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集合的基本运算教案(并集、交集)[1]


金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 新课标资源 1.1.3 集合的基本运算(1) ——并集、交集

本课是集合的运算, 要求我们带领学生从日常生活中的现象中抽取用数学符号表示实际 问题,再拓宽到数学化的问题.从学生的认知背景出发,培养学生学会从感性到理性来研究 问题、认知世界的意识.本课主要是建立概念,让学生初步认识并集、交集的概念及表示方 法,并逐步读懂集合的语言. 三维目标 一、知识与技能 1.理解并集、交集的概念和意义. 2.掌握有关集合并集、交集的术语和符号,并会用它们正确地表示一些简单的集合,能 用图示法表示集合之间的关系. 3.掌握两个较简单集合的并集、交集的求法. 二、过程与方法 1.自主学习,了解并集、交集来源于生活、服务于生活,又高于生活. 2.通过对并集、交集概念的讲解,培养学生观察、比较、分析、概括等能力,使学生认 识由具体到抽象的思维过程. 3.探究数学符号化表示问题的简洁美. 三、情感态度与价值观 认识共性存在于个性之间, “并”能够产生特殊的集体,有包容现象,小集体可合成 大集体. 教学重点 并集、交集的概念. 教学难点 并集、交集的概念、符号之间的区别与联系. 教具准备 投影仪、打印好的材料. 教学过程 一、创设情景,引入新课 师:同学们,今天我们来做一些统计,符合条件的同学请举手.第一项统计: “我班 45 名同学中爱好数学的同学请举手” (喜欢数学的同学举起了手). 师:我们可以用集合 A 来表示我班 45 名同学中爱好数学的同学.第二项统计:请爱好物 理的同学举手” (喜欢物理的同学举起了手). 师:我们可以用集合 B 来表示我班 45 名同学中爱好物理的同学. 师:第三项统计:请我班同学中爱好数学或爱好物理的同学举手(喜欢数学或喜欢物理 的同学举起了手). 师:同样,我们可以用集合 C 来表示我班 45 名同学中喜欢数学或喜欢物理的同学. 上面的描述我们可以用图来表示,我们看下图(用投影仪打出) .
A 我班喜欢数 学的同学 B 我班喜欢物 理的同学

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师:图中的阴影部分表示什么? 生:我班喜欢数学或喜欢物理的同学,即刚才所说的集合 C. 二、讲解新课 师:大家说得很对,就是集合 C,我们把这个实际问题拓宽推广成一般情况,请看下图 (用投影仪打出,软片做成左右两向遮启式,也可以用 flash 制作成动画,便于同学在“动 态”中进行观察) .
第一次 A A 第二次 B A 第三次 B

师:第一次看到了什么? 生:集合 A. 师:第二次看到了什么? 生:集合 A、B 结合在一起. 师:第三次又看到的阴影部分是什么? 生:集合 A、B 合并在一起. 师: 阴影部分的周界线是一条封闭曲线, 它的内部 (阴影部分) 当然表示一个新的集合, 试问这个新集合中的元素与集合 A、B 的元素有何关系? 生:它的元素属于集合 A 或属于集合 B. 师:对!我们把所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素构成的集合,称为 A 与 B 的并集. 由此引入并集的概念. 1.并集 (1)并集的定义 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合称为集合 A 与 B 的并集,记作 A ∪B(读作“A 并 B”; ) (2)并集的符号表示 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}. 并集定义的数学表达式中“或”字的意义应引起注意,用它连接的并列成分之间不一定 是互相排斥的. x∈A,或 x∈B 包括如下三种情况: ①x∈A,但 x ? B;②x∈B,但 x ? A;③x∈A,且 x∈B. 由集合 A 中元素的互异性知,A 与 B 的公共元素在 A∪B 中只出现一次,因此,A∪B 是由所有至少属于 A、B 两者之一的元素组成的集合. 例如,设 A={3,5,6,8} ,B={4,5,7,8} ,则 A∪B={3,4,5,6,7,8} ,而 不是{3,5,6,8,4,5,7,8}. (3)并集的图形表示如下所示 Venn 图.
B A B A B A

【例 1】 教科书 P8 例 5. 解:A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3}. 我们还可以在数轴上表示本例中的并集,如下图所示.
x -1 0 1 2 3

本例中数轴的表示是为了直观地表现集合的并运算的过程.
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2.交集 利用下图类比并集的概念引出交集的概念.
第一次 A A 第二次 B A 第三次 B

(1)

(2)

(3)

(1)交集的定义 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A 与 B 的交集,记作 A∩B (读作“A 交 B” ). (2)交集的符号表示 A∩B={x|x∈A 且 x∈B}. (3)交集的图形表示如下所示 Venn 图.
B A B A B A

(1)

(2)

(3)

图(1)表示集合 A 与集合 B 的关系是 A ? B,此时集合 A 与 B 的公共部分就是 A, 即 A∩B=A. 图(2)表示集合 A 与集合 B 的公共部分不是空集,但不是 A,也不是 B,即 A∩B A, 且 A∩B B. 图(3)表示集合 A 与集合 B 的公共部分是空集,即 A∩B= ? . 【例 2】 教科书 P9 例 6. 可利用教学班级这个实际模型对问题进行改编, 也可以让学生阅读后, 提出相应的问题. 【例 3】 教科书 P9 例 7. 主要目的在于使用集合语言描述几何对象及它们之间的关系, 加深学生对集合间基本关 系的理解. 【例 4】 已知 M={y|y=2x2+1,x∈R} ,N={y|y=-x2+1,x∈R} ,则 M∩N=________, M∪N=________. 方法引导:首先对两个集合进行化简,只要求两个二次函数的值域.然后可利用数轴求 解.看清集合中的代表元素,理解并化简集合是解题的基础. 解:M=[1,+∞) ,N=(-∞,1] , ∴M∩N={1} ,M∪N=R. 【例 5】 设 A={x|x2+4x=0} ,B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}. (1)若 A∩B=B,求 a 的值; (2)若 A∪B=B,求 a 的值. 方法引导:什么情况下有 A∩B=B?什么情况下有 A∪B=B?弄清它们的含义,问题就可 以解决了. 解:A={-4,0} , (1)∵A∩B=B,∴B ? A. ①若 0∈B,则 a2-1=0,a=±1.当 a=1 时,B=A;当 a=-1 时,B={0}. ②若-4∈B,则 a2-8a+7=0,a=7 或 a=1. 当 a=7 时,B={-12,-4} ,B A. ③若 B= ? ,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,a<-1. 由①②③得 a=1 或 a≤-1. (2)∵A∪B=B,∴A ? B.
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∵A={-4,0} , 又∵B 至多有两个元素, ∴A=B. 由(1)知 a=1. 方法技巧:1.有些数学问题很难从整体入手,需要分割处理,把整体科学合理地划分为 若干个局部独立问题解决, 以达到整体问题的解决, 这种重要的数学思想方法就是分类讨论 的方法,要学会这种思维的方法. 2.B= ? 也是 B ? A 的一种情况,不能遗漏,要注意结果的检验. 三、课堂练习 教科书 P11 练习题 1,2,3,4. 答案:1.A∩B={x|x 是等腰直角三角形},A∪B={x|x 是等腰三角形或直角三角形}. 2.因为 A={-1,5},B={-1,1},所以 A∪B={-1,1,5},A∩B={-1}. 3.因为集合 A、C 是偶数集,集合 B、D 是奇数集,所以 A=C,B=D; A∩B= ? ,A∩D= ? ,C∩B= ? ,C∩D= ? ; A∪B=Z,A∪D=Z,C∪B=Z,C∪D=Z. 4.例如,A={x|x 是矩形},B={x|x 是菱形}; A={x|x 是矩形},B={x|x 是正方形}; A={x|x 是菱形},B={x|x 是正方形}. 四、课堂小结 1.本节学习的数学知识: 并集与交集的定义、符号表示和图形表示,会求两个集合的并集与交集. 2.本节学习的数学方法: 归纳与类比、定义法、数形结合法、分类讨论. 五、布置作业 教科书 P12 习题 1.1 A 组 6,7,8 教学心得:

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