当前位置:首页 >> >> 2009广东高考理数

2009广东高考理数


绝密★启用前

试卷类型:B

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室 号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应 位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷 上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点,再作答。 漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 V =

1 sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.巳知全集 U = R ,集合 M = {x ?2 ≤ x ? 1 ≤ 2} 和 N = {x x = 2k ? 1, k = 1, 2,L} 的关系 的韦恩(Venn)图如图 1 所示,则阴影部分所示的集合的元素共有 A.3个 B.2个 . C.1个 D.无穷个 2.设 z 是复数, a ( z ) 表示满足 z n = 1 的最小正整数 n ,则对虚数单 位 i , a (i ) = A.8 B.6 C.4 D.2

3.若函数 y = f ( x) 是函数 y = a x ( a > 0, 且a ≠ 1) 的反函数,其图像经过点 ( a , a ) ,则

f ( x) =
A. log 2 x B. log 1 x
2

C.

1 2x
2n

D. x

2

4.已知等比数列 {an } 满足 an > 0, n = 1, 2,L ,且 a5 ? a2 n ?5 = 2 ( n ≥ 3) ,则当 n ≥ 1 时,

log 2 a1 + log 2 a3 + L + log 2 a2 n ?1 =

A. n(2n ? 1)

B. (n + 1)

2

C. n

2

D. ( n ? 1)

2

5.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直, 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其 中,为真命题的是 A.①和② B.②和③ C..③和④ D.②和④ 6.一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知 F1 , F2 成 60 角,且 F1 , F2 的大小分别为2和4,则 F3 的大小为 A.6 B.2 C. 2 5 D. 2 7
0

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

7.2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分 别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其 余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 A.36 种 B.12 种 C.18 种 D.48 种 8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线)行驶.甲车、乙车的 速度曲线分别为 v甲和v乙 (如图 2 所示) .那么对于图中给定的 t0和t1 ,下列判断中一定正确 的是 A.在 t1 时刻,甲车在乙车前面 B. t1 时刻后,甲车在乙车后面 C.在 t0 时刻,两车的位置相同 D. t0 时刻后,乙车在甲车前面 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分, 满分 30 分. (一)必做题(9~12题) 9.随机抽取某产品 n 件,测得其长度分别为 a1 , a2 ,L , an ,则图 3 所示的程序框图输出的 s = ,s 表示的样本的数字特征 是 . (注:框图中的赋值符号“=” 也可以写成 “←” “:=” ) 1 0 . 若 平 面 向 量 a, b 满 足 a + b = 1 , a + b 平 行 于 x 轴 ,

b = (2, ?1) ,则 a =



w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

11.巳知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为 . 12.已知离散型随机变量 X 的分布列如右表.若 EX = 0 , DX = 1 ,则 a = ,b = . (二)选做题(13 ~ 15 题,考生只能从中选做两题) 13 .( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 若 直 线

3 ,且 G 上一点到 G 的两 2

? x = 1 ? 2t , ? x = s, l1 : ? (t为参数) 与直线 l2 : ? ( s 为参数)垂直,则 k = ? y = 2 + kt. ? y = 1 ? 2 s.
14. (不等式选讲选做题)不等式



x +1 x+2

≥ 1 的实数解为



15.(几何证明选讲选做题)如图 4,点 A, B, C 是圆 O 上的点, 且

AB = 4, ∠ACB = 450 ,则圆 O 的面积等于



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤, 16.(本小题满分12 12分) 12 已知向量 a = (sin θ , ?2)与b = (1, cos θ ) 互相垂直,其中 θ ∈ (0, (1)求 sin θ 和 cos θ 的值; (2)若 sin(θ ? ? ) =

π
2

).

10 π , 0 < ? < ,求 cos ? 的值. 10 2

w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

17. (本小题满分12分) 根据空气质量指数 API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:

对 某 城 市 一 年 ( 365 天 ) 的 空 气 质 量 进 行 监 测 , 获 得 的 API 数 据 按 照 区 间

[0, 50], (50,100], (100,150], (150, 200], (200, 250], (250, 300] 进行分组,得到频率分布直
方图如图5

(1)求直方图中 x 的值; (2)计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数; (3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概 率. (结果用分数表示.已知

57 = 78125, 27 = 128,

3 2 7 3 8 123 + + + + = ,365 = 73 × 5 ) 1825 365 1825 1825 9125 9125

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

18. (本小题满分14分) 如图6,已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为2,点E是正方形 BCC1 B1 的中心, 点F、G分别是棱 C1 D1 , AA1 的中点.设点 E1 , G1 分别是点E,G在平面 DCC1 D1 内的正投 影. (1)求以E为顶点,以四边形 FGAE 在平面 DCC1 D1 内的 正投影为底面边界的棱锥的体积; (2)证明:直线 FG1 ⊥ 平面FEE1 ; (3)求异面直线 E1G1与EA 所成角的正统值

19. (本小题满分14分) 已知曲线 C : y = x 2 与直线 l : x ? y + 2 = 0 交于两点 A( x A , y A ) 和 B ( xB , y B ) , x A < xB . 且 记 曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)为 D .设点

P ( s, t ) 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合.

(1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程; (2)若曲线 G : x ? 2ax + y ? 4 y + a +
2 2 2

w.w.w.k. s.5.u.c.o.m

51 = 0 与点 D 有公共点,试求 a 的最小值. 25

20. (本小题满分14分) 已知二次函数 y = g ( x ) 的导函数的图像与直线 y = 2 x 平行,且 y = g ( x ) 在 x = ?1 处取 得极小值 m ? 1( m ≠ 0) .设 f ( x ) =

g ( x) . x

(1)若曲线 y = f ( x) 上的点 P 到点 Q (0, 2) 的距离的最小值为 2 ,求 m 的值; (2) k ( k ∈ R ) 如何取值时,函数 y = f ( x ) ? kx 存在零点,并求出零点.
w.w.w.k.s.5.u.c.o. m

21. (本小题满分14分) 已 知 曲 线 Cn : x ? 2nx + y = 0( n = 1, 2,K) . 从 点 P ( ?1, 0) 向 曲 线 Cn 引 斜 率 为
2 2

kn (kn > 0) 的切线 ln ,切点为 Pn ( xn , yn ) .
(1)求数列 {xn }与{ yn } 的通项公式; (2)证明: x1 ? x3 ? x5 ?L ? x2 n ?1 <

1 ? xn x < 2 sin n 1 + xn yn

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

2009 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 广 东 卷 )

数学(理科) 数学(理科)参考答案
一、 选择题 1-8 B .C. 二。 、填空题 (一)必做题 9.【解析】 s = B. C D. D A A.

a1 + a 2 + ? ? ? + a n ;平均数 n

11. 【 解 析 】

a + b = (1,0) 或 (?1,0) , 则 a = (1,0) ? (2,?1) = (?1,1) 或

a = (?1,0) ? (2,?1) = (?3,1)
11.【解析】 e =

3 x2 y2 , 2a = 12 , a = 6 , b = 3 ,则所求椭圆方程为 + = 1. 2 36 9
11 1 1 2 2 2 , ? a + c + = 0 ,1 × a + 1 × c + 2 × = 1, 12 6 12

12.【解析】由题知 a + b + c = 解得 a = (二)选做题 13.【解析】 ?

5 1 ,b = . 12 4 k × (?2) = ?1 ,得 k = ?1 . 2

? x +1 ≥ x + 2 ?( x + 1) 2 ≥ ( x + 2) 2 3 14.【解析】 ≥1 ? ? ?? ? x ≤ ? 且 x ≠ ?2 x+2 2 ?x + 2 ≠ 0 ?x + 2 ≠ 0
x +1
15. 【解析】 解法一: 连结 OA 、 , ∠AOB = 90 , AB = 4 , = OB , OA = 2 2 , OB 则 ∵ OA ∴
0

则 S圆 = π × ( 2 2 ) = 8π ; 解 法 二 : 2 R =
2

4 =4 2?R=2 2 , 则 sin 45 0

S圆 = π × (2 2 ) 2 = 8π .
三、解答题 16. 解: (1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b = sin θ ? 2 cos θ = 0 ,即 sin θ = 2 cos θ ,代入

sin 2 θ + cos 2 θ = 1



sin θ = ±

2 5 5 , cos θ = ± 5 5





π θ ∈ (0, )
2





sin θ =
( 2

2 5 5 , cos θ = . 5 5
) ∵

0<? <

π
2



0 <θ <

π
2





?

π
2

< θ ?? <

π
2





cos(θ ? ? ) = 1 ? sin 2 (θ ? ? ) =

3 10 10





cos ? = cos[θ ? (θ ? ? )] = cos θ cos(θ ? ? ) + sin θ sin(θ ? ? ) =
17. 解: (1)由图可知

2 . 2

3 2 7 3 8 123 119 + + ) × 50 = 1 ? × 50 ,解得 x = 50x = 1 ? ( + + ; 1825 365 1825 1825 9125 9125 18250 119 2 × 50 + × 50) = 219 ; (2) 365 × ( 18250 365
(3)该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为

119 2 219 3 × 50 + × 50 = = ,则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为 18250 365 365 5 3 2 1 ? = ,一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为 5 5 3 3 76653 7 2 6 2 1 ? C 7 ( ) 7 ( ) 0 ? C 7 ( ) 6 ( )1 = . 5 5 5 5 78125
18. 解: (1)依题作点 E 、G 在平面 DCC1 D1 内的正投影 E1 、G1 ,则 E1 、G1 分别为 CC1 、

DD1 的中点,连结 EE1 、 EG1 、 ED 、 DE1 ,则所求为四棱锥 E ? DE1 FG1 的体积,其底
面 DE1 FG1 面积为

1 1 × 2 × 2 + × 1× 2 = 2 , 2 2 1 2 又 EE1 ⊥ 面 DE1 FG1 , EE1 = 1 ,∴ V E ? DE1FG1 = S DE1FG1 ? EE1 = . 3 3
S DE1FG1 = S Rt?E1FG1 + S Rt?DG1E1 =
(2)以 D 为坐标原点,DA 、DC 、DD1 所在直线分别作 x 轴, y 轴, z 轴,得 E1 (0,2,1) 、

G1 (0,0,1) ,又 G (2,0,1) , F (0,1,2) , E (1,2,1) , 则 FG1 = (0,?1,?1) , FE = (1,1,?1) ,
FE1 = (0,1,?1) ,
∴ FG1 ? FE = 0 + ( ?1) + 1 = 0 , FG1 ? FE1 = 0 + ( ?1) + 1 = 0 , 即 FG1 ⊥ FE ,

FG1 ⊥ FE1 ,
又 FE1 ∩ FE = F ,∴ FG1 ⊥ 平面 FEE1 . (3) E1G1 = (0,?2,0) , EA = (1,?2,?1) ,则 cos < E1G1 , EA >=

E1G1 ? EA E1G1 EA

=

2 6

,设异

面直线 E1G1与EA 所成角为 θ ,则 sin θ = 1 ?

2 3 = . 3 3
1 5 2 2

2 19. 解: 联立 y = x 与 y = x + 2 得 x A = ?1, x B = 2 , AB 中点 Q ( , ) , (1) 则 设线段 PQ

1 5 +s +t 1 5 ,y = 2 的中点 M 坐标为 ( x, y ) ,则 x = 2 ,即 s = 2 x ? , t = 2 y ? ,又点 P 在 2 2 2 2
曲线 C 上,

5 1 11 = (2 x ? ) 2 化简可得 y = x 2 ? x + ,又点 P 是 L 上的任一点,且不与点 A 和 2 2 8 1 1 5 11 2 点 B 重合,则 ? 1 < 2 x ? < 2 ,即 ? < x < ,∴中点 M 的轨迹方程为 y = x ? x + 2 4 4 8 1 5 ( ? < x < ). 4 4 51 2 2 2 y =0, (2)曲线 G : x ? 2ax + y ? 4 y + a + 25 49 7 2 2 即圆 E : ( x ? a ) + ( y ? 2) = ,其圆心坐标为 E ( a,2) ,半径 r = 25 5 51 2 2 2 由图可知, 0 ≤ a ≤ 2 时, 当 曲线 G : x ? 2ax + y ? 4 y + a + =0 xA D 25 o 与点 D 有公共点;
∴ 2y ? 当 a < 0 时, 要使曲线 G : x ? 2ax + y ? 4 y + a +
2 2 2

xB

x

51 = 0 与点 D 有公 25 |a?2+2| 2 = |a| 2 ≤ 7 ,得 5

共点,只需圆心 E 到直线 l:x? y+2=0 的距离 d =

?

7 2 7 2 ≤ a < 0 ,则 a 的最小值为 ? . 5 5

20. 解: 依题可设 g ( x ) = a ( x + 1) 2 + m ? 1 ( a ≠ 0 ), g ' ( x ) = 2a ( x + 1) = 2ax + 2a ; (1) 则 又 g ′ ( x ) 的图像与直线 y = 2 x 平行

∴ 2a = 2

a =1 g ( x) x

∴ g ( x) = ( x + 1) 2 + m ? 1 = x 2 + 2 x + m , f ( x ) =

= x+

m +2, x

设 P xo , yo ,则 | PQ | = x 0 + ( y 0 ? 2) = x 0 + ( x 0 +
2 2 2 2

(

)

m 2 ) x0

2 = 2 x0 +

m2 + 2 m ≥ 2 2 m 2 + 2 m = 2 2 | m | +2 m 2 x0

当且仅当 2 x0 =
2

m2 2 时, | PQ | 取得最小值,即 | PQ | 取得最小值 2 2 x0

当 m > 0 时, ( 2 2 + 2) m = 当 m < 0 时, ( ?2 2 + 2) m =

2 2

解得 m =

2 ?1

解得 m = ? 2 ? 1

m + 2 = 0 ( x ≠ 0 ), (1 ? k ) x 2 + 2 x + m = 0 得 x m m 当 k = 1 时,方程 (*) 有一解 x = ? ,函数 y = f ( x ) ? kx 有一零点 x = ? ; 2 2
(2) y = f ( x ) ? kx = (1 ? k ) x + 由 当 k ≠ 1 时,方程 (*) 有二解 ? ? = 4 ? 4m (1 ? k ) > 0 , 若 m > 0 , k > 1?

( *)

1 , m

函 数

y = f ( x ) ? kx 有 两 个 零 点

x=

? 2 ± 4 ? 4m(1 ? k ) 2(1 ? k )

, 即

x=

1 ± 1 ? m(1 ? k ) ; k ?1
若 m < 0 , k < 1?

1 , m x= ? 2 ± 4 ? 4m(1 ? k ) 2(1 ? k )
, 即

函 数

y = f ( x ) ? kx 有 两 个 零 点

x=

1 ± 1 ? m(1 ? k ) ; k ?1
k = 1? 1 , m

当 k ≠ 1 时,方程 (*) 有一解 ? ? = 4 ? 4m (1 ? k ) = 0 , 函数 y = f ( x ) ? kx 有一零点 x =

1 = ?m k ?1 m ; 2

综上,当 k = 1 时, 函数 y = f ( x ) ? kx 有一零点 x = ? 当 k > 1?

1 1 ( m > 0 ),或 k < 1 ? ( m < 0 )时, m m

函数 y = f ( x ) ? kx 有两个零点 x = 当 k = 1? 21.

1 ± 1 ? m(1 ? k ) ; k ?1

1 1 时,函数 y = f ( x ) ? kx 有一零点 x = = ?m . m k ?1

解 : ( 1 ) 设 直 线 ln : y = k n ( x + 1) , 联 立 x 2 ? 2nx + y 2 = 0 得

2 2 2 2 2 2 (1 + k n ) x 2 + (2k n ? 2n) x + k n = 0 , 则 ? = (2k n ? 2n) 2 ? 4(1 + k n )k n = 0 , ∴

kn =

n 2n + 1

(?

n 2n + 1

舍去)

2 kn n n 2n + 1 n2 x = = , 即 xn = , ∴ y n = k n ( x n + 1) = 2 2 n +1 n +1 1 + k n (n + 1) 2 n

1 ? xn ( 2) 证 明 : ∵ = 1 + xn

n n +1 = n 1+ n +1 1?

1 2n + 1

x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x 2 n ?1 =

1 3 2n ? 1 1 3 2n ? 1 × × ???× < × ×???× = 2 4 2n 3 5 2n + 1
1 ? xn 1 + xn

1 2n + 1

∴ x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x 2 n ?1 <

由于

xn = yn

1 ? xn 1 = ,可令函数 f ( x ) = x ? 2 sin x ,则 f ' ( x) = 1 ? 2 cos x , 2n + 1 1 + xn
2 π π , 给定区间 (0, ) , 则有 f ' ( x ) < 0 , 则函数 f (x ) 在 (0, ) 上 2 4 4

令 f ' ( x ) = 0 , cos x = 得

单 调 递 减 , ∴ f ( x ) < f ( 0) = 0 , 即 x <

2 sin x 在 (0, ) 恒 成 立 , 又 4

π

0<

1 1 π ≤ < , 2n + 1 3 4 1 ? xn x 1 1 < 2 sin ,即 < 2 sin n . 2n + 1 2n + 1 1 + xn yn

则有

w.w. w. k.s.5. u.c.o.m

.w.k.s.5.u.c.o.m


赞助商链接
更多相关文档:

2009年高考试题——数学理(广东卷)解析版

2009高考试题——数学理(广东卷)解析版 - 想赢得下一个10年,你必须拥有全新的核心能力(强烈推荐),快速提分的绝强好资料,高考状元都是这样走过来的!

2009广东高考数学(理科B卷)试卷及详细解答

2009广东高考数学(理科B卷)试卷及详细解答_高三数学_数学_高中教育_教育专区。...数)垂直,则 k ? 13.解:直线 l1 : ? . ? x ? 1 ? 2t , ? x ? ...

2010年广东省高考数学试卷(理科)答案与解析

以及组合及组合数公式的应用,属于基础题. 18. (14 分) (2010?广东)如图, ...理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约 束条件,并就题目所述找出目标函数....

【高考试题】2009年高考数学(广东.理)含详解

高考试题】2009高考数学(广东.理)含详解 - 绝密★启用前 试卷类型:B 2009 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科) 本试卷共 4 页,21 小题...

2009年广东高考理科数学试题及答案

2009广东高考理科数学试题及答案 - 2009 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科) 参考公式:锥体的体积公式 V ? 1 sh ,其中 S 是锥体的底面积,...

广东高考2009理数答案

广东高考2009理数答案 - 2009 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科) 数学(理科)参考答案 一、 选择题 1-8 B .C. 二...

2009年广东省高考理科数学试卷及答案

2009广东省高考理科数学试卷及答案 - 2009 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科) 数学(理科)参考答案 小题, 在每小题给出的...

2009年广东高考理科数学试题及答案完整版

2009广东高考理科数学试题及答案完整版 - 绝密★启用前 试卷类型:B 2009 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科) 本试卷共 4 页,21 小题,满分...

2009年广东高考理科数学试题()

2009广东高考理科数学试题() - 私人教育顾问, 升学辅导专家! 绝密★启用前 试卷类型:B 2009 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科) 本试卷共 4...

2009年广东省高考数学试卷(理科)

2009广东省高考数学试卷(理科) - 年广东省高考数学试卷(理科) 2009广东省高考数学试卷(理科) ? 2012 菁优网 菁优网 Http://www.jyeoo.com 一...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com