数列与函数的综合. 专题: 综合题. 分析: 函数 y=f(x)与 y=x 在(0,1], (1, 2], (2,3], (3,4],…, (n,n+1]上的交 点依次为(0,0) , (1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) ,…, (n+1,n+1) .即方程 f(x)﹣ x=0 在(2,3], (3,4],…, (n,n+1]上的根依次为 3,4,…n+1.方程 f(x)﹣x=0 的根按 从小到大的顺序排列所得数列为 0,1,2,3,4,…,可得数列的前 n 项和. 解答: 解:当 0<x≤1 时,有﹣1<x﹣1<0,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2 , x﹣2 当 1<x≤2 时,有 0<x﹣1≤1,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2 +1, x﹣3 当 2<x≤3 时,有 1<x﹣1≤2,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2 +2, x﹣4 当 3<x≤4 时,有 2<x﹣1≤3,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2 +3, x﹣n﹣1 以此类推,当 n<x≤n+1(其中 n∈N)时,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2 +n, x 所以,函数 f(x)=2 的图象与直线 y=x+1 的交点为: (0,1)和(1,2) , x 由于指数函数 f(x)=2 为增函数且图象下凸,故它们只有这两个交点. x x 然后①将函数 f(x)=2 和 y=x+1 的图象同时向下平移一个单位,即得到函数 f(x)=2 ﹣ 1 和 y=x 的图象, 取 x≤0 的部分,可见它们有且仅有一个交点(0,0) . 即当 x≤0 时,方程 f(x)﹣x=0 有且仅有一个根 x=0. ②取①中函数 f(x)=2 位,
x﹣1 x﹣1 x﹣1

和 y=x 图象﹣1<x≤0 的部分,再同时向上和向右各平移一个单

即得 f(x)=2 和 y=x 在 0<x≤1 上的图象,此时它们仍然只有一个交点(1,1) . 即当 0<x≤1 时,方程 f(x)﹣x=0 有且仅有一个根 x=1.
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③取②中函数 f(x)=2 和 y=x 在 0<x≤1 上的图象,继续按照上述步骤进行, x﹣2 即得到 f(x)=2 +1 和 y=x 在 1<x≤2 上的图象,此时它们仍然只有一个交点(2,2) . 即当 1<x≤2 时,方程 f(x)﹣x=0 有且仅有一个根 x=2. ④以此类推,函数 y=f(x)与 y=x 在(2,3], (3,4],…, (n,n+1]上的交点依次为(3, 3) , (4,4) ,…(n+1,n+1) . 即方程 f(x)﹣x=0 在(2,3], (3,4],…(n,n+1]上的根依次为 3,4,…,n+1. 综上所述方程 f(x)﹣x=0 的根按从小到大的顺序排列所得数列为: 0,1,2,3,4,…, ∴该数列的前 n 项和 ,n∈N .
+

x﹣1

故选 B. 点评: 本题考查了数列递推公式的灵活运用, 解题时要注意分类讨论思想和归纳总结; 本 题属于较难的题目,容易出错,要细心解答. 7. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于()

A.12

B. 4

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 该几何体是四棱锥,底面是直角梯形,一条侧棱垂直底面,根据公式可求体积. 解答: 解:由三视图复原几何体,如图, 它的底面是直角梯形,一条侧棱垂直底面高为 2, 这个几何体的体积: 故选 B. ,

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点评: 本题考查三视图、棱锥的体积;考查简单几何体的三视图的运用;培养同学们的空 间想象能力和基本的运算能力;是中档题.

8. (5 分)已知点 F1、F2 分别是椭圆

的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线

与椭圆交于 A、B 两点,若△ ABF2 为正三角形,则该椭圆的离心率 e 是() A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 先求出 AF1 的长,直角三角形 AF1F2 中,由边角关系得 tan30°= 立关于离心率的方程, 解方程求出离心率的值. 解答: 解:把 x=﹣c 代入椭圆的方程可得 y= ∴AF1 = , ,

=

,建

由 tan30°= 求得 3e +2 解得
2

=

=

=

=



e﹣3=0, (舍去) ,或 ,

故选 D. 点评: 本题考查椭圆的简单性质,直角三角形中的边角关系,解方程求离心率的大小,属 于中档题.

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9. (5 分)已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣b,若 f(x)≥0 恒成立,则 ab 的最大值为() A. B. e
2

x

C. e

D.

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 先求出函数的导数,再分别讨论 a=0,a<0,a>0 的情况,从而得出 ab 的最大值. 解答: 解:f′(x)=e ﹣a, x 若 a=0,则 f(x)=e ﹣b 的最小值为 f(﹣∞)=﹣b≥0, 得 b≤0,此时 ab=0; 若 a<0,则 f′(x)>0,函数单调增,此时 f(﹣∞)=﹣∞,不可能恒有 f(x)≥0. 若 a>0,则得极小值点 x=lna,由 f(lna)=a﹣alna﹣b≥0,得 b≤a(1﹣lna) ab≤a (1﹣lna)=g(a) 现求 g(a)的最小值:由 g'(a)=2a(1﹣lna)﹣a=a(1﹣2lna)=0,得极小值点 a= g( )=
2 x

所以 ab 的最大值为 , 故选:D. 点评: 本题考察了函数的单调性,导数的应用,渗透了分类讨论思想,是一道综合题.

10. (5 分)A,B,C 是平面内不共线的三点,点 P 在该平面内且有 一粒芝麻随机撒在△ ABC 内,则这粒芝麻落在△ PBC 内的概率为() A. B. C.

+2

+3

= ,现将

D.

考点: 向量加减混合运算及其几何意义;几何概型. 专题: 平面向量及应用;概率与统计. 分析: 先将已知向量式化为两个向量共线的形式, 再利用平行四边形法则及向量数乘运算 的几何意义,三角形面积公式确定面积之比,进而利用几何概型的概率公式即可得到结论. 解答: 解解答: :∵ ∴ 即 + + +2( =﹣2( + + +2 +3 = ,

)= , ) ,

分别取 AC,BC 的中点,F,G, ∵ + ═ , ,

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∴F、P、G 三点共线,且 PF=2PG,GF 为三角形 ABC 的中位线,



=2, (h1,h2 是相应三角形的高) ,

而 S△ APB= S△ ABC, ∴△APB,△ APC,△ BPC 的面积之比等于 3:2:1, ∴S△ BPC:S△ ABC=1:6, ∴由几何概型的概率公式可得将一粒芝麻随机撒在△ ABC 内,则这粒芝麻落在△ PBC 内的 概率为 , 故选:D.

点评: 本题考查的知识点是几何概型的意义, 关键是绘制满足条件的图形, 数形结合找出 满足条件的△ PBC 的面积大小与△ ABC 面积的大小之间的关系,再根据几何概型的计算公 式进行求解.综合性较强,难度较大. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

11. (5 分)已知 x,y 满足约束条件

,且 z=2x+4y 最小值为﹣6,则常数 k=0.

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 数形结合. 分析: 先根据约束条件画出可行域,设 z=2x+4y,再利用 z 的几何意义求最值,只需求出 直线 z=2x+4y 过可行域内的点 B 时,从而得到 k 值即可. 解答: 解:先根据约束条件画出可行域, 设 z=2x+4y, 将最大值转化为 y 轴上的截距, 当直线 z=2x+4y 经过点 B 时,z 最小,

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得:

代入直线 x+y+k=0 得,k=0 故答案为:0.

点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组, 以及简单的转化思想和数形结合的 思想,属中档题.借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、 化归思想.线性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定.

12. (5 分)在极坐标系中,直线 ρsin(θ+

)=2 被圆 ρ=4 截得的弦长为 4



考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 常规题型;转化思想. 分析: 先利用三角函数的和角公式展开直线的极坐标方程的左式, 再利用直角坐标与极坐 2 2 2 标间的关系,即利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ =x +y ,进行代换即得直角坐标方程,最后利用 直角坐标中直线与圆的关系求出截得的弦长即可. 解答: 解:∵ρsin(θ+ )=2,

∴ρsinθ+ρcosθ=2 ,化成直角坐标方程为: x+y﹣2 =0, 2 2 圆 ρ=4 化成直角坐标方程为 x +y =16, 圆心到直线的距离为: ∴截得的弦长为: 2× = .

故答案为: . 点评: 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置, 体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互 化.
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13. (5 分)过原点作曲线 y=1nx 的切线,则切线方程为



考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题. 分析: 设出切点坐标, 根据坐标表示出切线的斜率, 然后把切点的横坐标代入到曲线的导 函数中得到切线的斜率, 两者相等即可求出切点的横坐标, 把横坐标代入到曲线解析式得到 切点的纵坐标和切线的斜率,根据斜率和切点坐标写出切线方程即可. 解答: 解:设切点坐标为(x0,lnx0) ,则切线斜率 k=y′ ∴lnx0=1 解得 x0=e, ∴切点为(e,1) ,k= 则切线方程为:y﹣1= (x﹣e)即 y= x 故答案为:y= x 点评: 考查学生掌握切线斜率与导函数的关系,会利用导数研究曲线上某点的切线方程, 以及会根据斜率和一点写出直线的方程. = = ,

14. (5 分)已知不等式 范围是﹣3<m<5.

对任意 x∈R 恒成立,则实数 m 的取值

考点: 指数函数综合题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数的单调性将不等式转化为一元二次不等式恒成立, 利用一元二次不等 式恒成立转化为对应判别式△ <0,解不等式即可得到结论. 解答: 解:不等式等价为
2 2



即 x +x<2x ﹣mx+m+4 恒成立, 2 ∴x ﹣(m+1)x+m+4>0 恒成立, 2 即△ =(m+1) ﹣4(m+4)<0, 2 即 m ﹣2m﹣15<0, 解得﹣3<m<5, 故答案为:﹣3<m<5. 点评: 本题主要考查指数不等式和一元二次不等式的解法, 利用指数函数的单调性是解决 本题的关键.

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15. (5 分)设△ AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,n=1,2,3…,若 b1>c1,b1+c1=2a1, an+1=an,bn+1= ,cn+1= ,则∠An 的最大值是 .

考点: 基本不等式在最值问题中的应用;正弦定理;余弦定理的应用. 专题: 解三角形;不等式的解法及应用. 分析: 根据数列的递推关系得到 bn+cn=2a1 为常数,然后利用余弦定理以及基本不等式即 可得到结论. 解答: 解:∵an+1=an,∴an=a1, ∵bn+1= ,cn+1= =a1+ , ,

∴bn+1+cn+1=an+

∴bn+1+cn+1﹣2a1= (bn+cn﹣2a1) , 又 b1+c1=2a1, ∴当 n=1 时,b2+c2﹣2a1= (b1+c1+﹣2a1)=0, 当 n=2 时,b3+c3﹣2a1= (b2+c2+﹣2a1)=0, … ∴bn+cn﹣2a1=0, 即 bn+cn=2a1 为常数,则由基本不等式可得 bn+cn=2a1≥2 ∴bncn 由余弦定理可得
2 2



, =(bn+cn) ﹣2bncn﹣2bncncosAn,
2

即(a1) =(2a1) ﹣2bncn(1+cosAn) , 2 2 即 2bncn(1+cosAn)=3(a1) ≤2(a1) (1+cosAn) , 即 3≤2(1+cosAn) , 解得 cosAn ∴0<An , , ,

即∠An 的最大值是 故答案为:

点评: 本题考查数列以及余弦定理的应用, 利用基本不等式是解决本题的关键, 综合性较 强,运算量较大,难度较大. 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分)

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16. (12 分)某城市要建成宜商、宜居的国际化新城,该城市的东城区、西城区分别引进 8 个厂家,现对两个区域的 16 个厂家进行评估,综合得分情况如茎叶图所示. (1)根据茎叶图判断哪个区域厂家的平均分较高; (2)规定综合得分 85 分以上(含 85 分)为优秀厂家,若从该两个区域各选一个优秀厂家, 求得分差距不超过 5 分的概率.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据茎叶图求出东城区与西城区的平均分即可得出结论; (Ⅱ)求出从两个区域各选一个优秀厂家的所有基本事件数,再求出满足得分差距不超过 5 的事件数,即可求出概率. 解答: 解: (Ⅰ)根据茎叶图知,东城区的平均分为 (780+790+790+88+88+89+93+94)=86, 西城区的平均分为 = (72+79+81+83+84+85+94+94)=84, =

∴东城区的平均分较高; (Ⅱ)从两个区域各选一个优秀厂家, 所有的基本事件数为 5×3=15 种, 满足得分差距不超过 5 的事件(88,85) (88,85) (89,85) (89,94) (89,94) (93,94) (93,94) (94,94) (94,94)共 9 种, ∴满足条件的概率为 P= = .

点评: 本题通过茎叶图考查了平均数以及古典概型的概率问题,解题时应列出基本事件, 属于基础题 17. (12 分) 如图, 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, △ ABE 为等腰三角形, AE=BE= 平面 ABCD⊥平面 ABE, (Ⅰ)求证:平面 ADE⊥平面 BCE; (Ⅱ)求三棱锥 D﹣ACE 的体积. ,

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考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)首先,得到 AD⊥AB,然后,根据面面垂直,得到 AD⊥BE,再借助于直 角三角形,得到 AE⊥BE,从而得到证明; (Ⅱ)首先,取 AB 中点 O,然后,借助于 VD﹣ACE=VE﹣ACD 求解. 解答: 解: (Ⅰ)∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AD⊥AB. 又∵平面 ABCD⊥平面 ABE,平面 ABCD∩平面 ABE=AB,AD?平面 ABCD, ∴AD⊥平面 ABE,而 BE?平面 ABE. ∴AD⊥BE. 又∵AE=BE= ,AB=2, 2 2 2 ∴AB =AE +BE ,∴AE⊥BE 而 AD∩AE=A,AD、AE?平面 ADE, ∴BE⊥平面 ADE 而 BE?平面 BCE, ∴平面 ADE⊥平面 BCE. (Ⅱ)取 AB 中点 O,连接 OE. ∵△ABE 是等腰三角形,∴OE⊥AB. 又∵平面 ABCE⊥平面 ABE,平面 ABCD∩平面 ABE=AB,OE?平面 ABCD ∴OE⊥平面 ABCD 即 OE 是三棱锥 D﹣ACE 的高. 又∵AE=BE= AB=2∴OE=1 ∴VD﹣ACE=VE﹣ACD= OE?S 正方形 ABCD= . 点评: 本题重点考查了空间中垂直关系、 空间几何体的体积公式及其运算等知识, 属于中 档题.

18. (12 分)设 (1)写出函数 f(x)的最小正周期;



,记



(2)试用“五点法”画出函数 f(x)在区间

的简图,并指出该函数的图象可

由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? (3)若 时,函数 g(x)=f(x)+m 的最小值为 2,试求出函数 g(x)的

最大值并指出 x 取何值时,函数 g(x)取得最大值.

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考点: 五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象;平面向量数量积的运算;两角和与差的正 弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域. 专题: 综合题. 分析: (1)先利用向量数量积的坐标运算写出函数 f(x)的解析式,再利用二倍角公式 和两角和的正弦公式将函数化简为 y=Asin(ωx+φ)的形式,最后由周期公式即可得 f(x) 的最小正周期 (2)由(1)f(x)= ,利用五点法,即将 2x+ 看成整体取正弦函数

的五个关键点,通过列表、描点、连线画出函数图象,用图象变换的方法得此函数图象,可 以先向左平移,再横向伸缩,再向上平移的顺序进行 (3) 先将 2x+ , ,求此函数的最值可

看成整体,求正弦函数的值域,最后利用函数 g(x)=f(x)+m 的最小值为 2,

解方程可得 m 的值,进而求出函数最大值 解答: 解: (1) = ∴ (2) x 0 sin( y )0 1 π 0 ﹣1 2π 0

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y=sinx 向左平移

得到

,再保持纵坐标不变,横坐标缩短为原为的 变为

最后再向上平移 个单位得到 (3) ∵ ∴ ∴ ∴ ∴m=2, ∴ 当 即 时 g(x)最大,最大值为 . , , , ,

点评: 本题综合考察了三角变换公式的运用,三角函数的图象画法,三角函数图象变换, 及复合三角函数值域的求法. 19. (13 分)已知等差数列{an}满足 a3=7,a5+a7=26. (1)求{an}的通项公式; (2)若 m=
n

,数列{bn}满足关系式 bn=

,求证:数列{bn}的通项公式

为 bn=2 ﹣1; (3) 设 (2) 中的数列{bn}的前 n 项和为 Sn, 对任意的正整数 n, (1﹣n) ? (Sn+n+2) + (n+p) n+1 ?2 <2 恒成立,求实数 p 的取值范围.

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考点: 数列与不等式的综合;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析: (1)由等差数列有通项公式,得到首项与公差的方程组,得出首项与公差的值, 得到通项公式; (2)已知数列的递推公式,由叠加法,得到数列的通项公式; (3)将数列求 和得到前 n 项和后,将条件变形后,得到关于参数 p 的关系式,这是一个恒成立问题,通过 最值的研究,得到本题结论. 解答: 解: (1)设等差数列 an 的公差为 d, 由已知,有 解得

所以 an=3+2(n﹣1)=2n+1, * 即差数列 an 的通项公式为 an=2n+1,n∈N . (2)因为 所以,当 n≥2 时, 证法一(数学归纳法) : ①当 n=1 时,b1=1,结论成立; ②假设当 n=k 时结论成立,即 那么当 n=k+1 时, 即 n=k+1 时,结论也成立. 由①,②得,当 n∈N 时, 证法二:当 n≥2 时,
* k

, .

, =2 ﹣1+2 =2
k k+1

﹣1,

成立. ,

所以

将这 n﹣1 个式子相加,得





=



当 n=1 时,b1=1 也满足上式. 所以数列{bn}的通项公式为 (3)由(2) ,所以 . ,

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∴原不等式变为(1﹣n)2 ∴

n+1

+(n+p)?2

n+1

<2,即 p?2

n+1

<2﹣2

n+1



对任意 n∈N 恒成立,

*

∵n 为任意的正整数, ∴p≤﹣1. ∴m 的取值范围是(﹣∞,﹣1]. 点评: 本题考查的是数列和不等式的知识,涉及到等差数列的通项公式、前 n 项和公式、 叠加法求通项,以及不等关系式.本题有一定的思维量,运算量较大,属于难题. 20. (13 分)已知椭圆以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,且椭圆以抛物线 y =16x 的焦 点为其一个焦点,以双曲线 的焦点为顶点.
2

(1)求椭圆的标准方程; (2)已知点 A(﹣1,0) ,B(1,0) ,且 C,D 分别为椭圆的上顶点和右顶点,点 P 是线 段 CD 上的动点,求
2 2 2

的取值范围.
2

(3)试问在圆 x +y =a 上,是否存在一点 M,使△ F1MF2 的面积 S=b (其中 a 为椭圆的半 长轴长,b 为椭圆的半短轴长,F1,F2 为椭圆的两个焦点) ,若存在,求 tan∠F1MF2 的值, 若不存在,请说明理由. 考点: 圆锥曲线的综合. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)先求出抛物线 y =16x 的焦点和双曲线 而求出椭圆的标准方程; (2) 先求出线段 CD 的方程, 设出点 P 的坐标, 找到 的取值范围即可. (3) 先利用 (1) 的结论以及△ F1MF2 的面积求出圆的方程和点 M 的纵坐标, 再把 tan∠F1MF2 的转化为两直线倾斜角的差,利用两角差的正切公式以及点 M 的坐标与圆的关系求出 tan∠F1MF2 的值即可. 解答: 解: (1)因为抛物线 y =16x 的焦点和双曲线 (5,0) . 所以 a=5,c=4 所以椭圆的标准方程: (2)设 P(x0,y0) ,则 CD:3x+5y﹣15=0(0≤x≤5)
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2 2

的焦点,就可求出 a,c 进

的表达式. 再利用图象求出

的焦点分别为(4,0)和

; ;

则当 OP⊥CD 时,取到最小值,即: 当 P 在 D 点时,取到最大值:OD=5 所以: (3)如图所示: .



由第一问可知,圆的方程为 x +y =25.△ F1MF2 的面积 S=b =9. 设 M(x,y) .又△ F1MF2 的面积 S=b =9= ×2×4×y?4y=9, 又 F1(﹣4,0)F2(4,0) .设直线 MF2 的倾斜角为 α,直线 MF1 的倾斜角为 β,
2

2

2

2

则 tan∠F1MF2=tan(α﹣β)= 即 tan∠F1MF2 的值 2.

=

=

=

=2.

点评: 本题是对椭圆,圆,抛物线以及向量等知识的综合考查.在平时做题过程中,圆锥 曲线只要出大题,一般多放在最后一题,或倒数第二题,是不易得分的题. 21. (13 分)已知函数 f(x)=(2﹣a)lnx+ +2ax(a∈R) . (Ⅰ)当 a=0 时,求 f(x)的极值; (Ⅱ)当 a<0 时,求 f(x)单调区间; (Ⅲ)若对任意 a∈(﹣3,﹣2)及 x1,x2∈,恒有(m+ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2)|成 立,求实数 m 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题;分类讨论;转化思想. 分析: (Ⅰ)当 a=0 时,f(x)=2lnx+ ,求导,令 f′(x)=0,解方程,分析导数的变化 情况,确定函数的极值;
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(Ⅱ)当 a<0 时,求导,对导数因式分解,比较两根的大小,确定函数 f(x)单调区间; (Ⅲ)若对任意 a∈(﹣3,﹣2)及 x1,x2∈,恒有(m+ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2)|成 立,求函数 f(x)的最大值和最小值,解不等式,可求实数 m 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)依题意知 f(x)的定义域为(0,+∞) , 当 a=0 时,f(x)=2lnx+ ,f′(x)= ﹣ = ,

令 f′(x)=0,解得 x= , 当 0<x< 时,f′(x)<0; 当 x≥ 时,f′(x)>0 又∵f( )=2﹣ln2 ∴f(x)的极小值为 2﹣2ln2,无极大值.

(Ⅱ)f′(x)=



+2a=

当 a<﹣2 时,﹣ < , 令 f′(x)<0 得 0<x<﹣ 或 x> , 令 f′(x)>0 得﹣ <x< ; 当﹣2<a<0 时,得﹣ > , 令 f′(x)<0 得 0<x< 或 x>﹣ , 令 f′(x)>0 得 <x<﹣ ;

当 a=﹣2 时,f′(x)=﹣

≤0,

综上所述,当 a<﹣2 时 f(x) ,的递减区间为(0,﹣ )和( ,+∞) ,递增区间为(﹣ , ) ; 当 a=﹣2 时,f(x)在(0,+∞)单调递减; 当﹣2<a<0 时,f(x)的递减区间为(0, )和(﹣ ,+∞) ,递增区间为( ,﹣ ) .

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 a∈(﹣3,﹣2)时,f(x)在区间上单调递减,
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当 x=1 时,f(x)取最大值; 当 x=3 时,f(x)取最小值; |f(x1)﹣f(x2)|≤f(1)﹣f(3)=(1+2a)﹣= ﹣4a+(a﹣2)ln3, ∵(m+ln3)a﹣ln3>|f(x1)﹣f(x2)|恒成立, ∴(m+ln3)a﹣2ln3> ﹣4a+(a﹣2)ln3 整理得 ma> ﹣4a, ∵a<0,∴m< ﹣4 恒成立, < ﹣4<﹣ ,

∵﹣3<a<﹣2,∴﹣ ∴m≤﹣

点评: 考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题,在求函数的单调区间时,体现 了分类讨论的思想方法; 恒成立问题, 转化为函数的最值问题, 体现了转化的思想. 属难题.

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