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云南省玉溪一中2012-2013学年高一数学下学期期末考试试题新人教A版


玉溪一中高 2015 届高一下学期期末考数学试卷
班级 学号 姓名

第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.若函数 f ( x) ? A. x x ? ?2

1 2? x

的定义域为 M ,g ( x) ?

则M ?N ?( ) x ? 2 的定义域为 N ,

?

?
1

B. x x ? 2
?2

?

?

C. x ? 2 ? x ? 2

?

?

D.

?x ? 2 ? x ? 2?
)

2.已知 a ? 0.7 2 、 b ? 0.2 、 c ? log3 0.7 ,则 a, b, c 三者的大小关系是( A. c ? b ? a B. c ? a ? b C. a ? b ? c

D. b ? a ? c

3.设 x、y、z 是空间中不同的直线或平面,对下列四种情形: ①x、y、z 均为直线;②x、y 是直线,z 是平面;③z 是直线,x、y 是平面;④x、y、z 均为平面,其中使“x⊥z 且 y⊥z? x∥y”为真命题的是 ( A.③④ B.①③ C.②③ ). ) D.①②

4.直线 xsin α +y+2=0 的倾斜角的取值范围是( A.[0,π )

? π ? ?3π ? B .?0, ?∪? ,π ? 4? ? 4 ? ? ? π ? ?π ? D.?0, ?∪? ,π ? 4? ?2 ? ?

? π? C. ?0, ? 4? ?

5.已知某个几何体的三视图如右图, 根据图中标出的尺寸 (单位:cm),可得这个几何体的体积是( A. 4 000 3 cm 3
3

).

8 000 3 B. cm 3 D.4 000 cm
3

C.2 000 cm

2 2 6. 若点 P(2, ? 1) 为圆 ( x ? 1) ? y ? 25 的弦 AB 的中

点,则直线 AB 的方程是( A x? y ?3 ? 0
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) C x ? y ?1 ? 0
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B 2x ? y ? 3 ? 0
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D 2x ? y ? 5 ? 0
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1

2 2 7.直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 9 交于 E , F 两点, 则 ? EOF( O 是原点)

的面积为( ) A

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3 2

B

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3 4
)

C 2 5
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D

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6 5 5

8.已知 sin(

5? 1 ? ? ) ? ,那么 cos? ? ( 2 5 2 1 A. ? B. ? 5 5

C.

1 5


D.

2 5

0 9.已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 a ? 3b ? (

A. 7

B. 10

C. 13

D. 4 )

a2 ? 6, a5 ? 15 , 10.已知等差数列 ?an ? 中, 若 bn ? a2n , 则数列 ?bn ? 的前 5 项和等于 (
A、30 B、45 C、90 D、186

?x ? y ? 2 ? 11. 已知实数 x , y 满足约束条件 ? y ? x ? 0 ,目标函数 z ? ax ? y 只在点(1 ,1)处取最小 ?x ? 0 ?
值,则有( A. a ? 1 ) B. a ? ?1 C. a ? 1 D. a ? ?1 )

12. 设函数 f ( x)(x ? R) 为奇函数, f (1) ? A.0 B.1

1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2), 则 f (5) ?( 2 5 C. D.5 2

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设 x ? 0, y ? 0,且x ? 2 y ? 1, 则 ? 的最小值

1 x

1 y

. . .

14. 在正项等比数列 ?an ? 中, a1a5 ? 2a3a5 ? a3a7 ? 25 ,则 a3 ? a5 ? 15. 设数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? n ? 1 ,则通项 an ? _

2

16. 函 数 y ? c o s ( x2 ? ? ?? ) (? ? ? ?

的) 图象向右平移 .

?
2

个单位后,与函数

y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图象重合,则 ? ? ___

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? 2 3sin x ? cos x ? cos2 x ? sin 2 x ? 1 ( x ? R ) (Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的周期和递增区间; (Ⅱ)若 x ?[?

5? ? , ] ,求 f ( x) 的取值范围. 12 3

18.( 本小题满分 12 分)在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a 、 b 、 c . 若 m =

?cos B, sin C ? , n = ?cosC,? sin B? ,且 m ? n ?
(Ⅰ)求角 A 的大小;

1 . 2

(Ⅱ)若 a = 2 3 ,三角形面积 S = 3 ,求 b ? c 的值.

19. (本小题满分 12 分)已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,底面三角

C1
A1
E
C

AB ? 2, AA1 ? 4 , 形 ABC 为正三角形, 侧棱 AA 1 ? 底面 ABC ,
E 为 AA 1 的中点, F 为 BC 中点.
(Ⅰ)求证:直线 AF // 平面 BEC 1; (Ⅱ)求点 C 到平面 BEC 1 的距离.

B1

F

A

B

20.( 本小题满分 12 分)设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 10 , a n?1 ? 9S n ? 10 .
3

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 Tn 是数列 ?

?

? 1 ? 的前 n 项和,求 Tn . ? lg( an ) ? lg( an? 2 ) ?

21.( 本小题满分 12 分)已知圆 C 经过 P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线 段长为 4 3,半径小于 5. (Ⅰ)求直线 PQ 与圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l∥PQ,直线 l 与圆 C 交于点 A,B 且以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点, 求直线 l 的方程.

22. (本小题满分 12 分)已知定义域为 R 的函数 (Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)判断函数 f ? x ? 的单调性;

f ( x) ?

?2 x ? b 是奇函数. 2 x ?1 ? 2

(Ⅲ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.
2 2

玉溪一中高 2015 届高一下学期期末考数学参考答案 第 I 卷(选择题,共 60 分)
4

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分 . 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 B 5 B 6 A 7 D 8 C 9 C 10 C 11 D 12 C

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 3 ? 2 2 14. 5 15.

n ? n ? 1? ?1 2

16. ? ?

5? 6

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. (本小题满分 10 分) 解: (1)由题设 f ( x) ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 由 2k ? ?

? 6

? ? ? ? ? ≤ 2x ? ≤ 2k ? ? ,解得 k ? ? ≤ x ≤ k ? ? , 2 6 2 3 6

? ?? ? 故函数 y ? f ( x) 的单调递增区间为 ? k ? ? , k ? ? ? ( k ? Z ) 3 6? ?
(2)由 ?

5? ? 2? ? ?? ≤ x ≤ ,可得 ? ≤ 2 x ? ≤ 12 3 3 6 6 ? 考察函数 y ? sin x ,易知 -1≤ sin(2 x ? ) ≤1 6 ? 于是 -3 ≤ 2sin(2x ? ) ? 1≤1 . 故 y ? f ( x) 的取值范围为 [ ?3,1] 6

18.( 本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)∵ m = ?cos B, sin C ? , n = ?cosC,? sin B ? ,且 m ? n ? ∴

1 , 2

cos B ? cos C ? sin B ? sin C ?


1 , 2

∴ cos ?B ? C ? ?

1 , 2

cos ?? ? A? ?

(Ⅱ) S ?ABC

2 1 ,又 A ? ?0, ? ? ,∴ A ? ? . 3 2 1 1 2 ? bc ? sin A ? bc ? sin ? ? 3 ,∴ bc ? 4 2 2 3

1 , 2

即- cos A ?

2 2 2 0 2 2 又由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos120 ? b ? c ? bc

∴16= ?b ? c ? ,故 b ? c ? 4 .
2

5

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)取 BC1 的中点为 R ,连接 RE, RF , 因为 E 为 AA 1 的中点, F 为 BC 中点, 所以 RF // CC1 , AE // CC1 ,且 AE ? RF ,

C1
A1
E

B1
R C
F

所以四边形 AFRE 为平行四边形, 所以 AF // RE , 又因为 AF ? 平面BEC1 , RE ? 平面BEC1 所以直线 AF // 平面 BEC 1. (Ⅱ)由已知得 CC1 ? 底面ABC ,所以 CC1 ? AF , 因为底面三角形 ABC 为正三角形, F 为 BC 中点, 所以 AF ? BC , 所以 AF ? 平面CBB1C1 , 由(Ⅰ)知 AF // RE ,所以 RE ? 平面CBB1C1 , 因为 AB ? 2, AA 1 ? 4 ,所以 BC 1 ? 2 5 , RE ? 3 , 设点 C 到平面 BEC 1 的距离为 h ,由等体积法得

A

B

VC ?BEC1 ? VE ?BCC1 ,

所以

1 1 4 5 S ?BEC1 ? h ? S ?BCC1 ? RE ,得 h ? , 3 3 5

即点 C 到平面 BEC 1 的距离为 20.( 本小题满分 12 分)

4 5 . 5

解: (Ⅰ)依题意, a2 ? 9a1 ? 10 ? 100 ,故 当 n ? 2 时, a n ? 9S n?1 ? 10 ① ②―①整理得:

a2 ? 10 , a1

又 a n?1 ? 9S n ? 10 ②

a n ?1 ? 10 ,故 {an } n ? N ? 为等比数列,且 an ? a1q n?1 ? 10 n an
6

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知, an ? a1q n?1 ? 10 n ? lg an ? n .

? lg an?1 ? lg an ? (n ? 1) ? n ? 1 , 即 {lg an } 是等差数列.
1 1 1 Tn ? ( ? ??? ) 1? 3 2 ? 4 n(n ? 2)

1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 n n?2 . 3 2n ? 3 ? ? 4 2?n ? 1??n ? 2 ? ?
21.( 本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)直线 PQ 的方程为:x+y-2=0, 设圆心 C(a,b)半径为 r, 1 3 由于线段 PQ 的垂直平分线的方程是 y- =x- ,即 y=x-1, 2 2 所以 b=a-1. 又由在 y 轴上截得的线段长为 4 3,知 r =12+a , 可得(a+1) +(b-3) =12+a , 由①②得:a=1,b=0 或 a=5,b=4. 当 a=1,b=0 时,r =13 满足题意, 当 a=5,b=4 时,r =37 不满足题意, 故圆 C 的方程为(x-1) +y =13. (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y=-x+m,A(x1,m-x1),B(x2,m-x2), → → 由题意可知 OA⊥OB,即OA·OB=0, ∴x1x2+(m-x1)(m-x2)=0, 化简得 2x1x2-m(x1+x2)+m =0.
?y=-x+m, ? 由? 2 2 ? ?(x-1) +y =13
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2







得 2x -2(m+1)x+m -12=0,

2

2

∴x1+x2=m+1,x1x2=

m2-12
2

.
7

代入③式,得 m -m·(1+m)+m -12=0, ∴m=4 或 m=-3,经检验都满足判别式 Δ >0, ∴y=-x+4 或 y=-x-3. 22. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) 是奇函数,所以 f (0) =0,

2

2



b ?1 1 ? 2x ? 0 ? b ? 1? f ( x ) ? 2?2 2 ? 2 x ?1

1 ? 2x 1 1 ?? ? x (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? , x ?1 2?2 2 2 ?1
设 x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
x

1 1 2x2 ? 2 x1 ? ? 2x1 ? 1 2x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)
x x

因为函数 y=2 在 R 上是增函数且 x1 ? x2 ∴ 2 2 ? 2 1 >0 又 (2x1 ? 1)(2x2 ? 1) >0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ f ( x) 在 (??, ??) 上为减函数。 (Ⅲ)因 f ( x) 是奇函数,从而不等式:
2 2

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0
2

等价于 f (t ? 2t ) ? ? f (2t ? k ) ? f (k ? 2t ) ,

t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 . 3t 2 ? 2t ? k ? 0 , 因 f ( x) 为减函数, 由上式推得: 即对一切 t ? R 有:
从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? .

1 3

8


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