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2016年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学(文)试卷(二)(word版含解析)


2016 好题精选模拟卷(二) (文数)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.集合 A= x | ax 2 ? 3 x ? 2 ? 0 只有一个元素,则 a 的值为( A.

?

?



9 8

B.

7 8

C.

9 7

D.

8 7

2. 设 z ?

1 ? i ,则 | z |? 1? i
B.

A.

1 2

2 2

C.

3 2

D. 2

3.下列选项叙述错误的是( ) 2 2 A.命题“若 x≠l,则 x -3x 十 2≠0”的逆否命题是“若 x -3x 十 2=0,则 x=1” B.若 p ? q 为真命题,则 p,q 均为真命题 C.若命题 p: ? x ? R,x +x 十 1≠0,则 ? p: ?x ? R,x +x 十 1=0 2 D.“x>2”是“x 一 3x+2>0”的充分不必要条件 4. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
2 2

A . 16 ? 8?
5.

B . 8 ? 8?

C . 16 ? 16?
) C 充要条件

D . 8 ? 16?

? ? 1 是数列 an ? n 2 ? 2? n 为递增数列的(
B 必要不充分条件

A 充分不必要条件 条件

D 既不充分也不必要

6. y ? lg x 2 ? 4 x ? a 2 值域为 R,则 a 的范围为(

?

?



? 1? A. ? ?2,

2? B. ? ?2,
? ?

2? C. ? ?2,

? 1? D. ? ?2,
则 c 的范围为(

7. a,b 是单位向量, a ? b ? 0

???

? ? ? c ? a ? b | =1 ? ?

?



? C. ?
A.

2 ? 1,2 ? 1 2,2 ? 1

?

B. ? 2,2 ? 1?

?

?

D. ? 2 ? 1,2 ? 1?

?

8. y ? 3sin x ? 4 cos x

x ? ? 0, ? ? 上的值域为(


1

5? A. ? ?4,

5? B. ? ?4,

C. ? ??,5 ?

D. ??,5?

?

9. 如果执行右面的框图,输入 N=2011,则输出的数等于( A.2010× 2 C.2010× 2
2012



+2 +2

B.2011× 2 D.2011× 2

2011

-2 -2

2011

2012

10. ABCD 四点在球 O 的表面上, AB ? 面 BCD, ?BCD 是边长为 3 的等 边三角形,AB=2,则球的面积是( ) A.15 ? B.13 ? C.14 ? D.16 ? 11. 设双曲线 C 的中心为点 O ,若有且只有一对相交于点 O . 所成的角为

600 的直线 A1 B1 和 A2 B2 ,使 A1 B1 ? A2 B2 ,其中 A1 . B1 和 A2 . B2 分别是这对直线与
双曲线 C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 A. (

2 3 , 2] 3

B. [

2 3 , 2) 3

C. (

2 3 , ??) 3

D. [

2 3 , ??) 3

12. y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图像左移 ? 个单位后所得函数的图像关于直线 x ? ? a=( ) A. -1

?
8

对称, 则

B.2

C.3

D.4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. )
13. 在 Rt ?ABC 中, ?ACB ? 90 , AC ? BC ? 2 ,P 是 AB 边上的一个三等分点,则
?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CP ? CB ? CP ? CA 的值为____
x ? 2y ? 0

x? y ?0
14. 令 ? ? x ? y

0? y?k

Z 的最大值为 12,则 Z 的最小值为__________

15. 二 次 函 数 f ? x ? 的 二 次 项 系 数 为 正 且 对 任 意 的 x 恒 有 f ? 2 ? x ? ? f ? 2 ? x ? , 若

f ?1 ? 2 x 2 ? ? f ?1 ? 2 x ? x 2 ? 则 x 的范围为______________
16. f ? x ? ? a ?

2bx ? 3sin x ? bx cos x 有最大值和最小值,且 f max ? x ? ? f min ? x ? ? 6 ,则 2 ? cos x

3a-2b=__________

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演
2

算步骤. )
17 .

? ? ?? ? ? ? ? , ? , ? ? ? 0, ? ? 2 2 ? ?





sin ? 3? ? ? ? ?

?? ? 2 cos? ? ? ? ?2 ?



3 cos ? ?? ? ? ? 2 cos ?? ? ? ? 同时成立,求 ? , ?

18. 某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组 往年研发新产品的结果如下:

? a, b ? , ? a, b ? , ? a, b ? , ? a, b ? , ? a, b ? , ? a, b ? , ? a, b ? , ? a, b ? ,

?

? ?

?

?

? a, b ? , ? a, b ? , ? a, b ? , ? a, b ? ? a, b ? , ? a, b ? ? a, b ?
?

?

?

? ?

?

?

其中 a, b 分别表示乙组研发成功和失败. a 分别表示甲组研发成功和失败; b, (I)若某组成功研发一种新产品,则给改组记 1 分,否记 0 分,试计算甲、乙两组研 发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平; (II) 若该企业安排甲、 乙两组各自研发一种新产品, 试估算恰有一组研发成功的概率.

?

19. 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,S 是 B1 D1 的中点,E,F,G 分别是 BC,DC, SC 的中点, 求证: (1)直线 EG ? 平面 BDD1 B1 (2)平面 EFG ? 平面 BDD1 B1

20. 已 知 ?ABC 的 内 切 圆 的 三 边 AB , BC , AC 的 切 点 分 别 为 D , E , F , 已 知

3

B ? 2, 0 , C

?

? ?

2, 0 内切圆圆心为 I ?1, t ?? t ? 0 ? ,设点 A 的轨迹为 L

?

(1)求 L 的方程 (2)设直线 y ? 2 x ? m 交曲线 L 于不同的两点 M,N,当 MN ? 2 5 时,求 m 的值

21. f ? x ? ? 2e x ? ? x ? a ? ? 3, , a ? R 若 x ? 0, f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的范围
2

请在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.
22. 选修 4-1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是边长为 a 的正方形,以 D 为圆心, DA 为半径的圆弧与以 BC 为 直径的圆 O 交于点 F ,连接 CF 并延长 CF 交 AB 于 E .
A D

E

F

B

O

C

(1)求证: E 是 AB 的中点; (2)求线段 BF 的长. 23. 选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C1 ,直线 C2 的极 坐标方程分别为 ? ? 4sin ? , ? ? cos ? ? ? (I) 求C1与C2交点的极坐标;

? ?

??

? ? 2 2. . 4?

4

. PQ的参数方程为 (II) 设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点已知直线
?x ? t3 ? a ? ? b 3 ? t ? R为参数 ? , 求a, b的值. ? y ? t ?1 ? 2
24. 选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) = | 2 x ? 1| ? | 2 x ? a | , g ( x) = x ? 3 . (Ⅰ)当 a =-2 时,求不等式 f ( x) < g ( x) 的解集; (Ⅱ)设 a >-1,且当 x ∈[ ?

a 1 , )时, f ( x) ≤ g ( x) ,求 a 的取值范围. 2 2

参考答案: 1.A 考点:集合中的空集问题 解析:讨论;1a=0 时,-3x+2>0

2 不成立 3 9 2a ? 0 时, ? ? 0 时,a= 8
x<

注意点;题目虽易但注意在讨论时 a=0 的情况 2. B 【解析】

3. B,解析:

5

4. 命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式,是中档题. 【解析】由三视图知,该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2 高为 4,上边放一个长 为 4 宽为 2 高为 2 长方体,故其体积为 ? ? 2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 2 = 16 ? 8? ,故选 A .
2

1 2

5.A 考点;充分条件与必要条件的判定 解析;解法 1:若 an ?1 ? an ? 0 ,则可证明为递增数列 即 an ?1 ? an ? ? n ? 1? ? 2? ? n ? 1? ? n 2 ? 2? n ? 2n ? 1 ? 2?
2

若 2n ? 1 ? 2? ? 0 则 2? ? 2n ? 1 对任意的 n ? N 恒成立,n 为最小值 1 时代
*

入 2? ? 3 ,所以 ? ?

3 2

注意;有一个明确的思路,如若为等比数列则满足为递增数列则 an ?1 ? an ? 0 ,反 之 , 若 为 递 减 数 列 则 an ?1 ? an ? 0 ; 若 为 等 比 数 列 也 一 样 递 增 数 列

an ?1 ? an ? 0 递减数列; an ?1 ? an ? 0 ,所以应用于任意一个数列
解法二:把 an 看成一个二次函数 对称轴 n ? ?

6

所以如图函数的二个解

也可以说,当 a1 ? a2 时, ? ?

3 2

因为为递增数列,所以要使 a1 ? a2 才可以所以 n ? ? 这条对称轴要 平移到左边,即所以 ? ?

3 2
2

所以可得出 ? ? 1 是 an ? n ? 2? n 为递增数列的充分不必要条件 注意:在这个方法重视转换一种思维是把数列和二次函数进行了转换一起应用也 可以解决 6.B 解:值域为 R 所以只要 ? ? 0 即可 所以 x ? 4 x ? a 能取得到所有大于 0 的数即能取
2 2

到所有 x 的值 所以 ? ? 0 即可 ? ? 16 ? 4a ? 0 所以 ?2 ? a ? 2
2

括展: y ? lg x 2 ? 4 x ? a 2 定义域为 R 求 a 的范围 解: 因为定义域为 R 所以 x ? 4 x ? a >0 恒成立所以 ? ? 0
2 2

?

?

所以 16 ? 4a ? 0 所以 a>2 或
2

a<-2 考点;关于定义域和值域为 R 的问题以及区别在遇到定义域和值域的问题要特别注意 认真思考 7.D 考点;几何向量结合起来的考察 解析:设 OA ? b, OB ? a

??? ?

? ??? ?

?

设 c ? ? x, y ? a ? ?1, 0 ? b ? ? 0,1?

?

?

?

所以 ? x ? 1, y ? 1? ? 1 所以

? x ? 1? ? ? y ? 1?
2

2

? 1 所以 ? x ? 1? ? ? y ? 1? =1
2 2

即以 ?1,1? 为圆心,1 为半径的圆上的点与 ? x, y ? 距离 所以最长:过圆心加半径 2 ? 1 所以 c ? ? 2 ? 1, 2 ? 1? 最短:过圆心减半径 2 ? 1

?

?

?

注意:学会题目和图形之间的转换,题干的运用,最重要的是不要缺少题干中的条件运用 8.A 考点:利用图形来解题 解析: y ? 3sin x ? 4 cos x ? 5sin ? x ? ? ? 所以 cos ? ?

3 4 ,sin ? ? , 5 5

? ?? 所以 ? 为锐角 即 ? ? ? 0, ? ? 2?

? ??

可画图所以当 x ? 0 时

7

??

y 值最小
9. A 【解析】

x ?? ?

?
2

时 y 值最大

所以值域为 ? ?4,5?

10.D 考点;可放到特殊图形中进行计算

A

O' O M C
D

B

3 B M C 3 D 2 解析:放在一个三棱柱中 M 为 ?BCD 中心,O 为球心,将 ?BCD 拿出 所以 2 h ? 3 所以 R 2 ? 3 ? 1 ? 4 R=2 所以 S 球= 4? ? 4 ? 16? 3
11. A 【解析】

8

12.A 法一;图像关于 x ? ?

?
8

对称,? f ? 0 ? ? f ? ?

? ?? ? ? 4?

? 原始转化为 y ? sin 2 x ? a cos 2 x
? π? f ? 0? ? f ? ? ? ? 4?

? a ? ?1
法二; y ? sin 2 x ? a cos 2 x = a 2 ? 1sin ? 2 x ? ? ? (进行函数的化一) 将x??

?
8

代入得

y?

2 ? a ? 1? 2

?

2 ? a ? 1? ? ? a 2 ? 1 (函数关于直线对称,则在此处取到极值) 2

? a=-1
思路点拨:函数图像关于直线对称,注重相关条件的转化 13.4 考点;将向量和解三角形联系起来 解析;运用坐标法 如图 A ? 0, 2 ? B ? 2, 0 ? C ? 0, 0 ? 设 P ? x, y ?

? 0, 2 ? A
C

P1 P2 B? 2, 0 ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CP ? CB ? CP ? CA =2x+2y=2(x+y)
如图所示,P 坐标为 ?

?2 4? ?4 2? , ? 或? , ? ?3 3? ?3 3?

9

? 可得原式= 2 ? 2 ? 4
注意:要必须画图,切忌凭空想象 14.-6 解析:最大值时:x+y=Z=12 最大在 A 处取得 ? k , k ?
x=y

? k=6

y=6

Z=x+y 最小值在 B 取得 B ? ?12, 6 ?

B

A ?k, k ?

y=k

? x+y=-6
15.

? 最小值为-6

? x | x ? ? ?2, 0 ??
? 可得出对称轴 x=2

考点:关于对称轴和周期的区别以及二次函数性质 解析:? f ? 2 ? x ? ? f ? 2 ? x ?

? 对比的是 2 个横坐标与 x=2 的距离(即对称轴的远近来判定 f ? x ? 的大小关系)
即计算 1 ? 2 x 与 1 ? 2 x ? x 与线 x=2 的距离之差
2 2

1 ? 2 x2 ? 2 ? 1 ? 2 x ? x2 ? 2
可化简求解: x | x ? ? ?2, 0 ?

化简得 2 x ? 1 ? x ? 2 x ? 1
2 2

?

?

注意:不要惯性思维以为是距 y 轴的距离,要看清是距离哪条线的距离再作 16.9 解析:令 g ? x ? ?

2bx ? 3sin x ? bx cos x ( g ? x ? 证明为奇函数 2 ? cos x

? g max ? x ? ? g min ? x ? ? 0

? f max ? x ? ? f min ? x ? ? a ? g max ? x ? ? a ? g min ? x ? ? 2a
? g ? x ? ? bx ? 3sin x 3sin x ( 有最大值和最小值) 2 ? cos x 2 ? cos x

2a=6

a=3

? 要 g ? x ? 有最大值和最小值,则 b=0 ? 3a-2b=9
思路点拨: 此题注意分析复杂函数中的奇偶函数, 注意奇函数中的最大值与最小值之和为零 17. 考点:对 ? , ? 范围的重新解释

解析:?

? ? ?? ? ? ? ? , ? , ? ? ? 0, ? ? 2 2 ? ?

3 cos ? ? 2 cos ?

10

? ?? ? 可缩小范围得 ? , ? ? ? 0, ? ? 2? ?? ? ? sin ? 3? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? ?2 ?

? 可总结出化简得: sin ? ? 2 sin ?
又? 一般地有 sin ? ? cos ? ? 1
2 2

?

2 2sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 3 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1

1 sin 2 ? ? cos 2 ? 3 1 2 1 ? cos ? ? cos 2 ? 3

? 可解得 cos 2 ? ?

3 4

cos ? ?

3 2

?? ?

?
6

又? 3 cos ? ?

2 cos ?

? 3 cos ? ? 2 ?

3 6 ? 2 2

? cos ? ?

2 2

? ??

?
4

? 综上:可求出 ? ?

?
4

,? ?
2

?
6
2

注意:在一般题目中,sin ? ? cos ? ? 1 是隐形条件,不要忘记,有时它可是一个重要条件 呢 18. ( Ⅰ ) 甲 组 研 发 新 产 品 的 成 绩 为 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 1 , 0, 1,

其平均数为 x甲 =
2 甲

10 2 = ; 15 3

2 2 ? 2 1 ?? 2 ? 2? ? 方差为 S = ??1 ? ? ?10 ? ? 0 ? ? ? 5? = 15 ? 3? ? ?? 3 ? ? ? 9

乙 组 研 发 新 产 品 的 成 绩 为 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 其 平 均 数 为 x乙 =
2 乙

9 3 = 15 5

2 2 ? 6 1 ?? 3 ? 3? ? 方差为 S = ?? 1 ? ? ? 9 ? ? 0 ? ? ? 6 ? = 。 15 ? 5? ? ? ?? 5 ? ? 25

因为 x甲 ? x乙,S甲 ? S乙 ,所以甲组的研发水平优于乙组。
2 2

11

(Ⅱ)记 E={恰有一组研发成功}. 在 所 抽 得 的 15 个 结 果 中 , 恰 有 一 组 研 发 成 功 的 结 果 是

? a, b ? , ? a, b ?? a, b ?, ? a, b ?, ? a, b ? , ? a, b ? , ? a, b ?,
共 7 个,故事件 E 发生的频率为

7 7 .将频率视为概率,即得所求概率为 P(E) = 。 15 15

19. 解析: (1)证明:如图,连接 SB

? E , G 分别是 BC,SC 的中点

? EG ? SB
D1

? SB ? 面 BDD1 B1
? 直线 EG ? 面 BDD1 B1
(2)连接 SD

EG ? 面 BDD1 B1

S
G

C1
B1
E

A1

D A

F B

C

? F , G 分别是 DC,SC 的中点 ? FG ? SD
又? SD ? 面 BDD1 B1

FG ? 面 BDD1 B1

? FG ? 面 BDD1 B1
又? EG ? 面 EFG

FG ? 面 EFG

EG ? FG ? G

? 面 EFG ? 面 BDD1 B1
20. 解析: (1)AB=AD+DB DB=BE FC=CE AC=AF+FC AB-AC=AD+DB-AF-FC=DB-FC

? BE-EC= 2 ? 1 ?

?

2 ?1 ? 2
? x ? y ? 1? x ? 1? 注意范围
2 2

?

? 2a ? 2

a ?1 c ? 2

b ?1

D B
E

A F C

y ? 2x ? m

(2)

x2 ? y 2 ?1 ? 0

? x2 ? ? 2x ? m ? ?1 ? 0
2

x 2 ? ? 4 x 2 ? 4mx ? m2 ? ? 1 ? 0

?3 x 2 ? 4mx ? m 2 ? 1 ? 0 在 ?1, ?? ? 上有 2 个根
? ? 0 ?16m 2 ? 12 ? m 2 ? 1? ? 0m 2 ? 3 4m 2 ? 1 ? m ? 1 ? m ? ? 3m ? 2 轴为x ? ? 6 3 f ?1? ? ?3 ? 4m ? m2 ? 1 ? 0 ? m2 ? 4m ? 4 ? 0 ? m ? ?2
且 x1 ? x2 ? ?



4 m 3

x1 x2 ?

m2 ? 1 3

12

? MN ? 5

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ?

2 5 ? m2 ? 3 ? 2 5 3

? m2 ? 3 ? 3

m 2 ? 12

m ? ?2 3

? m ? ?2 3

注意:遇见内切圆问题用面积两种方法求得消去相同的边 21.

22. 解析: (1)连接 OD, OF , DF
13

? 四边形 ABCD 是边长为 a 的正方形,
? BC ? CD, ?EBC ? ?OCD ? 90? ,

? OF ? OC , DF ? DC , OD ? OD,? ?OFD ? ?OCD,
??ODC ? ?ODF , ?ECB ? 1 ?FDC ? ?ODC , 2

? ?EBC ? ?OCD,
? EB ? OC ? 1 AB, 即 E 是 AB 的中点. 2

(2)由 BC 为圆 O 的直径易得
BF ? CE ,? S ?BEC ? 1 1 BF CB 5 BF ? CE ? CB ? BE ,? ? ,? BF ? a. 2 2 BE CE 5

23. 解: (I) 圆 C 1 的直角坐标方程为 x ? ( y ? 2) ? 4,
2 2

直线 C 2 的直角坐标方程为 x+y-4=0. 解?

? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 ?x ? y ? 4 ? 0

? x1 ? 0, 得? ? y1 ? 4,

? x2 ? 2. ? ? y2 ? 2.

所以 C1与C2 交点的极坐标为 , (2 2, (4, )

?

?
4

2

).

注:极坐标系下点的表示不唯一. (II) (II)由(I)可得,P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2) , (1,3). 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0. 由参数方程可得 y=

b ab x ? ? 1. 2 2

?b ? 1, ? ?2 所以 ? ?? ab ? 1 ? 2, ? ? 2

解得 a ? ?1, b ? 2 ,

24. 【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式解法.不等式恒成立求参数范围,是容易题. 【解析】当 a =-2时,不等式 f ( x) < g ( x) 化为 | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 2 | ? x ? 3 ? 0 ,

14

? ??
? ??5 x, ? ? 设函数 y = | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 2 | ? x ? 3 , y = ? ? x ? 2, ?? ? ?3 x ? 6, ? ?
其图像如图所示,

x?

1 2

1 ? x ?1, 2 x ?1

从图像可知,当且仅当 x ? (0, 2) 时, y <0,∴原不等式解集是 {x | 0 ? x ? 2} .

a 1 , )时, f ( x) = 1 ? a ,不等式 f ( x) ≤ g ( x) 化为 1 ? a ? x ? 3 , 2 2 a 1 a 4 ∴ x ? a ? 2 对 x ∈[ ? , )都成立,故 ? ? a ? 2 ,即 a ≤ , 2 2 2 3 4 ∴ a 的取值范围为(-1, ]. 3
(Ⅱ)当 x ∈[ ?

15


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