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河北省邢台一中2013—2014学年高一下学期第四次月考数学文试题


河北省邢台一中 2013—2014 学年高一下学期第四次月考 数学文试题
第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分)
1.若直线 l 不平行于平面 ? ,且 l ? ? ,则( A. ? 内的所有直线与 l 异面 ) B. ? 内存在唯一的直线与 l 平行

C. ? 内不存在与 l 平行的直线 D. ? 内的直线都与 l 都相交 2.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 ccos A=b,则△ABC( A.一定是锐角三角形 B.一定是钝角三角形 C.一定是直角三角形 D.一定是斜三角形

).

3. 设数列 { an } 和 { bn } 都是等差数列, 其中 a1 =25, 且 a100 + b100 =100, 则数列 { a n ? bn } b1 =75, 的前 100 项之和是( ) A.1000 B.10000 C.1100 D.11000

4.下列四个正方体图形中, A 、 B 为正方体的两个顶点, M 、 N 、 P 分别为其所在棱的中点,能 得出 AB / / 平面 MNP 的图形的序号是( )

A. ①、③

B. ①、④

C. ②、③

D. ②、④ )

5.若点 P(2, ? 1) 为圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 25的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是( A. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0

6.已知一个水平放置的正方形用斜二测画法作出的直观图是一个平行四边形,平行四边形中有一条 边长为 4,则此正方形的面积是( ) A. 16 B. 64 C. 16 或 64 D.以上都不对 7. 已知函数 的值域是 ,则实数 的取值范围是 ( )

·1 ·

A.



B.



C。



D.

.

8.长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, O 是 B 1 交平面 AB1 D1 于点 M ,则下列结论 1D 1 的中点,直线 AC 错误的是( ) B. A, M , O, A1 四点共面 D. B, B1 , O, M 四点共面
C D1 O C1 B1 A1 D B M A

A. A, M , O 三点共线 C. A, O, C , M 四点共面

9. 若点 P(m,0) 到点 A(?3, 2) 及 B(2,8) 的距离之和最小,则 m 的值为( ) A.2 B. ?2 C.1 D. ?1 10.设 P、A、B、C 是球 O 表面上的四个点,PA、PB、PC 两两互相垂直,且 PA=3,PB=4,PC=5,则 球的表面积为( ) A.

50 π 3
满足条件

B.

25 ? 3

C.25π

D. 50π

11.已知点

( k 为常数) ,若

的最大值为 8,则



值 A.



) B.6 C.8 D.不确定

12.在平面直角坐标系 xoy,中, 已知圆 x 2 ? y 2 ? 4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1, 则实数 c 的取值范围是() A

?? 13, 13?

B

?13, 39? ? ?? 39, ? 13?

C

?? 13, 13?

, 13? D ?? 13

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。)
13.圆台的上下底面半径分别为 1、2,母线与底面的夹角为 60°,则圆台的侧面积 为 ...
2 14. 各项不为零 的等差数列 {an } 中, 2a3 ? a7 ? 2a11 ? 0 ,则 a7 的值为_______ ...

.

2 2 15.若实数 x, y 满足 ( x ? 2) ? y ? 3, 设k ?

y ,则实数 k 的取值范围是 x



16.如图是一正方体的表面展开图,B、N、Q 都是所在棱的中点,则在原正方体中,①AB 与 CD 相交; ②MN∥PQ;③AB∥PE;④MN 与 CD 异面;⑤MN∥平面 PQC. 其中真命题的是________(填序号).

·2 ·

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。 )
17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a cosC, b cos B, c cos A 成等差数列. (1)求角 B 的大小; (2)若 a ? c ? 4 ,求边 b 的最小值. 18. (本小题满分 12 分) 如图,已知直三棱柱 ABC ? ABC 1 ? 1 ,D 为 BC 的中 1 1 1 中, AB ? BC ? 2 , AC ? 2 2 , AA 点. (1)求证: A 1 B ∥面 ADC1 ; (2)求三棱锥 B ? AC1D 的体积. 19. (本小题满分 12 分) 已知线段 AB 的端点 B 的坐标为(0,3) , 端点 A 在圆 C: (x ? 1)2 ? y 2 ? 4 上运动。 (1)求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程; (2)过 B 点的直线 L 与圆 C 有两个交点 A,D,弦 AD 的长为 20. (本小题满分 12 分) 已 知 等 差 数 列 {an } 的 首 项 为 a , 公 差 为 b , 且 不 等 式 ax 2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集为

2 19 ,求直线 L 的方程 5

(??,1) (b, ??) .
(1)求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (2)若数列 {bn } 满足 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . a n ? a n ?1

21. (本小题满分 12 分) 已知几何体 A—BCED 的三视图如图所示, 其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直角三角
·3 ·

形,正视图为直角梯形. (1)画出直观图并求此几何体的体积 V 的大小; (2)求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值;
E

4 D 1 4 正视图 4 侧视图 A C B

俯视图

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ?

1 2 ? , ( x ? 0) a x

(1)判断 f ( x ) 在 (0, ??) 上的增减性,并证明之。 (2)解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 ; (3)若 f ( x) ? 2 x ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围。

文科数学答案
一选择题
题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 B 5 D 6 C 7 A 8 D 9 B 10 D 11 A 12 A

二填空题
? 13. 6? 14. ? ? ? 3, 3 ?
15. 4 16. ①②④⑤

三解答题
17.(1)由题意得: 2b cos B ? c cos A ? a cos C , 2 sin B cos B ? sin C cos A ? sin A cos C , 2 sin B cos B ? sin B ,
·4 ·

1 ? , B? . 2 3 (2)设 AC 边上的中点为 E , sin B ? 0, ? cos B ?
2 2 2

4分

由余弦定理得: b ? a ? c ? 2ac cos B

?a?c? ? ?a ? c? ? 3ac ? 16 ? 3ac ? 16 ? 3? ? ? 4, ? 2 ?
2

2

当 a ? c 时取到”=”所以边 b 的最小值为 2 .

10 分

18. 解: (1) 连接交 AC1 于点 O, 连接 OD, ∵O、 D 分别为 AC BC 的中点, ∴ OD ∥ A 1 、 1B 且 OD = 又∵ OD ? 面 ADC1 且 A (6 分) 1 B ∥面 ADC1 。 1B ? 面 ADC1 ∴ A (2)∵ VB ? AC1D ? VC1 ? ABD ?

1 A1 B 2

1 S?ABD C1C 又∵ AB ? BC ? 2 , AC ? 2 2 ,∴ ?ABC ? 900 又∵ 3 1 D 为 BC 的 中 点 ∴ BD=1 ∴ S?ABD = AB · BD=1 。 ∵ AA1 ? 1 ∴ CC1 ? 1 ∴ 2 1 1 VB ? AC1D ? VC1 ? ABD ? S?ABD C1C ? 。 (12 分) 3 3

19.(1)设 M 坐标为 ? x, y ? , 因为 B 的坐标为 (0,3) ,所以 A 的坐标为 ? 2x,2 y ? 3? , 又因为 A 在圆 C 上,所以有 (2x ? 1) ? (2 y ? 3) ? 4 ,
2 2
2 2 即 ( x ? ) ? ( y ? ) ? 1 为所求的轨迹方程.

1 2

3 2

……4 分 ……5 分

(2)当直线斜率不存在时的 L 的方程为 x=0,不满足题意; 当直线斜率存在时,设直线方程为 y=kx+3, 由弦长 AD=

2 19 19 2 9 。则圆心(-1,0)到直线 L 的距离 d= 22 ? ( ) ? 5 5 5

由点到直线的距离公式 有

?k ? 3 1+k
2

?

9 5

……9 分

3 24 化简得28k 2 ? 75k ? 72 ? 0, 解得得k ? 或k ? ? , 4 7
所以直线方程为 y ?

3 24 x ? 3或y ? ? x ? 3 . ……12 分 4 7

20.解: (1) ax2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集为 (??,1) (b, ??)
·5 ·

? 方程 ax3 ? 3x ? 2 ? 0 的两根为 x1 ? 1 , x2 ? b
?a ? 3 ? 2 ? 0 ?a ? 1 ?? 2 ?? ? ab ? 3b ? 2 ? 0 ?b ? 2
( 2 )

? an ? 2n ? 1 , Sn ? n2
? bn ?

6分
则 有

bn ?

1 an ? an?1



1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?
=

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ) 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1
12 分

n 2n ? 1

E F D C B

21. (1)直观图为, (2 分)

A
由该几何体的三视图知 AC ? 面 BCED ,且 EC=BC=AC=4 ,BD=1∴ S梯形BCED ?

1 ? (4 ? 1) ? 4 ? 10 2

1 1 40 ? S梯形BCED ? AC ? ? 10 ? 4 ? . 3 3 3 40 即该几何体的体积 V 为 . 3
∴V ? (2):过点 B 作 BF//ED 交 EC 于 F,连结 AF, 则∠FBA 或其补角即为异面直线 DE 与 AB 所成的角. 在△BAF 中,∵AB= 4 2 ,BF=AF= ? 16 ? 9 ? 5 .

6分



cos ?ABF ?

BF 2 ? AB 2 ? AF 2 2 2 . ? 2 BF ? AB 5
2 2 . 5
12 分

即异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为

22

解: (1) f ( x ) 在 (0, ??) 上是减函数。证明略

(2)不等式 f ( x) ? 0 ,即 ?

1 2 ? x ? 2a ? ? 0, ? ? 0, ? ? x ? 2a ? ax ? 0 a x ax

①当 a ? 0 时,不等式 x ? x ? 2a ? ? 0,?0 ? x ? 2a;
·6 ·

②当 a ? 0 时,不等式 x ? x ? 2a ? ? 0,? x ? 0 (3)若 f ( x) ? 2 x ? 0, 在 ? 0, ??? 上恒成立,即 最小值为 4,

1 2 1 1? ? ? ? 2 x ? a, ? 2? x ? ? a x a x? ?
0 或 a>4.

1? ? 2? x ? ? 的 x? ?

1 ? 4 解之的 a a

0 或 a ? 4 因此实数 a 的取值范围是 a

·7 ·


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