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江苏省赣榆县智贤中学高考数学 专题二 第2讲 三角变换、解三角形(3)复习教学案

教学内容:三角变换、解三角形(3)
教学目标: 1 三角变换与求值; 2.三角形中的三角函数 教学重点: 灵活运用三角变换公式解决三角函数问题; 教 学难点: 在三角形中灵活运用三角变换公式解决三角 函数问题; 教学过程: 一 、例题教学: 例 1、 (1)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a ,b,c,已知 a=2 3,c tan A 2c =2 2,1+ = ,则 C=________. tan B b π? 3 ? (2)(2014·苏州模拟)已知 sin?α + ?=- (0<α <π ),则 cos 2α 的值为 4? 5 ? ________. tan A 2c (1)解析:由 1+ = 和正弦定理得 tan B b cos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos A,即 sin C=2sin Ccos A, 1 2 3 2 2 所以 cos A= ,则 A=60°.由正弦定理得 = , 2 sin A sin C 则 sin C= 答案:45° π π 5π π 3 (2)解析:因为 0< α <π ,则 <α + < ,又因为 sin(α + )=- <0, 4 4 4 4 5 π? π 5π π 4 ? 所以 π <α + < ,则 cos(α + )=- ,所以 cos 2α =sin?2α + ?=2sin(α 2? 4 4 4 5 ? π π 24 + )·cos(α + )= . 4 4 25 24 答案: 25 变式训练: cos A (2014·淮安指导卷)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 sin A cos C 1 + = . sin C sin B π (1)求证:0<B≤ ; 3 7 → → 3 → → ,且BA·BC= ,求|BC+BA| 的值. 4 2 cos A cos C cos Asin C+cos Csin A sin?A+C? [ 解 ] (1) 证 明 : + = = = sin A sin C sin Asin C sin Asin C sin B 1 2 2 2 = . 所以 sin Asin C=sin B ,由正弦定理可得,b =ac, 因为 b sin Asin C sin B (2)若 sin B= 2 ,又 c<a,则 C<60°,故 C=45°. 2

复备栏

1

1 π 2 2 =a +c -2accos B≥2ac-2ac cos B ,所以 cos B≥ ,即 0<B≤ . 2 3 (2)因为 sin B= 7 2 ,且 b =ac,所以 B 不是最大角, 4
2

所以 cos B= 1-sin B=

7 3 1- = . 16 4

3 → → 3 所以 =BA·BC=accos B= ac,得 ac=2, 2 4 2 2 2 2 2 2 因而 b =2,由余弦定理得 b =a +c -2accos B,所以 a +c =5. → → 2 → → 2 → → 2 2 2 所以|BC+BA| =a +c +2BC·BA=a +c +2accos B=8,即|BC+BA|=2 2. 变式训练: (2014·南通模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, → → c.若 b=4,BA·BC=8. 2 2 (1)求 a +c 的值; 2 (2)求函数 f(B)= 3sin Bcos B+cos B 的值域. → → 解:(1)因为BA·BC =8,所以 accos B=8. 2 2 2 2 2 由余弦定理得 b =a +c -2accos B=a +c -16, 2 2 因为 b=4,所以 a +c =32. 2 2 (2)因为 a +c ≥2ac,所以 ac≤16 8 1 ,所以 cos B= ≥ . ac 2 π 因为 B∈(0,π ),所以 0<B≤ . 3 因为 f(B)= 3sin Bcos B+cos B= 1 , 2 π π 5π π 1 由于 <2B+ ≤ ,所以 sin(2B+ )∈[ ,1], 6 6 6 6 2 3 所以 f(B)的值域为[1, ]. 2 例 2、已知关于 x 的方程 2x -( 3+1)x+m=0 的两根为 sin θ 和 cos θ ,θ ∈(0,2π ),求: 2 sin θ cos θ (1) + 的值(2)m 的值; sin θ -cos θ 1-tan θ (3)方程的两根及此时 θ 的值. 2 sin θ cos θ 解:(1)原式= + sin θ -cos θ sin θ 1- cos θ 2 2 sin θ cos θ = + sin θ -cos θ cos θ -sin θ 2 2 sin θ -cos θ = =sin θ +cos θ . sin θ -cos θ 由条件知 sin θ +cos θ =
2 2 2

3 1 π sin 2B+ (1+cos 2B)=sin(2B+ )+ 2 2 6

3+1 , 2

sin θ cos θ 3+1 + = . sin θ -cos θ 1-tan θ 2 2 2 2 (2)由 sin θ +2sin θ cos θ +cos θ =1+2sin θ cos θ =(sin θ +cos θ ) 故
2

及 sin θ +cos θ =

3+1 3 ,得 m= . 2 2

3+1 ? ?sin θ +cos θ = 2 , (3)由? 3 ? ?sin θ ·cos θ = 4 , 3 ? sin θ = , ? 2 知? 1 ? ?cos θ =2, 1 sin θ = , ? 2 ? 或? 3 ? ?cos θ = 2 .

π π 又 θ ∈(0,2π ),故 θ = 或 θ = . 6 3 变式训练: 1 已知在△ABC 中,sin A+cos A= . 5 (1)求 sin Acos A 的值; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值. 1 解:(1)∵sin A+cos A= ,① 5 1 ∴两边平方得 1+2sin Acos A= , 25 12 ∴sin Acos A=- . 25 12 (2)由 sin Acos A=- <0,且 0<A<π , 25 可知 cos A<0,∴A 为钝角, ∴△ABC 是钝角三角形. 2 (3)∵(sin A-cos A) =1-2sin A·cos A 24 49 =1+ = , 25 25 又 sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0, 7 ∴sin A-cos A= .② 5 4 3 ∴由①②可得 sin A= ,cos A=- , 5 5 4 sin A 5 4 ∴tan A= = =- cos A 3 3 - 5 巩固练习: 完成专题强化训练的练习。 课后反思:

3


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