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高考数学基础知识总结:第10章 排列组合二项定理


高中数学第十章高中数学第十章-排列组合二项定理
考试内容: 考试内容: 分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式. 组合.组合数公式.组合数的两个性质. 二项式定理.二项展开式的性质. 考试要求: 考试要求: (1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. (2)理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题. (3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的 应用问题. (4)掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题.

§10. 排列组合二项定理 知识要点
一、两个原理. 两个原理 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可以有重复元素的排列. ....... 从 m 个不同元素中,每次取出 n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排, 那么第一、第二……第 n 位上选取元素的方法都是 m 个,所以从 m 个不同元素中,每次取出 n 个元素可重复排列数 m·m·… m = mn.. 例如:n 件物品放入 m 个抽屉中,不限放法,共有多 少种不同放法? 二、排列. 排列 1. ⑴对排列定义的理解. 定义:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从 n 个不同 ...... 元素中取出 m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相 同. ⑶排列数. 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素排成一列,称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 (解: m 种)
n

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m 一个排列. 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数,用符号 An 表示.

⑷排列数公式:
A m = n(n ? 1) L (n ? m + 1) = n! ( m ≤ n, n, m ∈ N ) (n ? m)!

注意: n ? n! = (n + 1)!?n!

规定 0! = 1
m m An = nAn ??1 1

m 1 1 A n +1 = A m + A m ?C m ?n = A m + mA m ?n n m n

规定 C 0 =C n = 1 n n

2. 含有可重元素的排列问题. ...... 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集 S 有 k 个不同元素 a1,a2,…...an 其中限重复数 为 n1、n2……nk,且 n = n1+n2+……nk , 则 S 的排列个数等于 n =

n! . n1!n 2 !...n k !

例如:已知数字 3、2、2,求其排列个数 n = (1 + 2)! = 3 又例如:数字 5、5、5、求其排列个 1!2! 数?其排列个数 n = 3! = 1 .
3!

三、组合. 组合 1. ⑴组合:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. ⑵组合数公式: C m = n
m

A m n(n ? 1) L (n ? m + 1) n = m! Am m
n ?m n;

C m= n

n! m!(n ? m)!

⑶两个公式:① C n =C

②C

m ?1 m m n +C n =C n +1

①从 n 个不同元素中取出 m 个元素后就剩下 n-m 个元素,因此从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的 唯一的一个组合. (或者从 n+1 个编号不同的小球中,n 个白球一个红球,任取 m 个不同小球其不同选法,
1 1 分二类,一类是含红球选法有 C m ?n ?C1 =C m ?n 一类是不含红球的选法有 C m ) 1 n

②根据组合定义与加法原理得;在确定 n+1 个不同元素中取 m 个元素方法时,对于某一元 素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的 n 个元素中再取 m-1 个元 素, 所以有 C
m ?1 如果不取这一元素, 则需从剩余 n,

n 个元素中取出 m 个元素, 所以共有 C n

m

种,依分类原理有 C

m ?1 m m n +C n =C n +1 .

⑷排列与组合的联系与区别.

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联系:都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素. 区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式
0 1 2 C n +C n +C n + Ll n = 2 n n
0 2 4 1 3 5 C n +C n +C n + L =C n +C n +C n + L = 2 n ?1 m C m +C m +1 +C m +m LC m+m =C m+m +1 n 2 n n +1

kC k = nC k ?1 n n ?1 1 1 Ck= C k +1 n n +1 k +1 n +1
②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如:
1 2 3 n 1 n ?1 1 1 + + +L = 1? = ? ) (利用 2! 3! 4! (n + 1)! (n + 1)! n! (n ? 1)! n!

ii. 导数法. iii. 数学归纳法.

iv. 倒序求和法.
3 3 3 3 4

1 v. 递推法(即用 C m +C m ?n =C n +m 递推)如: C 3 +C 4 +C 5 + LC n =C n +1 . n 1

vi. 构造二项式. 如: (C n ) +(C n ) + L + (C n ) =C 2 n
0 2 1 2 n 2 n

证明:这里构造二项式 ( x + 1) n (1 + x) n = (1 + x) 2 n 其中 x n 的系数,左边为
0 1 1 2 2 0 0 1 C n ?C n +C n ?C n ?n +C n ?C n ? n + L +C n ?C n = (C n ) 2 +(C n ) 2 + L + (C n ) 2 ,而右边 =C 2 n n n n

n

四、排列、组合综合. 排列、组合综合 1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型: ①直接法. ②排除法.

③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再 考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”,例如,一般地,n 个不同元素排成 一列,要求其中某 m(m ≤ n) 个元素必相邻的排列有 A n ? m +1 ? A m 个.其中 A n ? m +1 是一个“整体排 n ? m +1 m n ? m +1 列”,而 A m 则是“局部排列”. m
2 又例如①有 n 个不同座位,A、B 两个不能相邻,则有排列法种数为 A n ? A n?1 ? A 2 . 1 2

②有 n 件不同商品,若其中 A、B 排在一起有 A n ?1 ? A 2 . n ?1 2
2 ③有 n 件不同商品,若其中有二件要排在一起有 A n ? A n ?1 . n ?1

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注:①③区别在于①是确定的座位,有 A 2 种;而③的商品地位相同,是从 n 件不同商品任 2 取的 2 个,有不确定性. ④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主 要解决“元素不相邻问题”. 例如:n 个元素全排列,其中 m 个元素互不相邻,不同的排法种数为多少? A n ? m ? A n ? m +m (插 n?m 1 空法) ,当 n – m+1≥m, 即 m≤ n + 1 时有意义.
2

⑤占位法: 从元素的特殊性上讲, 对问题中的特殊元素应优先排列, 然后再排其他一般元素; 从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采用“先 特殊后一般”的解题原则. ⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将 n 个元素进行全排列有 A n n 种, m(m p n) 个元素的全排列有 A m 种,由于要求 m 个元素次序一定,因此只能取其中的某 m 一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若 n 个元素排成一列,其中 m 个元素次序 一定,共有
An n Am m

种排列方法.

例如:n 个元素全排列,其中 m 个元素顺序不变,共有多少种不同的排法? 解法一: (逐步插空法) (m+1) (m+2)…n = n!/ m! ;解法二: (比例分配法) A n / A m . ⑦平均法:若把 kn 个不同元素平均分成 k 组,每组 n 个,共有
n C kn ?C ( k ?1)n LC n n n

n

m

Ak k

.

例如:从 1,2,3,4 中任取 2 个元素将其平均分成 2 组有几种分法?有

C2 4 = 3 (平均分组 2!

就用不着管组与组之间的顺序问题了) 又例如将 200 名运动员平均分成两组, 其中两名种子 选手必在一组的概率是多少? (P=
8 2 C18 C 2 10 C 20 / 2!



注意:分组与插空综合. 例如:n 个元素全排列,其中某 m 个元素互不相邻且顺序不变,共 有多少种排法?有 A n ? m ? A n ? m +1 / A m ,当 n – m+1 ≥m, 即 m≤ n + 1 时有意义.
n?m m m

2

⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题. 例如: x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 12 的正整数解的组数就可建立组合模型将 12 个完全相同的球排成一 列,在它们之间形成 11 个空隙中任选三个插入 3 块摸板,把球分成 4 个组.每一种方法所得

x1

x2

x3

x4

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球的数目依次为 x1 , x 2 , x 3 , x 4 显然 x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 12 ,故( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )是方程的一组解.反之, 方程的任何一组解 ( y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) ,对应着惟一的一种在 12 个球之间插入隔板的方式(如图 所示)故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板
3 的方法数 C 11 .

注 意 : 若 为 非 负 数 解 的 x 个 数 , 即 用 a1 , a 2 ,...a n 中 a i 等 于

xi + 1

, 有

x1 + x2 + x3 ... + xn = A ? a1 ? 1 + a2 ? 1 + ...an ? 1 = A , 进 而 转 化 为 求 a 的 正 整 数 解 的 个 数 为
n C A?1 . +n

⑨定位问题:从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列规定某 r 个元素都包含在内, 并且都排在某 r 个指定位置则有

A rr A k ? r . n?r

例如:从 n 个不同元素中,每次取出 m 个元素的排列,其中某个元素必须固定在(或不固 定在)某一位置上,共有多少种排法?
m 固定在某一位置上: A n?1 ;不在某一位置上: A n ? A n ?1 或 A n ?1 + A m ?1 ? A m ?1 (一类是不取出 1 n ?1

m ?1

m

m ?1

特殊元素 a,有 A n ?1 ,一类是取特殊元素 a,有从 m-1 个位置取一个位置,然后再从 n-1 个元素中取 m-1,这与用插空法解决是一样的) ⑩指定元素排列组合问题. i. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同的元素作排列(或组合) ,规定某 r 个元素都包含在
k? 内 。先 C 后 A 策略,排列 C rr C n ? rr A k ;组合 C rr C k ? r . k n?r

m

ii. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列(或组合) ,规定某 r 个元素都不包含在 内。先 C 后 A 策略,排列 C n ? rk A k ;组合 C n ?k . k r iii 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列(或组合) ,规定每个排列(或组合)都 只包含某 r 个元素中的 s 个元素。先 C 后 A 策略,排列 C r C n ? r A k ;组合 C r C n ? r . II. 排列组合常见解题策略: ①特殊元素优先安排策略;②合理分类与准确分步策略;③排列、组合混合问题先选后排的 策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素,后排列) ;④正难则反,等价转化策略; ⑤相邻问题插空处理策略; ⑥不相邻问题插空处理策略; ⑦定序问题除法处理策略; ⑧分排问题直排处理的策略; ⑨“小 集团”排列问题中先整体后局部的策略;⑩构造模型的策略.
s k ?s k

s

k ?s

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2. 组合问题中分组问题和分配问题. ①均匀不编号分组:将 n 个不同元素分成不编号的 m 组,假定其中 r 组元素个数相等,不 管是否分尽,其分法种数为 A / A r (其中 A 为非均匀不编号分组中分法数).如果再有 K 组均 r 匀分组应再除以 A k . k
2 4 例:10 人分成三组,各组元素个数为 2、4、4,其分法种数为 C 10 C 8 C 4 / A 2 = 1575 .若分成 4 2
2 2 2 六组,各组人数分别为 1、1、2、2、2、2,其分法种数为 C 101C 91C 8 C 6 C 4 C 2 / A 2 ? A 4 2 2 4

②非均匀编号分组: n 个不同元素分组,各组元素数目均不相等,且考虑各组间的顺序,其 分法种数为 A ? A m m 例:10 人分成三组,各组人数分别为 2、3、5,去参加不同的劳动,其安排方法为:
2 3 C 10 ?C 8 ?C 5 ? A 3 种. 5 3

若从 10 人中选 9 人分成三组,人数分别为 2、3、4,参加不同的劳动,则安排方法有

C 102C 83C 4 ? A 3 种 5 3
③均匀编号分组:n 个不同元素分成 m 组,其中 r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序,其 分法种数为 A / A r ? A m . r m
2 4 C 10 C 8 C 4 3 4 ? A3 例:10 人分成三组,人数分别为 2、4、4,参加三种不同劳动,分法种数为 2 A2

④非均匀不编号分组:将 n 个不同元素分成不编号的 m 组,每组元素数目均不相同,且不 考虑各组间顺序,不管是否分尽,其分法种数为 A
m = C m1 C m-2m1 … C n -k(m1 + m 2 +...+ m k -1 ) n n

例:10 人分成三组,每组人数分别为 2、3、5,其分法种数为 C 102C 83C 5 = 2520 若从 10 人中选 5
3 出 6 人分成三组,各组人数分别为 1、2、3,其分法种数为 C 101C 92C 7 = 12600 .

五、二项式定理. 二项式定理.
0 1 r n 1. ⑴二项式定理: (a + b) n =C n a n b 0 +C n a n ?1b + L +C n a n ? r b r + L +C n a 0 b n .

展开式具有以下特点: ① 项数:共有 n + 1 项;
0 1 2 r ② 系数:依次为组合数 C n ,C n ,C n , L ,C n , L ,C n ; n

③ 每一项的次数是一样的,即为 n 次,展开式依 a 的降幕排列,b 的升幕排列展开.

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⑵二项展开式的通项.
(a + b) n 展开式中的第 r + 1 项为: T r +1=C n a
r n ?r r

b (0 ≤ r ≤ n , r ∈ Z ) .

⑶二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等; ②二项展开式的中间项二项式系数最大. ..... I. 当 n 是偶数时,中间项是第
n + 1 项,它的二项式系数 C 2 最大; n 2
n

II. 当 n 是奇数时, 中间项为两项, 即第 最大. ③系数和:
0 1 C n +C n + L +C n = 2 n n 0 2 4 1 3 C n +C n +C n + L =C n +C n + L =2 n ?1

n +1 n +1 项和第 + 1 项, 它们的二项式系数 C 2 2

n ?1 n +1 2 =C 2 n n

附: 一般来说 (ax + by ) n (a, b 为常数) 在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求 ...........
? A k ≥ A k +1 , ? A k ≤ A k +1 或? ( A k 为T k +1 的系数或系数 ? A k ≥ A k ?1 ? A k ≤ A k ?1

解. 当 a ≠ 1或 b ≠ 1 时,一般采用解不等式组 ? 的绝对值)的办法来求解.

⑷ 如 何 来 求 ( a + b + c) n 展 开 式 中 含 a p b q c r 的 系 数 呢 ? 其 中 p, q, r ∈ N , 且 p + q + r = n 把
r (a + b + c) n = [(a + b) + c] n 视 为 二 项 式 , 先 找 出 含 有 C r 的 项 C n (a + b) n ? r C r , 另 一 方 面 在

(a + b) n ? r 中 含 有 b q 的 项 为 C n ? q a n ? r ?q b q =C n ? q a p b q , 故 在 (a + b + c) n 中 含 a p b q c r 的 项 为 r r
r q C n C n ? r a p b q c r .其系数为 C nr C n ?q = r

(n ? r )! n! n! p q ? = =C n C n ? p C r . r r! (n ? r )! q! (n ? r ? q )! r! q! p!

2. 近似计算的处理方法. 当 a 的绝对值与 1 相比很小且 n 不大时,常用近似公式 (1 + a) n ≈ 1 + na ,因为这时展开式的
2 3 n 后面部分 C n a 2 +C n a 3 + L +C n a n 很小,可以忽略不计。类似地,有 (1 ? a) n ≈ 1 ? na 但使用这两

个公式时应注意 a 的条件,以及对计算精确度的要求.

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