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阶段复习知识点及典型例题


辅导学案

九年级阶段复习
一、反比例函数
1、反比例函数概念 一般地,形如

y?

k x

( k 是常数, k

?

0 ) 的函数叫做反比例函数。

注意: (1) 常数 k 称为比例系数,k 2、反比例函数图像及其性质 表达式

? 0; (2) 解析式有二种常见的表达形式。 y ?

k x

,y

? kx ?1 , xy = k( k ? 0 )

k y= (k≠0) x k>0 k <0

图 象

1.图象在第一、三象限; 2.每个象限内,函数 y 的值 随 x 的增大而减小。 性 质 反比例函数是中心对称图形(关于原点对称) 。

1.图象在第二、四象限; 2.每个象限内,函数 y 的值随 x 的增大而增大。

在一个反 比例函数图象上任取两点 P,Q,过点 P,Q 分别作 x、轴,y 轴的平行线,与坐标轴围 成 的 矩形面积为 S1,S2 则 S1=S2 =|k|

例 1.若反比例函数 y ? (2m ?1) xm
A、-1 或 1 k x B、小于

2

?2

的图象在二、四象限,则 m 的值是( C、-1 D、大于



1 2

的任意实数

1 2

的任意实数

例 2.反比例函数 y= 的图象如图所示,点 M 是该函数图象上一点,MN 垂直于 x 轴,垂足是点 N,
如果 A.2 =2,则 k 的值为 ( B.-2 ) C.4 D.-4

例 3.已知三点 p1 ? x1, y1 ? , p2 ? x2 , y2 ? , p3 ?1, ?2? 都在反比例函数的图象上,若 x1 <0, x 2 >0 则下列式子正确的是
( A、 )

y1 < y2 <0

B、

y1 <0< y2

C、

y1 > y2 >0

D、

y1 >0> y2
A C 0

y

?1 y? x 的交点为 A、B,过点 A 3 作 y 轴的平行线与过点B作 x 轴的平行线相交于点C,则 ? ABC 的面积为( )
4 例 4.如图,反比例函数 y ? ? 的图象与直线 x
A、8 B、6 C、4 D、2

x B

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例 5.如图,已知一次函数 y ? x ? 1 的图象与反比例函数 y ?
轴于点 , 的面积为 1,则

k x

的图象在第一象限相交于点

,与

轴相交于点

的长为

(保留根号) .

例 6.(1)探究新知:
如图,已知△ABC 与△ABD 的面积相等,试判断 AB 与 CD 的位置关系,并说明理由。

(2)结论应用: ①如图,点 M、N 在反比例函数 明:MN∥EF。

y?

k (k ? 0) 的图像上,过点 M 作 ME⊥y 轴,过点 N 作 NF⊥x 轴,垂足分别为 E,F。试证 x

②若①中的其他条件不变,只改变点 M,N 的位置如图所示,请判断 MN 与 EF 是否平行。

二、二次函数
? 相关概念及定义 ? ? ? ? ? ?

b, c 是常数, a ? 0 )的函数,叫做二次函数。这里需 二次函数的概念:一般地,形如 y ? ax2 ? bx ? c ( a ,

c 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 要强调:和一元二次方程类似,二次项系数 a ? 0 ,而 b , 二次函数解析式的表示方法
2 一般式: y ? ax ? bx ? c ( a , b , c 为常数, a ? 0 ) ; 2 顶点式: y ? a( x ? h) ? k ( a , h , k 为常数, a ? 0 ) ;

交点式: y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ( a ? 0 , x1 , x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物 线与 x 轴有交点,即 b ? 4ac ? 0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互 化.
2

?

抛物线

y ? ax2 ? bx ? c 的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ? a 的符号决定抛物线的开口方向:当 a ? 0 时,开口向上;当 a ? 0 时,开口向下; a 越大,抛物线的开口越小、 a 越小,开口越大。
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? 对称轴:平行于

y 轴(或重合)的直线记作 x ? ?
b 4ac ? b 2 , ) 2a 4a

b . 2a

(? 顶点坐标坐标:
?

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数 a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全 相同,只是顶点的位置不同.

例 1. 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图所示,则反比例函数 y ?
图象是( ).

a x

与一次函数

y ? bx ? c 在同一坐标系中的大致

例 2.在同一直角坐标系中,函数 y=mx+m 和 y=-mx2+2x+2(m 是常数,且 m≠0)的图像可能是(



例 3. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象向左平移 2 个单位, 再向上平移 3 个单位, 得二次函数 y=x2-2x+1, 求 b 和 c.

2 例 4. 已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图像如图,其对称轴 x ? ?1 ,给出下列结果

①b

2

? 4ac ② abc ? 0 ③ 2a ? b ? 0 ④ a ? b ? c ? 0 ⑤ a ? b ? c ? 0 ,则正确的结论


是( A

①②③④

B
2

②④⑤

C

②③④

D

①④⑤

例 5. 抛物线 y ? ax ? bx ? c 上部分点的横坐标 x ,纵坐标 y 的对应值如下表:
x y
从上表可知,下列说法中正确的是 … … -2 0 -1 4 0 6 1 6 2 4 … …

. (填写序号)

①抛物线与 x 轴的一个交点为(3,0) ; ②函数 ③抛物线的对称轴是 x

y ? ax2 ? bx ? c 的最大值为 6;

?

1 ; 2

④在对称轴左侧,

y 随 x 增大而增大.

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例 6. 甲,乙两人进行羽毛球比赛,甲发出一十分关键的球,出手点为 P,羽毛球飞行的水平距离 s(m)与其距地面高度 h
(m)之间的关系式为 h=-

2 1 s+ 12 3
2

s+

3 2

.如下左图所示,已知球网 AB 距原点

5m,乙(用线段 CD 表示)扣球的最大高度为

9 4

m,设乙的起跳点 C 的横坐标为

m,若乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败,则 m 的 取值范围是_ _ ____.

例 7. 春节期间某水库养殖场为适应市场需求,连续用 20 天时间,采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法,对水库中某
种鲜鱼进行捕捞、销售.九(1)班数学建模兴趣小组根据调查,整理出第 x 天(1≤x≤20 且 x 为整数)的捕捞与销售的相 关信息如表: (1)在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天末的捕捞量相比是如何变化的? (2)假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失,且能在当天全部售出,求第 x 天的收入 y(元)与 x(天)之间的函数 关系式?(当天收入=日销售额-日捕捞成本) (3)试说明(2)中的函数 y 随 x 的变化情况,并指出在第几天 y 取得最大值,最大值是多少? 鲜鱼销售单价(元/kg) 20

单位捕捞成本(元/kg)

5-

x 5

捕捞量(kg)

950-10x

例 8.一开口向上的抛物线与 x 轴交于 A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为 C,且 AC⊥BC.
(1)若 m 为常数,求抛物线的解析式; (2)若 m 为小于 0 的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点? (3)设抛物线交 y 轴正半轴于 D 点,问是否存在实数 m,使得△BOD 为等腰三角形?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明 理由.

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三、圆的基本性质:
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。 推论:平分弦( 不是直径 )的直径垂直于这条弦,并且平分弦所对的弧。 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。 圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的 弦 相等,所对的 弧 相等。

圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。 ▲同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等。 ▲半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ; 90 的圆周角所对的弦是 直径 。 ▲在同圆或等圆中,弦心距相等,弦相等;弦相等,弦心距也相等 弧长公式:n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为 l ? 扇形面积公式: S 扇 ?
?

n?r 180

n 1 ?R 2 ? lR 360 2

其中 n 是扇形的圆心角度数,R 是扇形的半径,l 是扇形的弧长。 圆锥的侧面积: S ?

1 l ? 2?r ? ?rl ,其中 l 是圆锥的母线长,r 是圆锥的地面半径。 2

例 1.如图,在同心圆中,大圆的弦 AB 交小圆于点 C,D。已知 AB=4,CD=2,圆心 O 到 AB 的距离
OE=1,则大小两圆的半径之 比为

例 2.⊙O 的半径为 10 厘米,圆内两条平行弦 AB、CD 的长为 12 厘米,16 厘米,求两弦之间的
距离 .

例 3.如图,底面半径为 5dm 的圆柱形油桶横放在水平地面上,向桶内加油后,量得长方形油
面的宽度为 8dm,则油的深度(油面到水平地面的距离)为

例 4.⊙O 中的两条弦 AB、AC 的弦心距分别是 OE、OF,且 AB=2AC,那么,下面式子成立的应是(
A . OE=OF B. OF=2OE C. OE<OF D. OE>OF

)

例 5.圆的半径等于 2cm,圆内一条弦长为 2 3 cm,则弦的中点与弦所对弧的中点的距离为

.

例 6. 如图,点 A、D、G、M 在半⊙O 上,四边形 ABOC、DEOF、HMNO 均为矩形.设 BC=a,EF=b,NH=c,则下列各式中正确
的是( )

A

a>b>c

B

b>c>a

C

c>a>b

D

a=b=c

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辅导学案
例 7.如图,A,B,C,D 为⊙O 的四等分点,动点 P 从圆心 O 出发,沿 O﹣C﹣D﹣O 路线作匀速运动,设运动时间为 tt(s) . ∠
APB=Y,则下列图象中表示 y 与 t 之间函数关系最恰当的是( )

A

B

C

D

例 8.已知矩形 ABCD 的长 AB=4,宽 AD=3,按如图放置在直线 AP 上,然后不滑动地转动,当它转动一周时(A→A′) ,顶点
A 所经过的路线长等于 _________ .

四、相似三角形
例 1.如图所示,已知△ABC 中,AD 是高,矩形 EFGH 内接于△ABC 中,且长边 FG 在 BC 上,矩形相邻两边的比为 1:2,若
BC=30cm,AD=10cm.求矩形 EFGH 的面积.

例 2.已知:如图,在△ABC 与△CAD 中,DA∥BC,CD 与 AB 相交于 E 点,且 AE︰EB=1︰2,EF∥BC 交 AC 于 F 点,△ADE 的
面积为 1,求△BCE 和△AEF 的面积.

例 3.如图,一只箱子沿着斜面向上运动,箱高 AB=5m。当 BC=10m 时,点 B 离地的距离 BE=6m,求
此时点 A 离地面的距离。

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辅导学案

例 4.如图, 正方形城邑 DEFG 的四面正中各有城门, 出北门 20 步处的 A 处 (HA=20 步) 有一树木, 出南门 14 步到 C 处 (KC=14
步) ,再向西行 1775 步到 B 处(CB=1775 步),正好看到 A 处的树木(点 D 在直线 AB 上),求城邑的边长.

例 5.小聪和他的同学利用影长测量旗杆的高度,1m 长的直立竹竿的影长为 1.5m,测量旗杆落在地上的影长为 21m,落在墙
上的影长为 2m,求旗杆的高度。

例 6. 如图,AB∥CD,∠A=90°,AB=2,AD=5,P 是 AD 上一动点(不与 A、D 重合),PE⊥BP,P 为垂足,PE 交 DC 于点 E,
(1)设 AP=x,DE=y,求 y 与 x 之间的函数关系式,并指出 x 的取值范围; (2)请你探索在点 P 运动的过程中,四边形 ABED 能否构成矩形?如果能,求出 AP 的长;如果不能,请说 明理由.

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例 7. 如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的两边分别在 x 轴和 y 轴上,OA=10 厘米,OC=6 厘米,现有两动点 P,Q
分别从 O,A 同时出发,点 P 在线段 OA 上沿 OA 方向作匀速运动,点 Q 在线段 AB 上沿 AB 方向作匀速运动,已知点 P 的运动 速度为 1 厘米/秒. (1)设点 Q 的运动速度为 0.5 厘米/秒,运动时间为 t 秒, ①当△CPQ 的面积最小时,求点 Q 的坐标; ②当△COP 和△PAQ 相似时,求点 Q 的坐标. (2)设点 Q 的运动速度为 a 厘米/秒,问是否存在 a 的值,使得△OCP 与△PAQ 和△CBQ 这两个三角形都相似?若存在,请 求出 a 的值,并写出此时点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

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