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选修4-5第1讲绝对值不等式

知识点 考纲下载 理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证 明以下不等式: (1)|a+b|≤|a|+|b|. (2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|. (3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: |ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c. 1.了解数学归纳法的原理及其使用范围, 会用数学归纳法证明一些 简单问题. 2.会用数学归纳法证明贝努利不等式: (1+x)n>1+nx(x>-1,x≠0,n 为大于 1 的正整数). 了解当 n 为大于 1 的实数时贝努利不等式也成立. 3.会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、 柯西不等式求一些特定函数的极值. 4.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证 法、放缩法. 1.了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并 会证明. (1)柯西不等式的向量形式:|α|·|β|≥|α·β|. (2)(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. 绝对值不等式 不等式的证明 柯西不等式与排序不等 式 (3) (x1-x2)2+(y1-y2)2+ (x2-x3)2+(y2-y3)2≥ (x1-x3)2+(y1-y3)2. (此不等式通常称为平面三角不等式) 2.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形: 2 2 ? a2 i · ? bi ≥( ? aibi) . i=1 i=1 n n n i=1 3.会用向量递归方法讨论排序不等式. 第 1 讲 绝对值不等式 , [学生用书 P222]) 1.绝对值三角不等式 定理 1:如果 a,b 是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时,等号成立. 定理 2:如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0 时, 等号成立. 2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集 不等式 |x|<a |x|>a a>0 {x|-a<x<a} {x|x>a 或 x<-a} a=0 ? {x|x∈R 且 x≠0} a<0 ? R (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c; ②|ax+b|≥c?ax+b≥c 或 ax+b≤-c. 绝对值不等式的解法[学生用书 P223] [典例引领] 解下列不等式: (1)x+|2x+3|≥2; (2)|x-1|-|x-5|<2. 3 3 ? ? ?x<-2, ?x≥-2, 【解】 (1)原不等式可化为? 或? ? ?-x-3≥2 ? ?3x+3≥2. 1 解得 x≤-5 或 x≥- . 3 1? ? ? 综上,原不等式的解集是?x? ?x≤-5或x≥-3 . ? ? (2)①当 x≤1 时,原不等式可化为 1-x-(5-x)<2, 所以-4<2,不等式恒成立,所以 x≤1. ②当 1<x<5 时,原不等式可化为 x-1-(5-x)<2, 所以 x<4,所以 1<x<4. ③当 x≥5 时,原不等式可化为 x-1-(x-5)<2,该不等式不成立. 综上,原不等式的解集为(-∞,4). [通关练习] 1.(2016· 高考全国卷乙)已知函数 f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)画出 y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|>1 的解集. ? ?3x-2,-1<x≤3, 2 [解] (1)f(x)=? 3 ? ?-x+4,x>2, y=f(x)的图象如图所示. x-4,x≤-1, (2)由 f(x)的表达式及图象知, 当 f(x)=1 时,可得 x=1 或 x=3; 1 当 f(x)=-1 时,可得 x= 或 x=5, 3 故 f(x)>1 的解集为{x|1<x<3}; 1 ? ? f(x)<-1 的解集为?x|x<3或x>5?. ? ? 所以|f(x)|>1 的解集为 1 ? ? ?x|x< 或1<x<3或x>5?. 3 ? ? x 2.解不等式|x+3|-|2x-1|< +1. 2 x [解] (1)当 x<-3 时,原不等式化为-(x+3)-(1-2x)< +1, 2 解得 x<10,所以 x<-3. 1 (2)当-3≤x< 时, 2 x 原不等式化为(x+3)-(1-2x)< +1, 2 2 解得 x<- , 5 2 所以-3≤x<- . 5 1 x (3)当 x≥ 时,原不等式化为(x+3)-(2x-1)< +1,解得 x>2, 2 2 所以 x>2. 2 ? ? 综上可知,原不等式的解集为?x|x<-5或x>2?. ? ? 绝对值三角不等式的证明及应用[学生用书 P223] [典例引领] (1)如果 a,b∈R.求证|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时,等号成立. 1 1 (2)已知 x,y∈R,且|x+y|≤ ,|x-y|≤ ,求证:|x+5y|≤1. 6 4 【证明】 (1)当 ab≥0 时,ab=|ab|, 所以|a+b|= (a+b)2 = a2+2ab+b2 = |a|2+2|ab|+|b|2 = (|a|+|b|)2 =|a|+|b|. 当 ab<0 时,ab=-|ab|, 所以|a+b|= (a+b)2 = a2+2ab+b2 = |a|2-2|ab|+|b|2 < |a|2+2|ab|+|b|2 = (|a|+|b|)2 =|a|+|b|. 所以|a+b|≤|a|+|b|, 当且仅当 ab≥0 时,等号成立. (2)因为|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|. 所以由绝对值不等式的性质,得 |x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)| ≤|3(x+y)|+|2(x-y)| 1 1 =3|x+y|+2|x-y|≤3× +2× =1. 6 4 即|x+5y|≤1. 如果 a,b,c∈R,求证|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b

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