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厦门市2011~2012学年(下)高一质量检测数学试卷及参考答案


高一数学参考答案



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厦门市 2011—2012 学年(下)高一质量检测

数学参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1-5: ACBBD; 6-10:DACCD 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. x ? 2 y ? 1 ? 0 14. 1 12. 60
?

13. 16.2

15. 2 x ? 4 y ? 3 ? 0

3 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分. 17. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)多面体 ABCDE 的俯视图如图所示.┄4 分 (Ⅱ)直线 MN ?? 平面 BCDE. ┄┄┄┄┄6 分 BD , 证明如下:连结 N ? M、 分别是 AB 、AD 的

D

E

C(A)

B 正视图 侧视图

中点,

? MN ??BD ,┄┄┄┄10 分 又 ? MN ? 平 面 B C D E, BCDE ? MN ?? 平面 BCDE .
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 18. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)? a ? b ,? a ? b ? 0 , 即 2sin ? ? (?1) ? (sin ? ? 2cos ? ) ? 0 ,
俯视图

BD ? 平 面

(第 17 题)

?

?

? ?

┄┄┄┄┄┄┄┄┄1 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分

sin ? ? 2 cos ? , ? tan ? ? 2 .
(Ⅱ)原式=

2sin ? ? cos ? ? cos 2 ? 2 cos 2 ?

2 sin ? ? cos ? 2 cos ? 1 1 3 ? tan ? ? ? 2 ? ? . 2 2 2 ?
19. (本题满分 12 分)

┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分

??? ? ???? (Ⅰ)证明:四边形 ABCD 为平行四边形,记 AB ? a, AD ? b,

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5

???? ??? ???? ? 2 ???? ∵ DN ? DA ? AN = ? b+ AC

3

D N M

C

2 2 1 (a+b)= a ? b, ┄┄┄┄┄┄┄┄2 分 3 3 3 ???? ???? ???? ? 1 ∵ DM ? DC ? CN =a ? b, ┄┄┄┄┄┄┄3 分 2 ???? 2 ???? ? ∴ DN ? DM ,且 DM 与 DN 有公共点 D,┄5 分 3
= ? b+ ∴D、N、M 三点共线. (Ⅱ)解:ABCD 为平行四边形,记 ?BAD ? ? . ???? 2 1 由(Ⅰ)知 DN ? a ? b,

A (第 19 题)

B

┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分

3 3 ???? 2 2 1 4 1 4 4 1 4 ∴ | DN | ? ( a ? b)2 ? a 2 ? b2 ? a ? b ? m2 ? n2 ? mn cos? ┄8 分 3 3 9 9 9 9 9 9 ??? ??? ???? ? ? ? 2 ??? 2 1 2 ∵ BN ? BA ? AN ? ?a + AC ? ? ?a + (a ? b) ? ? a + b , ┄┄┄9 分 3 3 3 3 ??? 2 ? 1 2 1 4 4 1 4 4 ∴ | BN | ? (? a ? b)2 ? a 2 ? b2 ? a ? b ? m2 ? n2 ? mn cos? ┄10 分 3 3 9 9 9 9 9 9 ???? ??? ? 4 1 1 4 若 | DN |?| BN | ,则 m2 ? n2 ? m2 ? n2 , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄11 分 9 9 9 9 ∴ m2 ? n2 即 m ? n . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分

(备注:利用坐标法或几何或三角函数的方法来证明的相应得分) 20. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)首先求蚂蚁爬行整个路程的最小值. 沿棱 BB1、B1C1 将正方体的三个面展开成平面图形,如图.图中 点间线段最短,且依次经过棱 BB1、B1C1 的中点, 易求得 | EF |?

(A1)

D1 F

从E到F两

A1

B1

C1

3 2, 2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分
A E B C

所以蚂蚁取一次食物 (一个来回) 所爬行路程的最小值是 3 2 米, 时间为 300 2 秒. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分

所需的最短

(Ⅱ)证明:在(Ⅰ)的条件下,点 M、N 分别是棱 BB1、B1C1 的中点. ┄7 分 连接 MN,则 MN∥BC1, ∵在正方体 AC1 中,A1B1⊥平面 B1C1CB, 而 BC1 ? 平面 B1C1CB,∴A1B1⊥BC1,则 A1B1⊥MN, ┄ ┄┄┄┄┄9 分 又,在正方形 B1C1CB 中,BC1⊥B1C,则 B1C⊥MN, 又 A1 B1 ? B1C ? B1 ,∴MN⊥平面 A1B1C,而 AC ? 平面 A1B1C, 1 ∴MN⊥A1C. 同理 EM⊥A1C, EM ? MN ? M , ∴ AC ? 平面 EMN . 1 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分

┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分

21. (本题满分 14 分) 解:(Ⅰ)当直线 l 的斜率存在时,设斜率为 k ,则 l 的方程为 y ? 0 ? k ( x ? 2) .
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又圆 C 的圆心为 (3, ?2) ,半径 r ? 3 ,



3k ? 2 ? 2k k 2 ?1

3 ? 1 ,解得 k ? ? . 4

┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分

3 ( x ? 2) ,即 3x ? 4 y ? 6 ? 0 . ┄┄┄┄┄4 分 4 当 l 的斜率不存在时, l 的方程为 x ? 2 ,经验证 x ? 2 也满足条件. ┄6 分
所以直线 l 的方程为 y ? ? 所以直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 6 ? 0 或 x ? 2 .

(Ⅱ)由于 CP ? 5 ,而弦心距 d ?

r2 ? (

MN 2

)2 ? 5 ,

所以 d ? CP ? 5 ,所以 P 为弦 MN 的中点. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 故以 MN 为直径的圆 Q 的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 .┄┄┄┄┄┄┄┄10 分 (Ⅲ)直线 ax ? y ? 1 ? 0 与圆 C 交于 A , B 两点,

则弦心距小于圆的半径,即

| 3a ? 2 ? 1| a2 ? 1

? 3 ,化简得 a ? 0 . ┄┄┄┄12 分

设符合条件的实数 a 存在,由于 l 垂直平分弦 AB ,故直线 l 过圆心 C (3, ? 2) . 所以 l 的斜率 kPC ? ?2 ,而 a ? k AB ? ?

1 1 ,所以 a ? .┄┄┄┄┄13 分 2 k PC

由 于

1 ?( ? ? , 2

0 ) 故 不 存 在 实 数 a , 使 得 过 点 P( 2 , ,

0 的) 直 线 l 垂 直 平 分 弦

AB .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14 分 22. (本题满分 14 分)

? ? ? A sin( ? 6 ? ? ) ? 1 ? 解: (Ⅰ)依题意得: ? ? A sin( ? ? ? ) ? 3 ? ? 3 ? ? ? sin( ? ? ) ? 3s in( ? ? ? ) ,
3 6
展开得

┄┄┄┄┄┄┄┄┄1 分

┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分

? ? ?? ? 3 cos? ? sin ? ,∴tan ? ? 3 ,?? ? ? 0, ? ,?? ? , ┄┄4 分 3 ? 2? ? ? f ( x) ? A sin(2 x ? ) , 3 ?? ? ┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 ? f ? ? ? 3 ,? A ? 2 , ?6?
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? 1 ? 1 3 cos ? ? sin ? ? 3 ? ? cos ? ? sin ? ? , 2 2 2 ? 2 ?
3

? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) . 3
(Ⅱ)过点 P 作 PC ? Ox 于点 C, 令 f ( x) ? A sin(2 x ? ? ) ? 0 ,? 2 x ? ? ? k? ,(k ? z ) , 又点 M、N 分别位于 y 轴两侧,

?

? ? ? , ?? ? ? ,0? N ? ? ,0? ? 2 ? ?2 2 ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 3? ? 则 MN ? ? , 0 ? , PN ? ? ? ? t , ? ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 ? 8 ? ?2 ? ?2 2 ??? ??? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? y , ? PN ? MN ? ? ? ? t ? ? P 2 ? 2 2 ? 16 ? 3? ∴ ?t ? , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分 2 8 M 3? O C ?? ? 2t ? ,┈┈① 4 ? 3? ? 3? 又点 P ? t , ? 在函数的图像上,即 A sin ? 2t ? ? ? ? 8 ┈┈② , ┄12 分 ? 8 ?
则可得 M ? ? 联立①②式得 A ?
6? 8

N


6? 8

┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 13 分 . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄14 分

所以函数的 f ( x ) 最大值

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