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2017全国2卷文,科数学试卷分析_图文

2017年高考文科数学(全国2卷) 试卷分析

海口市第一中学

陈文彩

? 2017年数学使用全国乙卷(新课标Ⅰ)的 省份:安徽、湖北、福建、湖南、山西、 河北、江西、广东、河南 ? 2017年数学使用全国甲卷(新课标Ⅱ卷) 的省份:甘肃、青海、西藏、黑龙江、吉 林、辽宁、宁夏、新疆、内蒙古、陕西、 重庆、海南 ? 2017年数学使用全国丙卷(新课标三卷) 的省份:广西、贵州、云南、四川(首次)

如何理解“高考就是指挥棒”?
想从高考命题者的思路中得到什么启示 a、清楚每一个高考试题考什么 (知识点,思想方法与技能) b、思考现有的高考题试题的特点 c、尝试思考来年高考题的走向 d、反思怎样进行高考备考效果会更好

一年一度的高考如期而至,在万众瞩目中, 考题揭开神秘的面纱。海南省2017年高考数学 考卷采用全国课标2卷,以下是我对2017年高 考文科数学全国课标2卷的分析。 一、试卷的总体评价 二、近四年试卷考点统计表 三、试题分析

一、试卷的总体评价 2017年全国课标Ⅱ卷(甲卷)文科数学卷在 秉承以往命题特征的基础上稳中求新,重点考 查基础知识和基本技能的同时,注重数学思想 与方法的考查。在知识点结合处的命题力度继 续增加,运算能力的考查力度加大。整体上今 年的文科第一卷整体难度与往年相比基本持平, 具体到每个知识点和方法技能上此消彼涨,难 易略有浮动。但第二卷(特别是计算能力)难 度比前几年略大。试题的命制较之以往最大的 变化是更加关注数学核心素养的考查,注重与 新一轮课改的衔接。

二、近四年试卷考点统计表
表 1:2014 文科数学试卷知识分布表: 代 内 容 题 值 合 计 集 合 1 5 函数 3,11 15,21 27 线性 规划 9 5 数 统计 概率 13,19 17 算 法 7 5 复 数 2 5 数列 5, 16 10 三角、向量 三角 14, 17 17 向 量 4 5 几 何 立 几 解 几 4-1 22 选做题 4-4 23 10 10 分,6.67% 4-5 24

6, 7, 10,12 18 20 22 22

74 分,占 49.33% 表 2:2015 文科数学试卷知识分布表: 代 数 统计 概率 3,18 算 法 8 复 数 2 数 列 5, 9

22 分, 14.67% 三角、向量 三角 11、 17 向量 4

44 分,29.33%

几 何 立 几 6,10, 19 22 解 几 7,15 20 22 4-1 22

选做题 4-4 23 4-5 24

内 容 题

集 合 1

函数 12,13, 16,21 27

线性 规划 14

值 合 计

5

5

17

5

5

10

17

5

10 10 分,6.67%

74 分,占 49.33%

22 分, 14.67%

44 分,29.33%

表 3:2016 文科数学试卷知识分布表: 代 内 容 题 值 合 计 集合 1 5 推 理 16 5 函数 10,12 ,20 22 线性 规划 14 5 数 统计 概率 8,18 17 算 法 9 5 复 数 2 5 数 列 17 12 三角、向量 三角 3,11, 15 15 20 分, 13.33% 向 量 13 5 几 何 立 几 4,7, 19 22 解 几 5,6, 21 22 4-1 10 选做题 4-4 10 10 10 分,6.67% 4-5 10

76 分,占 50.67%

44 分, 29.33%

表 4:2017 文科数学试卷知识分布表: 代 内 容 题 值 合 计 集合 1 5 推 理 9 5 函数 8,14, 21 22 线性 规划 7 5 数 统计 概率 11,19 17 算 法 10 5 复 数 2 5 数 列 17 12 三角、向量 三角 3,13, 16 15 20 分, 13.33% 向 量 4 5 几 何 立 几 6,15 ,18 22 解 几 5,12 ,20 22 选做题 4-4 10 10 10 分, 6.67% 4-5 10

76 分,占 50.67%

44 分, 29.33%

三、试题分析
1.设集合 A ? ?1 , 2,, 3? B ? ?2, 3, 4?, 则 A A. ?1 , 2, 3, 4? B. ?1 , 2, 3? C.

B?
D. ?1 , 3, 4?

3, 4? ?2,

【考点】集合的基本运算 【解析】由题意 A

B ? {1, 2,3, 4} ,故选 A.

【评价】考查集合的运算,没有障碍,题目简单。 注:近几年都这么出,已成鸡肋。 2. (1 ? i)(2 ? i) ? A.1-i B. 1+3i C. 3+i D.3+3i 【考点】能进行复数代数形式的四则运算 【解析】 (1 ? i)(2 ? i) ? 2 ? 3i ? i 2 ? 1 ? 3i ,所以选 B 【评价】针对复数代数形式的乘法进行考查,题目设置很简单。

注:与往年比较基本没有变化,很稳定。

3.函数 f A.4 ?

? x?

= sin(2x+
B.2 ? C.

?
3

) 的最小正周期为
D.

?

?
2
2? ? ? ,所以选 C. 2

【考点】了解三角函数的周期性

【解析】根据周期公式 T ?

【评价】该题考查指向明确,就是考查三角函数的周期计算公式,题目简单。 4.设非零向量 a , b 满足 a+b = a-b 则 Aa ⊥b B. a = b C.

a ∥b

D. a ? b

【考点】了解向量的线性运算性质及其几何意义;掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义。 【解析】方法 1:由 | a ? b |?| a ? b |?| a ? b |2 ?| a ? b |2 ? (a ? b)2 ? (a ? b)2 则

(a)2 ? 2ab ? (b)2 ? (a)2 ? 2ab ? (b)2 ,即 ab ? 0 ,则 a ? b ,所以选 A.
方法 2: 根据几何意义可知 a+b = a-b 实质为平行四边形两条对角线相等, 故该平行四边形为矩形, 所以 a ? b ,故选 A. 【评价】中规中矩,旨在考查向量的线性性质及其几何意义,可以用常规的计算方法,也可以通过 数形结合解决问题,题目不难。

三、试题分析
5.若 a > 1,则双曲线

x2 a2

-y2 ? 1 的离心率的取值范围是
2) C.(1,2) D. (1,

+?) A. ( 2,

2) B.( 2,

【考点】了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质。

b2 12 【解析】离心率 e ? 1 ? ( ) ? 1 ? ( ) ,因为 a > 1,所以离心率1 ? e ? 2 ,所以选 C。 a a
【评价】考查学生对双曲线离心率的掌握程度,由于涉及到不等式的运算,所以对文科生来说属于 中档题目。

三、试题分析
6.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将 一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为 A.90 ? B.63 ? C.42 ? D.36 ? 【考点】能识别简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、 棱柱等的简易组合) 的三视图所表示的立体模型 【解析】该几何体是由高为 10 的圆柱截取一部分后的图形。

1 ? ? ? 32 ? 6 ? ? ? 32 ? 4 ? 63? ,所以选 B. 2 3 【评价】该题的以学生常见的圆柱为背景,在 处进行切割, 5
其体积为 V ? 这使得题目有些难度,虽说组合简单,但文科考生入手还是有点难度。

这个内容是新课程没有的,所以难度不宜加大,平稳过渡。

三、试题分析
? 2 x +3 y ? 3 ? 0 ? 7.设 x、y 满足约束条件 ? 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 。则 z ? 2 x ? y 的最小值是 ?y ?3 ? 0 ?
A. -15 B.-9 C. 1 D 9 【考点】了解二元一次不等式的几何意义, 能用平面区域表示二元一次不等式组。 【解析】作出不等式组表示的可行域,由目标函数 z ? 2 x ? y 的几何意义可得函数在点 ? ?6, ?3? 处 取得最小值 z ? ?12 ? 3 ? ?15 .所以选 A. 【评价】这个题型很传统,由于新课程标准中已经删除这部分内容,所以考题与历届这一内容的考 查没有什么变化,因为是常考的题型,而且重点在于解方程和代入,所以学生们几乎都已经练熟, 因此属于简单题。

这个内容是新课程没有的,所以难度不宜加大,平稳过渡。

三、试题分析
8.函数 f ( x) ? ln( x ? 2x ? 8) 的单调递增区间是
2

A.(- ? ,-2)

B. (- ? ,-1)

C.(1, + ? )

D. (4, + ? ) )

【2015 高考重庆,文 3】函数 f (x) = log2 (x 2 + 2x- 3) 的定义域是( (A) [- 3,1] (B) (- 3,1) (C) (??, ?3] [1, ??)

(D) (??, ?3)

(1, ??)

【考点】会运用函数图像理解和研究函数的性质 【解析】首先易知函数的定义域为 (??, ?2)

(4, ??) ,又当 x ? 4, ??) 时,函数值随着自
2

变量 x 的增大而增大。所以可得到函数 f ( x) ? ln( x ? 2x ? 8) 的单调递增区间是(4, + ? ), 所以选 D。 【评价】本题考查函数的单调性,好多老师都觉得超出文科考试说明,认为考查了复合函 数的单调性。其实本题实质上考查的对函数单调性定义的理解,最终只需看函数值随着自 变量的增大而增大还减小即可。正是由于象重庆这样的省份加入到全国 2 卷,使得试题的 命制不得不兼顾到这些教育发达省份。所以该题对于海南文科生属于中等难度题型。

三、试题分析
9.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩,老师说,你们四人中有 2 位优秀,2 位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还 是不知道我的成绩,根据以上信息,则 A.乙可以知道两人的成绩 B.丁可能知道两人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 【考点】能利用归纳和类比等进行简单的推理 【解析】从甲反馈的情况可知乙、丙一人优秀一人良好,所以甲丁一人优秀一人良好,乙看到丙的 结果故可知道自己的结果。同样,丁看到甲的结果也可知道自己的结果,所以选 D. 【评价】考查学生的逻辑推理能力,逻辑推理的考题全国 2 卷 2016 年首次出现,此类题型的出现在 于与新的课程标准衔接,在新课程标准中,高中数学学科核心素养第二个就是逻辑推理,属于中等 难度题。

三、试题分析
10.执行右面的程序框图,如果输入的 a=-1,则输出的 S= A.2 B.3 C.4 D.5 【考点】了解算法的思想,了解算法的含义 【解析】选择 B

这部分内容是 新课程没有的, 处于平稳过渡, 难度不大。

【评价】考查学生对程序框图的理解,这部分内容在新课程标准 中将不再出现,所以题目的命制力争平稳过渡,不喧宾夺主,不 再加大难度,题目难度适中。

三、试题分析
11.从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张,放回后再随机抽取 1 张,则抽得的第一张卡片 上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A.

1 10

B.

1 5

C.

3 10

D.

2 5

【考点】理解古典概型及其概率计算公式,会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件 发生的概率。 【解析】列出所有情况

所求概率为

10 2 ? ,所以选 D。 25 5

【评价】考查学生古典概型的理解及计算,题型传统,是典型的有限次抽取掷问题,中等难度题。

三、试题分析
12.过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F,且斜率为 3 的直线交 C 于点 M(M 在 x 轴上方) ,l 为 C 的准线, 点 N 在 l 上且 MN⊥l,则 M 到直线 NF 的距离为 A. 5 B. 2 2 C. 2 3 D. 3 3

【考点】了解抛物线几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质; 通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想。 【解析】如图,MF 斜率为 3 ,知 ?MFx ? 60? ,则 ?MNF 为正三角形, 边长 MN=3+1=4,点 M 到直线 NF 的距离为边 NF 的中线,即为 2 3 ,所以选 C。 【评价】试题较好考查抛物线的概念及性质,学生可以运用列方程的方法解决问题, 也可以用数形结合法解决问题。题目灵活,但图形特殊易解。不过对于文科生来说 属于难题。

三、试题分析
13.函数 f x =2cosx ? sinx 的最大值为 【考点】三角恒等变换,三角函数的性质。 【解析】 f ? x ? =2cosx ? sinx = 2 ? 1sin( x ? ? ) ? 5 ,所以填 5 。
2

??

.

【评价】考查欧拉变换,三角函数的最值求法,题目常规,属于容易题目。

0 时, f x ? 2x3 ? x2 ,则 f 2 = 14.已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? -?,
【考点】结合具体函数,了解奇偶性的含义。 【解析】 f (2) ? ? f (?2) ? ?[2 ? (?8) ? 4] ? 12 【评价】考查学生对函数奇偶性掌握的程度,学生可以先求出在对称区间 (0, ??) 的解析式再把

?

?

??

??

x ? 2 代入,也可以通过奇函数的定义通过 f (2) ? ? f (?2) 求解,属于中等题。

15.长方体的长、宽、高分别为 3,2,1,其顶点都在球 O 的球面上,则球 O 的表面积为 【2016 全国 2 卷文(4) 】体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为

32 ? (C) ?? 3 【考点】了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式
(A) 12 ? (B)

(D) ??

【解析】长方体的外接球直径即为长方体的体对角线长,(2R)2 ? 32 ? 22 ? 12 ? 14 ,4? R ? 14π. ,
2

填 14? 【评价】长正方体的外接球问题是常考的问题,2016 年同样是全国课标 2 卷刚刚考完正方体的外接 球问题,所以对于中等生来说属于简单题,但文科生中有许多立体几何掌握不好的学生,对于这部 分学生来说属于中等难度题型。 16.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2bcosB=acosC+ccosA,则 B= 【考点】正弦定理;三角恒等变换;诱导公式。 【解析】由正弦定理可得 2sin B cos B ? sin A cos C ? sin C cos A ? sin( A ? C ) ? sin B 所以 cos B ?

1 π π ,因为 B ? (0, ? ) 故得 B ? ,所以填 2 3 3

【评价】综合考查解三角形、三角恒等变换及三角求值问题,题型经典,等式左右边是齐次式,所 以可以和角的正弦互换。但对于文科生有一定的难度。

17.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn,a1=-1,b1=1, a2 ? b2 ? 2 . (1)若 a3 ? b3 ? 5 ,求{bn}的通项公式; (2)若 T3 ? 21,求 S3 .

答案

【考点】掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和的公式。 【解析】略 【评价】学生熟练运用基本量法可以很快就能解决问题,题目还考查学生分类讨论的思想,对学生 思维的严谨性也有考查到,属于中等难度题目。 18.如图,四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD,AB=BC= ∠BAD=∠ABC= 90 ? 。 (1)证明:直线 BC∥平面 PAD;

1 AD, 2

历届考题

(2)若△PAD 面积为 2 7 ,求四棱锥 P-ABCD 的体积。 【考点】认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定; 了解棱锥体积的计算公式 【解析】略. 【评价】题目以学生熟悉的四棱锥为载体,考查平行和垂直的证明,考查体积的求法,对不同程度 的学生都有考查到,是区分度较好的一个题。考题典型一贯,难度中等。

19.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了 100 个网箱, 测量各箱水产品的产量(单位:kg), 其频率分布直方图如下:

(1) (2)

记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg” ,估计 A 的概率; 填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关: 箱产量<50kg 旧养殖法 新养殖法 箱产量≥50kg

(3) 附: P( k
2

根据箱产量的频率分布直方图,对两种养殖方法的优劣进行较。 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828



n(ad ? bc)2 K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
【考点】在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,会用样本的频率分布估计 总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征;初步体会样本频率分布和数字特征 的随机性。解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用。

【解析】 (1)旧养殖法的箱产量低于 50kg 的频率为 (0.012+0.014+0.024+0.034+0.040) 因此, 事件 A 的概率的估计值为 0.62. (2)根据箱产量的频率分布直方图得到列联表 箱产量<50kg 旧养殖法 新养殖法 62 34 箱产量 50kg 38 66 =0.62,

由于 15.705(或 16 或 15.7)>6.635, 故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. (3)箱产量的频率分布直方图表明: 新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在 50kg 到 55kg 之间,旧养殖法的箱产量平均值(或 中位数)在 45kg 到 50kg 之间; 且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高. 因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而认为新养殖法优于旧养殖法. 【评价】本题主要考查独立性检验的方法及频率分布直方图的运用,计算量大。第三个问的设置比 较开放,较好地考查学生的数学素养,学生可以从统计学的知识出发,解读这个频率分布直方图就 算答对。该题整体难度适中。

三、试题分析
20.设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C 足 NP ? 2 NM (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且 OP ? PQ ? 1 .证明过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 【考点】掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质;通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数 形结合的思想。 【解析】略. 【评价】该题第一问原形来源教材,是圆与椭圆的变换问题,但起点较高,所以难度很大。第一问 是常规的轨迹方程求法,由于文科选修教材 1-1 没有《曲线与方程》这一节书,所以和理科生考同 一题不免有些吃亏,不过 2016 年的解析几何解答题第一问一样,第二问是姊妹题,这已经释放出文 理同题的信号,为以后不分文理出题做好衔接。第二问的设置属于恒过定点问题,作出草图可以发 现该直线在 y 轴左边最有可能通过的定点就是左焦点,所以也可以采取先猜后证的研究方式证明这 个结论。 上,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满

答案

三、试题分析
21.设函数 f(x)=(1-x2)ex. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 x ? 0 时,f(x) ? ax+1,求 a 的取值范围. 【考点】能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数;能利用 导数研究函数的单调性。 【解析】略。 【评价】第一问难点在于求导,中等以上的学生基本上都能导对,但接下来的解二次不等式对于好 多考生来说会感到困难或困惑,因为系数的问题使得答案为无理数,这给习惯了将二次部分因式分 解的学生一个拦路虎,大大增加计算量,甚至不自信。第二问也很常规,是典型的不等式在给定范 围恒成立求参量范围的问题,但由于需要的逻辑思维能力很强,所以绝大多数考生只能望题兴叹了。 试题设置由浅及深,从简单的求导到利用导数解决问题,区分度大,利于考查不同程度学生对知识 和方法的掌握程度,属于难题。

答案

三、试题分析
22.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。曲线 C1 的极坐标 方程为 (1)M 为曲线 C1 的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足 OM ? OP = 16 ,求点 P 的轨迹 C2 的直 角坐标方程;

π (2, ) (2)设点 A 的极坐标为 ,点 B 在曲线 C2 上,求△OAB 面积的最大值。 3

答案

【考点】能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位 置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化;能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过 极点或圆心在极点的圆)的方程;通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,体会 在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。 【解析】略 【评价】该题在解法上利于对 ? 的几何意义的理解,如果走互化的老路,则计算量将大大增加。其 实前两年的考题已经逐渐强化对 t 和 ? 的几何意义的理解,今年的考题更是出到极致,可以有效指 导中学教师的教学,引导老师们在要求学生几何意义的理解上下足功夫。本题属于中等难度的题。

23.已知

=2。 证明: (1) 错误! 未找到引用源。 (2) ? a ? b ? a 5 ? b5 ? 4 ;

?

?



【考点】认识柯西不等式的几种不同形式;了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反 证法、放缩法。 【解析】 (1)方法一(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)2 ≥4 方法二(运用柯西不等式法) 证: (a+b)(a5+b5) = (( a )2 ? ( b )2 )(( a5 )2 ? ( b5 )2 ) ≥( a

a5 ? b
3 3

b5 )2 =(a3+b3)2 =4
2 2 3

3(a ? b) 2 3(a ? b)3 ( a ? b) ? 2 ? (2) ? (a ? b) ? a ? 3a b ? 3ab ? b ? 2 ? 3ab(a ? b) ? 2 ? 4 4

? (a ? b)3 ? 8
3 3 2 2 3

?a ? b ? 2

3(a ? b)2 3(a ? b)3 (2)∵(a+b) =a ++3a b+3ab +b =2+3ab(a+b)≤2+ (a+b) =2+ 4 4
∴(a+b) ≤8 ∴ a+b ≤2 【评价】本题的设置与 22 题的难度相当,重点考查不等式的证明。由于学生们平时习惯了绝对值不等 式的解和证明,所以这么一来学生们会有点措手不及。这个考题也有一定的方向性,将引导学生们研究 不等式的本质,而不是模式化的东西。
3


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