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高中数学第二章平面向量2_4_1平面向量数量积的物理背景及其含义学案含解析新人教A版必修4

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 平面向量的数量积 [提出问题] 一个物体在力 F 的作用下产生位移 s,如图. 问题 1:如何计算这个力所做的功? 提示:W=|s||F|cos θ . 问题 2:力 F 在位移方向上的分力是多少? 提示:|F|cos θ . 问题 3:力做功的大小与哪些量有关? 提示:与力 F 的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关. [导入新知] 1.向量的数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积: 已知条件 定义 记法 (2)零向量与任一向量的数量积: 规定:零向量与任一向量的数量积均为 0. 2.向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念: ①向量 b 在 a 的方向上的投影为|b|cos θ . ②向量 a 在 b 的方向上的投影为|a|cos θ . (2)数量积的几何意义: 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积. [化解疑难] 透析平面向量的数量积 (1)向量的数量积 a·b,不能表示为 a×b 或 ab. (2)两个向量的数量积是一个数量,而不是向量,其大小与两个向量的长度及其夹角都有 关,符号由夹角的余弦值的符号决定. 设两个非零向量 a 与 b 的夹角为 θ ,则 向量 a,b 是非零向量,它们的夹角为 θ a 与 b 的数量积(或内积)是数量|a||b|cos θ a·b=|a||b|cos θ 当 θ =0°时,cos θ =1,a·b=|a||b|; 当 θ 为锐角时,cos θ >0,a·b>0; 当 θ 为钝角时,cos θ <0,a·b<0; 当 θ 为直角时,cos θ =0,a·b=0; 当 θ =180°时,cos θ =-1,a·b=-|a||b|. 平面向量数量积的性质和运算律 [提出问题] 已知两个非零向量 a,b,θ 为 a 与 b 的夹角. 问题 1:若 a·b=0,则 a 与 b 有什么关系? 提示:∵a·b=0,a≠0,b≠0,∴cos θ =0,θ =90°,a⊥b. 问题 2:a·a 等于什么? 提示:a·a=|a| cos 0°=|a| . 问题 3:在什么条件下可求 cos θ ? 2 2 a·b 提示:已知 a·b 及|a||b|时,可得 cos θ = . |a||b| [导入新知] 1.向量数量积的性质 设 a 与 b 都是非零向量, θ 为 a 与 b 的夹角. (1)a⊥b?a·b=0. (2)当 a 与 b 同向时,a·b=|a||b|, 当 a 与 b 反向时,a·b=-|a||b|. (3)a·a=|a| 或|a|= a·a= a . 2 2 a·b (4)cos θ = . |a||b| (5)|a·b|≤|a||b|. 2.向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a(交换律). (2)(λ a)·b=λ (a·b)=a·(λ b)(结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). [化解疑难] 辨析向量数量积与实数运算 (1)在实数运算中,若 ab=0,则 a 与 b 中至少有一个为 0.而在向量数量积的运算中,不 能从 a·b=0 推出 a=0 或 b=0.实际上由 a·b=0 可推出以下四种结论: ①a=0,b=0;②a=0,b≠0;③a≠0,b=0;④a≠0,b≠0,但 a⊥b. (2)在实数运算中, 若 a, b∈R, 则|ab|=|a|·|b|, 但对于向量 a, b, 却有|a·b|≤|a||b|, 当且仅当 a∥b 时等号成立.这是因为|a·b|=|a||b||cos θ |,而|cos θ |≤1. (3)实数运算满足消去律:若 bc=ca,c≠0,则有 b=a.在向量数量积的运算中,若 a·b =a·c(a≠0),则向量 c,b 在向量 a 方向上的投影相同,因此由 a·b=a·c(a≠0)不能得到 b=c. (4)实数运算满足乘法结合律,但向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c 不 一定等于 a·(b·c),这是由于(a·b)·c 表示一个与 c 共线的向量,而 a·(b·c)表示一个 与 a 共线的向量,而 c 与 a 不一定共线. 向量数量积的运算 [例 1] (1)已知向量 a 与 b 的夹角为 120°,且|a|=4,|b|=2,求:①a·b; ②(a+ b)·(a-2b). AB =c, (2)如图, 设正三角形 ABC 的边长为 2, 求 a·b+b·c+c·a. BC =a, CA =b, [解] (1)①由已知得 a·b=|a||b|cos θ =4×2×cos 120°=-4. ②(a+b)·(a-2b)=a -a·b-2b =16-(-4)-2×4=12. (2)∵|a|=|b|=|c|= 2,且 a 与 b,b 与 c,c 与 a 的夹角均为 120°, ∴a·b+b·c+c·a= 2× 2×cos 120°×3=-3. [类题通法] 向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量 的夹角是求数量积的关键. (2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. [活学活用] ― → ― → 1.(山东高考)已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60°,则 BD · CD =( 3 2 A.- a 2 3 2 C. a 4 答案:D 3 2 B.- a 4 3 2 D. a 2 ) 2 2 2.已知正方形 ABCD 的边长为 2,分别求: (1) AB · CD ;(2) AB · AD ;(3) DA · AC . 答案:(1)-4 (2)0 (3)-4 与向量的模有关的问题 [例 2] (1)已知向量 a, b 夹角为 45°, 且|a|=1, |2a-b|= 10, 则|b|=________. π (2)已知|a|=2,|b|=4,a,b 的夹角为 ,以 a,

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