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(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测): 专题9.7 抛物线(讲)文

专题 9.7 抛物线 考 点 考纲内容 5 年统计 分析预测 1.考查抛物线的定义; 2.考查抛物线的标准方程,结合 (1) 了解圆锥曲线的实 际背 景 , 了解圆锥曲线在刻画现 实世界和解决实际问题中的 作用. 抛 物 线 (2)了解抛物线的定义、几何 图形、标准方程及简单性质. (4)了解圆锥曲线的简单应 用. (5)理解数形结合的思想. 2013?新课标 II. 10; 2014?新课标 I. 10;II.10; 2015?新课标 I. 5; 2016?新课标 I.20;II.5; 2017?新课标 I.20;II.12. 抛物线的基本量之间的关系,利 用待定系数法求解; 3.考查抛物线的几何性质; 4.考查抛物线与双曲线、椭圆的 综合问题. 5.备考重点: (1)掌握抛物线的定义、标准方 程、几何性质; (2) 熟练运用方程思想及待定系 数法; (3) 利用数形结合思想, 灵活处 理综合问题. 【知识清单】 1. 抛物线的标准方程及几何性质 图形 标准方程 顶点 范围 对称轴 焦点 离心率 准线方程 y =2px(p>0) O(0,0) x≥0, y ? R x轴 2 y =-2px(p>0) 2 x =2py(p>0) 2 x =-2py(p>0) 2 x≤0, y ? R y≥0, x ? R y轴 y≤0, x ? R ?p ? F ? ,0 ? ?2 ? e=1 ? p ? F ? ? ,0? ? 2 ? ? p? F ? 0, ? ? 2? p? ? F ? 0, ? ? 2? ? x?? p 2 x? p 2 y?? p 2 y? p 2 焦半径 对点练习: | MF |? x0 ? p 2 | MF |? p ? x0 2 | MF |? y0 ? p 2 | MF |? p ? y0 2 【2016 高考新课标 1 卷】以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点,交 C 的准线于 D、E 两点.已知 |AB|= 4 2 ,|DE|= 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为( (A)2 【答案】B (B)4 (C)6 (D)8 ) 2. 抛物线的定义及应用 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( l 不经过点 F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点 F 叫做抛 物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线. 对点练习: 【2017 山东,文 15】在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 2 x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的右支与焦点为 F 的抛 a 2 b2 . 物线 x ? 2 py( p ? 0) 交于 A,B 两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 【答案】 y ? ? 【解析】 2 x 2 3. 直线和抛物线的位置关系 (1)将直线的方程 y ? kx ? m 与抛物线的方程 y =2px(p>0)联立成方程组,消元转化为关于 x 或 y 的一 2 元二次方程,其判别式为 Δ . ky 2 ? 2 py ? 2 pm ? 0 若 k ? 0 ,直线与抛物线的对称轴平行或重合,直线与抛物线相交于一点; 若k ? 0 ①Δ >0 ? 直线和抛物线相交,有两个交点; ②Δ =0 ? 直线和抛物线相切,有一个公共点; ③Δ <0 ? 直线和抛物线相离,无公共点. (2)直线与抛物线的相交弦 x2 y 2 设直线 y ? kx ? m 交抛物线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 于点 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ), 两点,则 a b 2 2 | PP 1 2 |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) = ( x1 ? x2 )2 [1 ? ( y1 ? y2 2 2 ) ] = 1 ? k | x1 ? x2 | x1 ? x2 1 | y1 ? y2 | (k ? 0) k2 同理可得 | P 1P 2 |? 1 ? 这里 | x1 ? x2 |, | y1 ? y2 |, 的求法通常使用韦达定理,需作以下变形: | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 | y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 对点练习: 【2016 高考江苏卷】如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l : x ? y ? 2 ? 0 ,抛物线 C : y2 ? 2 px( p ? 0) (1)若直线 l 过抛物线 C 的焦点,求抛物线 C 的方程; (2)已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q. ①求证:线段 PQ 的中点坐标为 (2 ? p, ? p). ; ②求 p 的取值范围. 【答案】 (1) y 2 ? 8x (2)①详见解析,② (0, ) 4 3 p 【解析】 (1)抛物线 C : y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 ( ,0) 2 p p 由点 ( ,0) 在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上,得 ? 0 ? 2 ? 0 ,即 p ? 4. 2 2 所以抛物线 C 的方程为 y 2 ? 8x. (2)设 P(x1 , y1 ), Q(x 2, y 2 ) ,线段 PQ 的中点 M (x 0 , y0 ) 因为点 P 和 Q 关于直线 l 对称,所以直线 l 垂直平分线段 PQ, 于是直线 PQ 的斜率为 ?1,则可设其方程为 y ? ? x ? b. ? y 2 ? 2 px ①由 ? 消去 x 得 y 2 ? 2 py ? 2 pb ? 0(*) ? y ? ?x ? b 因为 P 和 Q 是抛物线 C 上的相异两点,所以 y1 ? y2 , 从而 ? ? (2 p)2 ? 4(?2 pb) ? 0 ,化简得 p ? 2b ? 0 . 方程(*)

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